2023年四川省成都市三校高中联考自主招生数学试卷含详解

2023年四川省成都市三校高中联考自主招生数学试卷
一､选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（）
A. B. C. D.
2.把抛物线23(1)2y x =+-先向右平移1个单位，再向上平移n 个单位后，得到抛物线23y x =，则n 的值是（
）A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知点()()()1232,1,,,3,y y y --都在反比例函数21
k y x +=的图象上，那么123y y y ､､的大小关系正确的是（
）
A.123y y y <<
B.321
y y y <<C.213y y y << D.312
y y y <<4.在直角ABC 中，90,3,2C AB AC ∠=== ，则sin A 的值为（）
A.53
B.2
C.23
D.5
5.如图，半径为R 的O 的弦AC BD =，且AC BD ⊥于E ，连结,AB AD ，若1AD =，则R 的值为（）
A.1
2 B.2
2 C.1 D.6.已知点()()111222,,,P x y P x y 为抛物线()240y ax ax c a =-++≠上两点，且12x x <，则下列说法正确的是（）
A.若124x x +<，则12
y y <B.若124x x +>，则12y y <
C.若()1240a x x +->，则12
y y >D .
若()1240a x x +-<，则12y y >7.如图，点,,A B C 在正方形网格的格点上，则sin BAC ∠等于（）
A.3
B.5
C.5
10 D.5
8.如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠= ，则BOD ∠的度数是（）
A.70
B.120
C.140
D.160o
9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点,A D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点,B E 在反比例函数(0,0)k y x k x
=
>>的图象上，若正方形ADEF 的面积为4，且BF AF =，则k 的值为（）
A.12
B.8
C.6
D.3
10.如图，在等边三角形ABC 中，4AB =，点D 是边AB 上一点，且1BD =，点P 是边BC 上一动点（D P ､两点均不与端点重合），作60,DPE PE ∠= 交边AC 于点E .若CE a =，当满足条件的点P 有且只有一个时，则a 的值为（）
A.2
B.2.5
C.3
D.4
二､填空题：本题共9小题，每小题4分，共36分.
11.点()3,2m +和点3,3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是同一个反比例函数图象上的点，则m 的值为__________.12.已知二次函数222(0)y x kx k k k =-+->，当1x <时，y 随x 的增大而减小，则k 的最小整数值为__________.
13.如图，线段9,AB AC AB =⊥于点,A BD AB ⊥于点,2,4B AC BD ==，点P 为线段AB 上一动点，且以A C P ､､为顶点的三角形与以B D P ､､为顶点的三角形相似，则AP 的长为__________.
14.已知二次函数22y x x n =++，当自变量x 的取值在21x -≤≤的范围内时，函数的图象与x 轴有且只有一个公共点，则n 的取值范围是__________.
15.若关于x 的方程()221210m x mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是__________.
16.对,x y 定义一种新运算T ，规定：(),2ax by T x y x y +=
+（其中,a b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：()010,1201a b T b ⨯+⨯==⨯+，已知()()1,12,4,21-=-=T T ，若关于m 的不等式组()()2,544,32T m m T m m P
⎧-≤⎪⎨->⎪⎩恰好有3个整数解，则实数P 的取值范围是________.
17.如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D ，点,B D 都在函数
62(0)y x x
=>的图像上，BE x ⊥轴于点E .若DC 的延长线交x 轴于点F ，当矩形OABC 的面积为92时，EF OE 的值为___________；点F 的坐标为___________.
18.如图，面积为4的平行四边形ABCD 中，4AB =，过点B 作CD 边的垂线，垂足为点E ，点E 正好是CD 的中点，点M ､点N 分别是AB AC ､.上的动点，MN 的延长线交线段DE 于点P ，若点P 是唯一使得线段45MPB ∠= 的点，则线段BM 长x 的取值范围是
__________.
19.如图，平行四边形,,4,60ABCD AB AD AD ADB ∠>== ，点E F ､为对角线BD 上的动点，2DE BF =，连接AE CF ､，则2AE CF +的最小值为
__________.
三､计算题：本大题共1小题，共12分.
20.（1）计算：0
4(1π)2cos4512++-+- .（2）解不等式组：()523113172
2x x x x ⎧->+⎪⎨-≤-⎪⎩①②四､解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
21.先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭，其中33=a .22.河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作A 、B 、C 、D ，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图2.
（1）田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？
（2）请把图2的条形统计图补充完整.
（3）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生.现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率.
23.东西走向海岸线上有一个码头
（图中线段AB ），已知AB 的长为132米，小明在A 处测得海上一艘货船M 在A 的东北方向，小明沿海岸线向东走60米后到达点C ，在C 测得M 在C 处的北偏东15 方向（参考数据：2 1.41,3 1.73,6 2.45)
≈≈≈（1）求AM 的长；（结果精确到1米）
（2）如图，货船从M 出发，沿着南偏东30 方向行驶，问该货船是否能行驶到码头所在的线段AB 上？请说明理由.
24.如图，在平面直角坐标系中，直线3y x b =+经过点()1,0A -，与y 轴正半轴交于B 点，与反比例函数(0)k y x x
=>交于点C ，且3,//AC AB BD x =轴交反比例函数(0)k y x x =>于点D .
（1）求b k ､的值；
（2）如图1，若点E 为线段BC 上一点，设E 的横坐标为m ，过点E 作//EF BD ，交反比例函数(0)k y x x
=>于点F .若13
EF BD =，求m 的值.（3）如图2，在（2）的条件下，连接FD 并延长，交x 轴于点G ，连接OD ，在直线OD 上方是否存在点H ，使得ODH 与ODG 相似（不含全等）？若存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由.
25.在O 中»»AB AC =，顺次连接A B C ､､.
（1）如图1，若点M 是 AC 的中点，且//MN AC 交BC 延长线于点N ，求证：MN 为O 的切线；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接MC ，过点A 作AP BM ⊥于点P ，若,,BP a MP b CM c ===，则a b c ､､有何数量关系？
（3）如图3，当60BAC ∠= 时，E 是BC 延长线上一点，D 是线段AB 上一点，且BD CE =，若5,BE AEF = 的周长为9，请求出AEF S 的值？
26.甲､乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是__________元；当每个公司租出的汽车为__________辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元(0)a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围.
27.在ABC 中，90,CAB AC AB ∠== .若点D 为AC 上一点，
连接BD ，将BD 绕点B 顺时针旋转90 得到BE ，
连接CE ，交AB 于点F .
（1）如图1，若75,4ABE BD ∠== ，求AC 的长；
（2）如图2，点G 为BC 的中点，连接FG 交BD 于点H .若30ABD ∠= ，猜想线段DC 与线段HG 的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若4,AB D =为AC 的中点，将ABD △绕点B 旋转得A BD '' ，连接A C A D ''､，当22A D A C ''+
最小时，求A BC S '△.
28.如图，抛物线222y x mx m =-+++与x 轴负半轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，3OB OA =.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设D 是第四象限内抛物线上的点，连接,:12:5COD AOD AD OD CD S S = ､､.
①求点D 的坐标；
②连接BD ，若点,P Q 是抛物线上不重合的两个动点，在直线(0)x a a =>上是否存在点,M N （点,,A P M 按顺时针方向排列，点,,A Q N 按顺时针排列），使得APM AQN ≅ 且APM ABD ∽？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.
2023年四川省成都市三校高中联考自主招生数学试卷
一､选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据题意，结合几何体的三视图的规则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，由圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，所以A 不合题意；对于B 中，由三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，所以B 不合题意；
对于C 中，由正方体的三视图都是正方形，所以C 符合题意；
对于D 中，由圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，所以D 不合题意.
故选：C.
2.把抛物线23(1)2y x =+-先向右平移1个单位，再向上平移n 个单位后，得到抛物线23y x =，则n 的值是（
）A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【分析】由函数的平移变化可得20n -+=，即可得出答案.
【详解】解：把抛物线23(1)2y x =+-先向右平移1个单位，再向上平移n 个单位后，得到：
23(11)2,y x n =+--+即：232,
y x n =-+由题意可知：20n -+=，
2n ∴=，
故选：B.
3.已知点()()()1232,1,,,3,y y y --都在反比例函数21
k y x +=的图象上，那么123y y y ､､的大小关系正确的是（
）
A .123y y y << B.321
y y y <<C.213y y y << D.312
y y y <<【答案】C
【分析】根据反比例函数的,x y 的变化情况，即可比较大小.
【详解】20k ≥Q ，211k ∴+≥，是正数，
∴反比例函数2
1
k y x +=的图象位于第一三象限，且在每一个象限内y 随x 的增大而减小，
()()()1232,,1,,3,y y y -- 都在反比例函数图象上，
2130,0y y y ∴<<>，
213y y y ∴<<.
故选：C.
4.在直角ABC 中，90,3,2C AB AC ∠=== ，则sin A 的值为（） A.53 B.5
2 C.2
3 D.25
5
【答案】A
【分析】根据直角三角形正弦值的表示，即可求解.
【详解】如图.
在Rt ABC 中，90C = ∠，
BC ∴===.
sin 3BC A AB ∴==.
故选：A
5.如图，半径为R 的O 的弦AC BD =，且AC BD ⊥于E ，连结,AB AD ，若1AD =，则R 的值为（）
A.1
2 B.2 C.1 D.【答案】B
【分析】连接OA ，OD ，由弦AC BD =，可得 AC BD =，继而可得 =BC AD ，然后由圆周角定理，证得
ABD BAC ∠=∠，即可判定AE BE =，由AE BE =，AC BD 丄，可求得45ABD ∠=︒，继而可得AOD △是
直角三角形，则可求得AD =，由此可解决问题．
【详解】解： 弦AC BD =， AC BD
∴=， BC AD ∴=，ABD BAC ∴∠=∠，;
AE BE ∴=如图，连接,OA OD ，
,AC BD AE BE ⊥= ，45ABE BAE ∠∠∴== ，
290AOD ABE ∠∠∴== ，OA OD = ，
AD ∴=，1AD = ，22
R ∴=
，故选：B.
6.已知点()()111222,,,P x y P x y 为抛物线()240y ax ax c a =-++≠上两点，且12x x <，则下列说法正确的是（）
A.若124x x +<，则12
y y <B.若124x x +>，则12
y y <C.若()1240a x x +->，则12
y y >D.若()1240a x x +-<，则12
y y >【答案】C
【分析】分a<0和0a >，结合图象对选项一一判断即可得出答案.
【详解】解：24y ax ax c =-++ ，
∴抛物线对称轴为直线422a x a
=-=-，当点()()111222,,,P x y P x y 恰好关于2x =对称时，有1222
x x +=，124x x ∴+=，即1240x x +-=，12x x < ，122;
x x ∴<< 抛物线的开口方向没有确定，则需要对a 进行讨论，故排除A ，B ；
当0a >时，抛物线24y ax ax c =-++的开口向下，
此时距离直线2x =越远，y 值越小；
()1240a x x +-> ，1240x x ∴+->，
∴点()222,P x y 距离直线2x =较远，12
y y ∴>当0a <时，抛物线24y ax ax c =-++的开口向上，
此时距离直线2x =越远，y 值越大；
()1240a x x +-> ，1240x x ∴+-<，
∴点()111,P x y 距离直线2x =较远，12
y y ∴>故C 符合题意，D 不符合题意.
故选：C.
7.如图，点,,A B C 在正方形网格的格点上，则sin BAC ∠等于（）
A.3
B.5
C.10
D.5
5
【答案】D
【分析】求出CD ，AD 和AC ，由勾股定理可证明ACD 是直角三角形，再由sin sin CD BAC CAD AC
∠=∠=，代入即可得出答案.
【详解】解：连接CD ，点D 在格点上，如图所示：
设每个小正方形的边长为a ，则222CD a a a =+=，
22(3)10AC a a a =+=，
22(2)(2)2AD a a a =+=，
2222222)(22)10)CD AD a a a AC ∴+=+==，
ACD ∴是直角三角形，
25sin sin 510CD a BAC CAD AC a
∠∠∴==
=，故选：D.
8.如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠= ，则BOD ∠的度数是（）
A.70
B.120
C.140
D.160o
【答案】C 【分析】利用圆周角和圆心角关系求解.
【详解】 四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠= ，
18070A BCD ∠∠∴=-= ，
由圆周角定理得，2140BOD A ∠∠== ，
故选：C.
9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点,A D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点,B E 在反比例函数(0,0)k y x k x
=>>的图象上，若正方形ADEF 的面积
为4，且BF AF =，则k 的值为（）
A.12
B.8
C.6
D.3
【答案】B 【分析】先由正方形的面积得出边长，据此可设B (),4t ，则E ()2,2t +，根据点,B E 在反比例函数
(0,0)k y x k x
=>>的图象上，得()422k t t ==+，求解即可.【详解】解： 正方形ADEF 的面积为4，
∴正方形ADEF 的边长为2，
2,224BF AF AB AF BF ∴===+=+=.
设B 点坐标为(),4t ，则E 点坐标()2,2t +，
点,B E 在反比例函数(0,0)k y x k x
=>>的图象上，()422k t t ∴==+，
解得2,8t k ==.
故选：B.
10.如图，在等边三角形ABC 中，4AB =，点D 是边AB 上一点，且1BD =，点P 是边BC 上一动点（D P ､两点均不与端点重合），作60,DPE PE ∠= 交边AC 于点E .若CE a =，当满足条件的点P 有且只有一个时，则a 的值为（）
A.2
B.2.5
C.3
D.4
【答案】D 【分析】依题意得BDP CPE ，即240BP BP a -+=，根据一元二次方程有一个解Δ0=求解即可.
【详解】解：ABC 是等边三角形，
60B C ∴∠=∠= ，
180120BDP BPD B ∠∠∠∴+=-= ，
60DPE ∠= ，
120BPD CPE ∠∠∴+= ，
BDP CPE ∴∠=∠，
60B C ∠=∠= ，
BDP CPE ∴ ；
BD BP CP CE
∴=，14BP BP a
∴=-，240BP BP a ∴-+=，
满足条件的点P 有且只有一个，
∴方程240BP BP a -+=有两个相等的实数根，
2Δ440a ∴=-⨯=，
4a ∴=.
故选：D.
二､填空题：本题共9小题，每小题4分，共36分.
11.点()3,2m +和点3,
3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭是同一个反比例函数图象上的点，则m 的值为__________.【答案】6
-【分析】根据两点在同一反比例函数图象上，可构造方程求得结果.
【详解】 点()3,2m +和点3,3m ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
是同一个反比例函数图象上的点，()2333
m m ∴+=⨯
，解得：6m =-.故答案为：6-.12.已知二次函数222(0)y x kx k k k =-+->，当1x <时，y 随x 的增大而减小，则k 的最小整数值为__________.
【答案】1
【分析】根据二次函数的图象、单调性即可求解.
【详解】二次函数2222()y x kx k k x k k =-+-=--的对称轴为x k =，开口向上,
所以当x k ≤时，y 随x 的增大而减小，
又当1x <时，y 随x 的增大而减小，
所以1k ≥，即k 的最小整数值为1.
故答案为：1.
13.如图，线段9,AB AC AB =⊥于点,A BD AB ⊥于点,2,4B AC BD ==，点P 为线段AB 上一动点，且以A C P ､､为顶点的三角形与以B D P ､､为顶点的三角形相似，则AP 的长为__________.
【答案】1或3或8.
【分析】由三角形相似，对应边成比例，列方程求AP 的长.
【详解】设AP x =，以A C P ､､为顶点的三角形与以B D P ､､为顶点的三角形相似，①当AC AP BD PB =时，249x x
=-，解得3x =.②当
AC AP BP BD =时，294x x =-，解得1x =或8x =，所以当以A C P ､､为顶点的三角形与以B D P ､､为顶点的三角形相似时，
AP 的长为1或3或8，
故答案为：1或3或8.
14.已知二次函数22y x x n =++，当自变量x 的取值在21x -≤≤的范围内时，函数的图象与x 轴有且只有一个公共点，则n 的取值范围是__________.
【答案】1n =或30
n -≤<【分析】先确定抛物线的对称轴为直线=1x -，利用函数图象，可得120n ++≥且440n -+<，解不等式组即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线2121
x =-=-⨯，且开口向上，若抛物线与x 轴有且仅有一个交点，则有1,0x y =-=；
当1,0x y =≥时，在21x -≤≤的范围内，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，
根据对称性，公共点不可能在20x -≤≤范围内，而在01x <≤范围内，
则120n ++≥且440n -+<，解得30n -≤<；
所以，n 的取值范围是1n =或30n -≤<.
故答案为：1n =或30n -≤<.
15.若关于x 的方程()221210m x mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是__________.【答案】{}
12m m m =>或【分析】对m 分类讨论，求出方程的根，根据方程的根满足条件求m 的范围.
【详解】解：当210-=m 时，1m =±.
当1m =时，可得1210,2x x -==
，符合题意；当1m =-时，可得1210,2x x --==-，不符合题意；当210m -≠时，()221210m x mx -+-=，即()()11110m x m x ⎡⎤⎡⎤+--+=⎣⎦⎣⎦，
1211,11x x m m
-∴==+-. 关于x 的方程()
221210m x mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，10111011m m
⎧<<⎪⎪+∴⎨-⎪<<⎪-⎩，解得02m m >⎧⎨>⎩，即2m >.综上可得，实数m 的取值范围是{}12m m m =>或.故答案为：{}12m m m =>或.
16.对,x y 定义一种新运算T ，规定：(),2ax by T x y x y
+=+（其中,a b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：()010,1201a b T b ⨯+⨯==⨯+，已知()()1,12,4,21-=-=T T ，若关于m 的不等式组()()2,544,32T m m T m m P
⎧-≤⎪⎨->⎪⎩恰好有3个整数解，则实数P 的取值范围是________.【答案】1
23
P -≤<-【分析】根据已知得出关于,a b 的方程组，求出,a b ，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围.
【详解】因为()()1,12,4,21-=-=T T ，所以422,212124
a b a b -+=-+=-⨯，解得1,3a b ==，所以()()
235412,5444542m m T m m m m m +⨯--=
≤⇒≥-+-，()()33293,322325m m P T m m P m m m +⨯---=>⇒<+-，因为不等式组恰有3个整数解，
所以93123253
P P -<≤⇒-≤<-，故答案为：123P -≤<-
.17.如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D ，点,B D 都在函数
(0)y x
x
=>的图像上，BE x ⊥轴于点E .若DC 的延长线交x 轴于点F ，当矩形OABC 的面积为时，EF OE 的值为___________；点F 的坐标为___________.
【答案】①.1
2##0.5；②.(,0)2
【分析】连接OD ，作DG x ⊥轴，设点6262(,
(,)B b D a b a ，根据矩形的面积得出三角形BOD 的面积，将三角形BOD 的面积转化为梯形BEGD 的面积，从而得出, a b 的等式，将其分解因式，从而得出, a b 的关系，进而在直角三角形BOD 中，根据勾股定理列出方程，进而求得 B D 、的坐标，进一步可求得结果.【详解】如图，
作DG x ⊥轴于G ，连接OD ，设BC 和OD 交于I ,
设点6262(,(,)B b D a b a
，由对称性可得:,
BOD BOA OBC ≌≌ ,OBC BOD BC OD OI BI ∴∠=∠=∴=，，
DI CI ∴=，,DI CI OI BI
∴=,CID BIO ∠=∠ ,,
CDI BOI CDI BOI ∴∴∠=∠ //,
CD OB ∴1
,22BOD AOB EAOCB S S S ∴==
= 矩形1||
2
BOE DOG S S k === ,
BOD DOG BOE BEGD S BOGD S S S BEGD S =+=+ 四边形梯形92,2
BOD BEGD S S == 梯形1
()22
a b a b ∴+-=222320,
a a
b b ∴--=(2)(2)0,
a b a b ∴-⋅+=2,2b a b a ∴==-
（舍去），62(2,),2D b b ∴即32(2,),D b b
在Rt BOD 中，由勾股定理得222,
OD BD OB +=22222232623262(2)()(2)()(),b b b b b b b b ⎡⎤⎡⎤∴++-+=+⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦b ∴=
B D ∴
因为直线OB 的解析式为：,
y =
所以直线DF 的解析式为：y =-
当0y =时，330,2
x -=∴=
(,0),22
F OE OF ∴== 31,,22EF EF OF OE OE ∴=-=
∴=故答案为：133,(,0).22
【点睛】关键点点睛：本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k ”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图像性质，分解因式等知识，解决问题的关键是等式变形，进行分解因式.
18.如图，面积为4的平行四边形ABCD 中，4AB =，过点B 作CD 边的垂线，垂足为点E ，点E 正好是CD 的中点，点M ､点N 分别是AB AC ､.上的动点，MN 的延长线交线段DE 于点P ，若点P 是唯一使得线段45MPB ∠= 的点，则线段BM 长x 的取值范围是__________.
【答案】24
x -≤≤【分析】根据点P 是唯一使得线段45MPB ∠= 的点，可看成弦MB 所对的圆周角45MPB ∠= ，设MBP 外接
圆的圆心为O ，由CD 与AB 之间的距离为1，1122
x x +≥，又4MB ≤，即可得出答案.【详解】解： 平行四边形ABCD 的面积为4,4,AB BE CD =⊥，
1BE ∴=， 点P 是唯一使得线段45MPB ∠= 的点，
则可看成弦MB 所对的圆周角45MPB ∠= ，
设MBP 外接圆的圆心为O ，
则90MOB ∠= ，22
OB x ∴=，CD 与AB 之间的距离为1，12122
x x ∴+≥，
2x ∴≥
，又4MB ≤ ，24x ∴≤≤.
故答案为：24x -≤≤.
19.如图，平行四边形,,4,60ABCD AB AD AD ADB ∠>== ，点E F ､为对角线BD 上的动点，2DE BF =，连接AE CF ､，则2AE CF +的最小值为__________.
【答案】【分析】在直线DB 的上方作60BDT ∠= ，且使得2DT BC =.过点T 作TH AD ⊥交AD 的延长线于，将2AE CF +的最小值问题转化为AT 的最小值问题，利用平面几何知识求解即可.
【详解】如图，在直线DB 的上方作60BDT ∠= ，且使得2DT BC =.
过点T 作TH AD ⊥交AD 的延长线于H .
四边形ABCD 是平行四边形，
BC ∴ ,4AD AD BC ==，
60ADB DBC ∠∠∴== ，
CBF TDE ∠∠∴=，
12
BC BF DT DE == ，CBF TDE ∴~ ，12CF BC ET DT ∴
==，2ET CF ∴=，
180606060,90,28TDH H DT BC ∠∠=--==== ，
cos604,DH DT HT ∴=⋅=== ，
8AH AD DH ∴=+=
，
AT ∴===，
2,AE CF AE ET AE ET AT +=++≥
，
2AE CF ∴+≥2AE CF ∴+
的最小值为.
故答案为：三､计算题：本大题共1小题，共12分.
20.（1
）计算：0
(1π)2cos451++-+- .（2）解不等式组：()523113172
2x x x x ⎧->+⎪⎨-≤-⎪⎩①②【答案】(1)2；（2）542
x <≤【分析】（1）分别进行算术平方根、零次幂、三角、绝对值运算，再由加减运算法则计算求值；
（2）分别求解两个一次不等式的解集，再利用数轴求它们的公共部分即可.
【详解】（1
）原式221212
=+-⨯+
-211
=+-+-2=；
（2）由①得：52x >
，由②得：4x ≤，则不等式组的解集为542
x <≤.四､解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
21.先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭
，其中3=a .【答案】13a +，33
【分析】对式子变形结合因式分解及完全平方和化简式子，代入3=
-a 即可计算.【详解】原式212(3)111a a a a a ++⎛⎫=+÷ ⎪+++⎝⎭
2311(3)a a a a ++=
⋅++13
a =+，
当3=
-a 时，原式3
3==.22.河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作A 、B 、C 、D ，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图2.
（1）田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？
（2）请把图2的条形统计图补充完整.
（3）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生.现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率.
【答案】（1）15件；
（2）答案见解析（3）35
【分析】（1）根据B 班有5件作品，且对应的圆心角为120 求解；
（2）结合（1）根据总件数和A ，B ，D 班的件数求解；
（3）利用古典概型的概率求解.
【小问1详解】解：120515360︒÷=︒
（件），即田老师抽查的四个班级共征集到作品15件；
【小问2详解】
C 班级的作品数为：153543---=（件）
，把图2的条形统计图补充完整如下：
【小问3详解】
恰好抽中一名男生、两名女生的概率，即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率.不参加学校书画座谈会的获奖选手情况画树状图如下：
共有20种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有12种，∴恰好抽中一名男生、两名女生的概率为123205=.23.东西走向海岸线上有一个码头
（图中线段AB ），已知AB 的长为132米，小明在A 处测得海上一艘货船M 在A 的东北方向，小明沿海岸线向东走60米后到达点C ，在C 测得M 在C 处的北偏东15 方向（参考数据：2 1.41,3 1.73,6 2.45)
≈≈≈（1）求AM 的长；（结果精确到1米）
（2）如图，货船从M 出发，沿着南偏东30 方向行驶，问该货船是否能行驶到码头所在的线段AB 上？请说明理由.
【答案】（1）116米
（2）该货船能行驶到码头所在的线段AB 上，理由见解析
【分析】（1）过点C 作CD AM ⊥，垂足为D ，45MAC ∠= ，30∠= AMC ，60AC =米，利用三角函数求出,AD DM ，得AM 的长；
（2）设货船行驶路线交线段AB 所在的直线于点G ，构造直角三角形，利用三角函数求AG 的长度，与AB 比较
即可.
【小问1详解】
过点C 作CD AM ⊥，垂足为D
，
由题意得：
904545,9015105MAC ACM ∠∠=-==+= ，
18030AMC MAC ACM ∠∠∠∴=--= ，
在Rt ADC 中，60AC =
米，
2cos45602
AD AC ∴=⋅=⨯= （米）
，2sin45602
CD AC =⋅=⨯= （米），在Rt CDM △
中，tan303
3CD DM =
= （米）
，116AM AD DM ∴=+=+≈（米）
，AM ∴的长约为116米；
【小问2详解】
该货船能行驶到码头所在的线段AB 上，
理由：过点M 作MF AB ⊥，垂足为F ，设货船从M 出发，沿着南偏东30 方向行驶，交线段AB 所在的直线于点G ，
由题意得：
30FMG ∠= ，
在Rt AMF
中，(AM =米，45MAF ∠= ，
((2cos4530
2AF AM ∴=⋅=⨯=+ 米，
((sin4530
2FM AM =⋅=⨯=+ 米，
在Rt MGF 中，(()
3tan3030303FG MF =⋅=+⨯=+ 米，303060129.2(AG AF FG ∴=+=+=+
米)，
132AB = 米，
132∴米>129.2米，
∴该货船能行驶到码头所在的线段AB 上.
24.如图，在平面直角坐标系中，直线3y x b =+经过点()1,0A -，与y 轴正半轴交于B 点，与反比例函数(0)k y x x
=>交于点C ，且3,//AC AB BD x =轴交反比例函数(0)k y x x =>于点D .
（1）求b k ､的值；
（2）如图1，若点E 为线段BC 上一点，设E 的横坐标为m ，过点E 作//EF BD ，交反比例函数(0)k y x x =>于点F .若13
EF BD =，求m 的值.（3）如图2，在（2）的条件下，连接FD 并延长，交x 轴于点G ，连接OD ，在直线OD 上方是否存在点H ，使得ODH 与ODG 相似（不含全等）？若存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）3b =，18
k =（2）1（3）存在，()3,4或()1,3或927,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1515,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
，理由如下【分析】（1）作CM x ⊥轴于M ，证明BOA CMA ，再根据直线3y x b =+经过点A ，即可求得b ，进而可求得B 点的坐标，即可求出C 点的坐标，进而可求得k ；
（2）根据BD //x 轴可求出D 点的坐标，再根据EF //BD 可求得F 点的坐标，再根据13
EF BD =即可得解；（3）过点D 作DQ x ⊥轴于点Q ，先求出,OD DG ，再分HOD DOG ∠=∠，HOD DGO ∠=∠和HOD ODG ∠=∠三
种情况讨论即可得解.
【小问1详解】
作CM x ⊥轴于M ，如图1：
,BOA CMA BAO CAM ∠∠∠∠== ，
BOA CMA ∴ ，
直线3y x b =+经过点()1,0A -，
30b ∴-+=，解得3b =，
∴直线解析式为：33y x =+，()0,3B ∴，
3AC AB = ，
39,33CM BO AM OA ∴====，
C ∴点坐标为()2,9，
∴将C 点坐标代入k y x
=
，得18k =；【小问2详解】BD Q //x 轴，
D ∴点的纵坐标为3，代入18y x
=
，得6x =，D ∴点坐标为()6,3，将E 点横坐标代入33y x =+，得33y m =+，
EF //BD ，
F ∴点纵坐标为33m +，代入18y x =，得61
x m =+，F ∴点坐标为6,331m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，13EF BD = ，
61613
m m ∴-=⨯+，解方程得1m =或4-（舍），1m ∴=；
【小问3详解】
存在，理由如下：
如图2，过点D 作DQ x ⊥轴于点Q ，
由（2）知()()3,6,6,3D F ，
∴直线FD 的解析式为：9,6,3y x OQ DQ =-+==，
9OG ∴=，
:3DQ GQ ∴=，
45QGD QDG ∠∠∴== ，
OD DG ∴==
，
当HOD DOG ∠=∠时，如图2所示，设BD 与OH 交于点P ，
由（2）知，BD //x 轴，
BDO DOG ∴∠=∠，
BDO HOD ∴∠=∠，
OP PD ∴=，
设OP m =，则6BP m =-，
在Rt OBP △中，由勾股定理可得，2223(6)m m +=-，解得154
m =，94BP ∴=，9,34P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
，∴直线OP 的解析式为：43
y x =；①若ODG ODH ，则::1OD OD OG OH ==，不符合题意，舍去；
②若ODG OHD ，
::OD OH OG OD ∴=
，即9OH =，解得5OH =，
设()3,4H t t ，
222(3)(4)5t t ∴+=，解得1t =，负值舍去，
()3,4H ∴；
当HOD DGO ∠=∠时，
①若ODG DHO ，如图4，
,::DOG ODH DG OH OG DO ∠∠∴==，
DH ∴//OG
，即点H 在BD 上，:9OH =，
OH ∴=，
1BH ∴=，
()1,3H ∴，直线OH 的解析式为：3y x =；
②若ODG HDO ~ ，
::DG OD OG OH ∴=
，即9:OH =，解得OH =设(),3H t t ，
2
22(3)2t t ⎛∴+= ⎝⎭，解得92t =，负值舍去，927,22H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；
当HOD ODG ∠=∠时，OH //EG ，
∴直线OH 的解析式为：y x =-；
①若ODG DOH ，则::1OD OD OG DH ==，不符合题意，舍去；
②若ODG HOD ，如图5，
::OD OH DG OD ∴=
，即OH =，解得2
OH =
，设(),H t t -，2
22152()2t t ⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得152t =-，正值舍去，1515,22H ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭；
综上，符合题意的点H 的坐标为：()3,4或()1,3或927,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1515,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
.【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角形相似的判定和性质是解决本题的关键.
25.在O 中»»AB AC =，顺次连接A B C ､､.
（1）如图1，若点M 是 AC 的中点，且//MN AC 交BC 延长线于点N ，求证：MN 为O 的切线；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接MC ，过点A 作AP BM ⊥于点P ，若,,BP a MP b CM c ===，则a b c ､､有何数量关系？
（3）如图3，当60BAC ∠= 时，E 是BC 延长线上一点，D 是线段AB 上一点，且BD CE =，若5,BE AEF = 的周长为9，请求出AEF S 的值？
【答案】（1）证明见解析
（2）a b c
=+
（3）16
【分析】（1）利用切线定义，证明OM MN ⊥即可；
（2）连接OM 交AC 于K ，通过勾股定理和ABP MCK 对应边成比例，得a b c ､､的数量关系；
（3）构造平行四边形，求利用三角形全等和平行线的性质求相应的边长，由AEF ADE ADF S S S =- 计算面积.
【小问1详解】
如图1，连接OM ，
M 是 AC 的中点，OM AC ∴⊥，
//MN AC ，OM MN ∴⊥，
OM Q 为O 的半径，MN ∴为O 的切线；
【小问2详解】
如图2，连接OM 交AC 于K ，连结AM ，
M 是 AC 的中点， AM CM
∴=，AM CM c ∴==，AP BM ⊥ ，90APM APB ∠∠∴== ，
22222AP AM PM c b ∴=-=-，
222222AB AP BP c b a ∴=+=-+，AC AB ∴==，
M 是 AC 的中点，OM AC ∴⊥，12AK CK AC ∴===90,APB CKM ABP MCK ∠∠∠∠=== ，
ABP MCK ∴ ，BP CK AB CM
∴
=，BP CM CK AB ∴⋅=⋅，
ac ∴=，2222ac c b a ∴=-+，22()0a c b ∴--=，()()0a b c a b c ∴+---=，
0a b c +-> ，0a b c ∴--=，
a b c ∴=+；
【小问3详解】
过点B 作//BH AC ，过点D 作//DH BC ，BH 与DH 交于点H ，连接CH ，
当60BAC ∠= 时，BAC 为等边三角形，
则60,60BDH ABC DBH BAC ∠∠∠∠==== ，
BDH ∴ 是等边三角形，,60BH BD DHB ∠∴== ，
BH CE ∴=，6060120CBH ABC DBH ∠∠∠=+=+= ，
180120,ACE ACB CBH AC BC ∠∠∠=-=== ，
()ACE CBH SAS ∴≅ ，,CAE BCH AE CH ∠∠∴==，
//DH BC Q ，DH CE =，∴四边形CEDH 是平行四边形，
//D CH E ∴，CH ED =，
BCH BED ∠∠∴=，CH AE =，AE ED ∴=，,
BED CAE ∠∠=过点E 作ET AB ⊥于点T ，交AC 于点L ，连接DL ，则12
AT TD AD ==，AL DL =，60BAC ∠= ，ADL ∴ 是等边三角形，60ALD ACB ∠∠∴== ，
//DL BC ∴，即HD 与DL 在同一直线上，∴四边形BCLH 是平行四边形，
CL BH BD CE ∴===，LH BC =，
设CE x =，则52,5,52,2
x CL x BC AC x AD DL AL AC CL x AT -===-===-=-=，//DF CH ，LF LD CL LH ∴=，即525LF x x x -=-，()525x x LF x
-∴=-，
()()
525525255x x
x AF AL LF x x x --∴=+=-+=--，
在Rt BET
中，sin602
ET BE =⋅= ，222AE AT ET =+
，22225252522x AE x x ⎛-⎛⎫∴=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，延长,BH ED 交于点R ，则,,RHD FCE R CFE DH CE ∠∠∠∠===，
()HDR CEF AAS ∴≅ ，DR EF ∴=，
()
552209955x x ER ED DR AE EF AF x x
-+∴=+=+=-=-=--，//CH ED ，CH BC ER BE ∴=，52020555
BC x x x CH ER BE x -++∴=⋅=⨯=-，205x AE +∴=，22205255x x x +⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭
，解得：15=x （舍去），2158
x =，()5521552552,1021584558
x AD AF x -∴=-⨯===-=--，作DM AL ⊥于点M ，则5353sin60428DM AD =⋅=
⨯= ，1115531531532222422816
AEF ADE ADF S S S AD ET AF DM ∴=-=⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯= .26.甲､乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是__________元；当每个公司租出的汽车为__________辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元(0)a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围.
【答案】（1）48000；37
（2）33150（3）50150
a <<【分析】（1）直接根据条件列式计算即可；
（2）分甲公司的利润大于乙公司和乙公司的利润大于甲公司两种情况分别计算，算出最大利润差；
（3）根据利润差最大，利用二次函数的性质列不等式求解.
【小问1详解】
()5010503000102001048000⎦-⨯+⨯-⎡⎤⎣⨯=元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x 辆，
由题意可得：()5050300020035001850x x x x -⨯+-=-⎡⎤⎣⎦，
解得：37x =或=1x -（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
【小问2详解】
设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，
则y 甲()50503000200,
x x x ⎡⎤=-⨯+-⎣⎦35001850y x =-乙，
当甲公司的利润大于乙公司时，037,
x <<()()
5050300020035001850y y y x x x x ⎡⎤=-=-⨯+---⎣⎦甲乙25018001850x x =-++，当180018502
x =-=-⨯时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，3750,
x <≤()3500185050503000200y y y x x x x
⎡⎤=-=---⨯++⎣⎦乙甲25018001850x x =--，
对称轴为直线180018502
x -=-=⨯，当50x =时，利润差最大，且为33150元；。