2019届全国新高三原创试卷(三)+数学(文)试题

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2019届全国新高三原创试卷
文 科 数 学（三）
本试题卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的一律无效。

6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷
、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}
220M x x x =->，{}2,1,0,1,2N =--，则等于M N =（ ）
A ．∅
B ．{}1
C ．{}0,1
D ．{}1,0,1-
【答案】B
【解析】由M 中不等式变形得()20x x -<，解得02x <<，即()02M =，，{}1M N ∴=，故
选B ．
2．下列命题中，x ，y 为复数，则正确命题的个数是（ ） ①若220x y +=，则0x y ==；
②若i x a =+，i y b =+，a ，b ∈R 且a b >，
则x y >；
③i 1i x y +=+的充要条件是1x y ==． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】A
【解析】由x ，y 在复数集中可得，对于①，若220x y +=，则0x y ==，错误，如1x =，i y =，故①错误；②中的复数不能比较大小，故②错误．③i 1i x y +=+中i x =，i y =-时也成立，故③错误．故选A ．
3．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4816a a =，则6
3
S S =（ ） A ．98
B ．9
C ．98或78
D ．9或7-
【答案】C
【解析】根据题意，在等比数列{}n a 中有4116q =，解得12q =或12-，则639
8
S S =或78．故选C ． 4．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
1
正视图
侧视图
A ．4
B ．8
C ．12
D ．24
【答案】A
【解析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，由体积公式易得()()111232134322V ⎡⎤
=⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦
．
故选A ． 5．已知1tan 4tan θθ+=，则2πcos 4θ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．1
2
B ．1
3
C ．14
D ．15
【答案】C 【
解
析
】
根
据
诱
导
公
式
得
到
2π1sin 2cos 42θθ-⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭，
1sin cos 1
tan 4sin 2tan cos sin 2
θθθθθθθ+
==+⇒=，
结合两式得到2π1cos 44θ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．故答案为：C ．
6．已知函数()22f x x x =+，执行如图所示的程序框图，则输出的k 值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
【答案】C
【解析】()22f x x x =+，()111122f x x x ⎛⎫
∴=- ⎪+⎝⎭
，从而模拟程序运行，可得程序框图的功能是求 1111111125
1123
2221242
S k k k k ⎛⎫⎛⎫=-+
+
-=+-->
⎪ ⎪+++⎝
⎭⎝⎭时k 的最小值，解得5k >，k ∈N ，则输出k 的值是6．故选C ．
7．如图，在圆O 中，若
3AB =，4AC =，则AO BC ⋅的值等于（ ）
A ．8-
B ．72
-
C ．
72
D ．8
【答案】C
【解析】如图所示，
过点O 作OD BC ⊥交BC 于点D ，连接AD ，则D 为BC 的中点，0OD BC ⋅=， ∴()
1
2
AD AC AB =
+．又AO AD DO =+，BC AC AB =-， ()
()()
1
2
AO BC AD DO BC AD BC AC AB AC AB ⋅=+⋅=⋅=+⋅- ()
()2222117
43222
AC AB =
-=⋅-=，故选C ． 8．实数a ，b ，c 满足221a a c b =+--且210a b ++=，则下列关系式成立的是（ ） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．a c b >> D ．c a b >>
【答案】A
【解析】∵210a b ++=，∴211a b --≤-=，又∵221a a c b =+--，∴()2
120a c b -=-≥>，∴c b >，
∴2
2
131024b a b b b ⎛
⎫-=++=++> ⎪⎝
⎭，∴b a >，综上，可得c b a >>．故选A ．
9．已知变量x ，y 满足约束条件30
2303x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则112y x ≥+的概率是（ ）
A ．
3
4 B ．35
C ．
12 D ．59
【答案】D
【解析】由变量x ，y 满足约束条件302303x y x y x +-≥-+≥≤⎧⎪
⎨⎪⎩
，画出可行域如图所示，
则
112y x ≥+的几何意义是可行域内的点与()10Q -，
连线的斜率不小于1
2
，由图形可知，直线3x =与直线210x y -+=的交点为()32B ，，直线230x y -+=与3x =的交点为()33C ，，∴
112y x <+的概率是2249AB AC =，则112y x ≥+的概率是45
199
-=．故选D ．
10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22x f x x =+，则不等式()213f x -<的解集为（ ） A ．()1-∞， B ．()2-∞， C ．()22-， D ．()12-，
【答案】A
【解析】由于()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =，且在(0+∞，）上为增函数， ∴()f x 是R 上的增函数，∵()13f =，所以()()211f x f -<，∴211x -<，∴1x <．故选A ． 11．如图，在底面为矩形的四棱锥E ABCD -中，DE ⊥平面ABCD ，F ，G 分别为棱DE ，AB 上一点，已知3CD DE ==，4BC =，1DF =，且FG ∥平面BCE ，四面体A FDG -的每
个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A
B D
F
E
G
A ．12π
B ．16π
C ．18π
D ．20π
【答案】C
【解析】在棱CD 上取一点H ，使得1HD =，CD DE =，FH CE ∴∥，则FH ∥平面BCE ， 又FG ∥平面BCE ，FG FH F =，∴平面FGH ∥平面BCE ，又平面FGH 平面
ABCD GH =，
平面BCE 平面ABCD BC =，BC GH ∴∥，1AG HD ∴==，
故四面体A FDG -可以补成一个长方体，且长，宽，高分别为4，1，1，所以球O 的表面
积为2
4π18π=．故选C ． A B
D F
E
G
H
12．在双曲线2
2
22
:
1(00)x y C a b a b -=>>，的右支上存在点A ，使得点A 与双曲线的左、右焦点1F ，2F 形成的三角形的内切圆P 的半径为a ，
若12AF F △的重心G 满足12PG F F ∥，则双曲线C
的离心率为（ ）
A B
C ．2
D
【答案】C 【解析】如图，
由PG 平行于x 轴得G P y y a ==，则33A G y y a ==，所以12AF F △的面积()
1211
23222
S c a AF AF c a =
⋅⋅=⋅++⋅，又122AF AF a -=，则12AF c a =+，22AF c a =-，由焦半径公式1A AF a ex =+，得2A x a =，因此()23A a a ，代入双曲线方程得22
22491a a a b
-=，可
得b =，2c a ==，即2c
e a
==．故选C ．
第Ⅱ卷
卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．命题“00x ∃>，2
0020x mx +->”的否定是__________．
【答案】0x ∀>，220x mx +-≤．
【解析】命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是“0x ∀>，220x mx +-≤”
． 即答案为0x ∀>，220x mx +-≤．
14．在ABC △中，角B 2π
3
C =，BC =AB =__________．
．
【解析】设角B 的平分线为BD ，由正弦定理得
sin sin BC BD
BDC C
=
∠=，
得sin BDC ∠=
45BDC ∠=︒，15CBD DBA ∠=∠=︒，30A =︒
，AB =
． 15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AF BF
=，点
O 为原点，则AOF △的面积为__________．
【答案】2． 【解析】如图，
由题可得2p =，()1,0F ，由
4AF BF
=，所以()141A B x x +=+，又根据ACF BDF △∽△可得
F
CF DF
AF B =
，即
4A B
x OF OF x -=-，即
141A B x x -=-，可以求得4A x =，1
4
B x =，所以A 点的坐标为()44A ，或()4,4A -，1
1422
S =
⋅⋅
=，即答案为2． 16．已知函数()()2
cos
2cos 02
2
2
x
x
x
f x ωωωω=+>的周期为
2π3，当π03x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，函数()()g x f x m =+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．
【答案】(]32-
-，．
【解析】由题得()πcos 12sin 16f x x x x ωωω⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭．2π2π3T ω==
，3ω∴=． ∴()π2sin 316f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∵π03x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，∴ππ7π3666x ≤+≤，()03f x ∴≤≤．
由()()0g x f x m =+=得()f x m =-，即()y f x =的图象与直线y m =-恰有两个交点，结合图象可知23m -≤-<，即32m -<≤-．故填(]32--，．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记()()
1211n
n n n a b a a +=
++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）1
2
n n a -=；（2）21
21
n n -+．
【解析】（1）当1n =时，11121a S a ==-，得11a =， 当2n ≥时，有1121n n S a --=-， 所以1122n n n n n a S S a a --=-=-， 即12n n a a -=，所以2n ≥时，
1
2n
n a a -=， 所以{}n a 是公比为2，首项为1的等比数列， 所以12n n a -=，当1n =时，满足该通项公式， 故通项公式为12n n a -=．
（2）()()()()111221
121121212121n n n n n
n n n n a b a a --+⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭
， 12301122311111
1222212121212121n n T b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++
+=-+-+-+
+ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11
12
12212121
n n n n
--⎛⎫-= ⎪+++⎝⎭． 18．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD
是边长为，4PC =．
（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；
（2）若点E 为PA 中点，求三棱锥P BDE -的体积． 【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）在PBC △中，有222PB PC BC =+，
PC BC ∴⊥，同理可得：PC CD ⊥，PC ∴⊥平面ABCD ，
又PC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面ABCD ．
（2）由E 为PA 中点，可知点E 到平面ABCD 的距离等于点P 到平面ABCD 的距离的一半． 由
（
1
）
知
PC ⊥
平面ABCD ，则
19．（12分）在甲地，随着人们生活水平的不断提高，进入电影院看电影逐渐成为老百姓的一种娱乐方式．我们把习惯进入电影院看电影的人简称为“有习惯”的人，否则称为“无习惯的人”．某电影院在甲地随机调查了100位年龄在15岁到75岁的市民，他们的年龄的频数分布和“有习惯”的人数如下表：
（1）以年龄45岁为分界点，请根据100个样本数据完成下面22⨯列联表，并判断是否有999%．的把握认为“有习惯”的人与年龄有关；
（2）已知甲地从15岁到75岁的市民大约有11万人，以频率估计概率，若每张电影票定价为x 元()2050x ≤≤，则在“有习惯”的人中约有
100%10
m
x ⨯-的人会买票看电影(m 为常数)．已知票价定为30元的某电影，票房达到了693．万元．某新影片要上映，电影院若将电影票定价为25元，那么该影片票房估计能达到多少万元？ 参考公式：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
参考临界值
【答案】（1）见解析；（2）77万元． 【解析】（1）
()2
2100522218819841082870306040
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯．．．
所以有999%．的把握认为“有习惯”的人与年龄有关． （2）依题意，有7011306931003010
m ⨯⨯⨯=-．， ∴6m =． ∴706
1125771002510
⨯
⨯⨯=-（万元）. 估计新影片上映票房能达到77万元．
20．（12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
2e =，椭圆C 上一点M 到左右两个
焦点1F ，2F 的距离之和是4． （1）求椭圆的方程；
（2）已知过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且两点与左右顶点不重合，若111F M F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值．
【答案】（1）22
143x y +=；（2）6．
【解析】（1）依题意，24a =，2a =， 因为1
2
e =
，所以1c =，2223b a c =-=，
所以椭圆C 方程为22
143
x y +=； （2）设()11A x y ，，()22B x y ，，:1AB x my =+， 则由22
114
3x my x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，可得()2231412my y ++=， 即()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>，
又因为111F M F A F B =+，所以四边形1AMBF 是平行四边形，
设平面四边形1AMBF 的面积为S ，
则1
12121222242ABF S S F F y y ==⨯⨯⨯-==△，
设t =()2211m t t =-≥， 所以21
24241313t
S t t t =⨯=⨯++，因为1t ≥，所以134t t +≥，所以(]06S ∈，， 所以四边形1AMBF 面积的最大值为6．
21．（12分）已知函数()()ln f x x a x a =-+∈R ．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）设()222g x x x a =-+，若对任意()10x ∈+∞，，均存在[]201x ∈，，使得()()12f x g x <，求a 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）)
30e ⎡⎣，． 【解析】（1）()()()10x a a f x x x x
--=-+=>'． ①当0a ≤时，由0x >，得0x a ->，则()0f x '<，
所以函数()f x 的单调递减区间是()0+∞，；
②当0a >时，由()0f x '=得x a =，
所以当()0x a ∈，时，()0f x '>，当()x a ∈+∞，时，()0f x '<，
所以函数()f x 的单调递增区间是()0a ，，单调递减区间是()a +∞，．
综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间是()0+∞，；
当0a >时，函数()f x 的单调递增区间是()0a ，，单调递减区间是()a +∞，．
（2）依题意，要满足对任意()10x ∈+∞，，均存在[]201x ∈，，使得()()12f x g x <， 只需满足()()max max f x g x <．
因为()222g x x x a =-+，[]01x ∈，，所以()max 2g x a =，
由（1）知，当0a <时，函数()f x 在区间()0+∞，上单调递减，值域为R ，不符合题意； 当0a =时，()()max 0f x x g x =-<=，符合题意；
当0a >时，函数()f x 在区间()0a ，上单调递增，在区间()a +∞，上单调递减， 所以()()max ln f x f a a a a ==-+，
令2ln a a a a >-+，解得30e a <<
综上，a 的取值范围是)
30e ⎡⎣，． 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a t y t ==⎧⎨⎩
（t 为参数，0a >），已知直线l 的方程为40x y -+=．
（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值；
（2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围．
【答案】（1
）2-；（2
）(0．
【解析】（1）依题意，设()2cos 2sin P t t ，，
则点P 到直线l
的距离π2cos 4d t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当π2ππ4t k +=+，即3π2π4
t k =+，k ∈Z
时，min 2d =-， 故点P 到直线l
的距离的最小值为2．
（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，
所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，
()4t ϕ+>-（其中2tan a ϕ=
）恒成立，
4<，
又0a >
，所以0a <<
故a
的取值范围为(0．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()22f x x =+，()1g x x a x =---，a ∈R ．
（1）若4a =，求不等式()()f x g x >的解集；
（2）若对任意的1x ，2x ∈R ，不等式()()12f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{11}x x x <->或；（2）13a -≤≤．
【解析】（1）当4a =时，2241x x x +>---．
()3441251431x g x x x x x x -≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪≤⎩， ， ， ，
①当4x ≥时，223x +>-恒成立，∴4x ≥；
②当14x <<时，2225x x +>-+，即2230x x +->，即1x >或3x <-． 综合可知：14x <<；
③当1x ≤时，223x +>，则1x >或1x <-，综合可知：1x <-． 由①②③可知：{11}x x x <->或．
（2）当1a >时，()112111a x a g x a x x a a x -≥⎧⎪=+-<<⎨⎪-≤⎩
， ，　， ，()g x 的最大值为1a -，
要使()()12f x g x ≥恒成立，故只需21a ≥-，
则3a ≤，∴13a <≤；
当1a ≤时，()1121 1 1a x g x x a a x a x a -+≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤⎩
， ，　， ，()g x 的最大值为1a -， 要使()()12f x g x ≥恒成立，故只需21a ≥-， ∴1a ≥-，从而11a -≤≤． 综上讨论可知：13a -≤≤．。