集合与常用逻辑用语

专题一集合与常用逻辑用语
一定义
某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。

组成集合的对象叫做元素。

二集合的抽象表示形式
用大写字母A，B，C……表示集合；用小写字母a，b，c……表示元素。

三元素与集合的关系
有属于，不属于关系两种。

元素a属于集合A，记作a A
∈；元素a不属于集合A，记作a A
∉。

四（1）几种集合的命名
有限集：含有有限个元素的集合；
无限集：含有无限个元素的集合；
空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用∅表示；
自然数集：N；正整数集：N*或N+；整数集：Z；
有理数集：Q；实数集：R。

（2）集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
（3）集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A
A⊆；
②空集是任何集合的子集，记为A
φ；
⊆
③空集是任何非空集合的真子集；
④空集的补集是全集.
⑤若集合A=集合B，则C B A =∅，C A B =∅
五集合的表示方法
(一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，
例如：{a,b,c}。

注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。

(二)描述法：有以下两种描述方式
1．代号描述：【例】方程2x3x+2=0
-的所有解组成的集合，可表示为{x|x2-3x+2=0}。

x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。

2．文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。

【例】{大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。

(三) 韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关
系。

1．子集：如果属于A的所有元素都属于B，那么A就叫做B的
子集，记作：A B
⊆，如图1-1所示。

图1-1 子集有两种极限情况：(1)当A成为空集时，A仍为B的子集；
(2)当A和B相等时，A仍为B的子集。

真子集：如果所有属于A的元素都属于B，而且Ｂ中至少有一个元素不属于A，那么A 叫做B的真子集，记作A B
⊂。

真子集也是子集，和子集的区别之处在于A B
≠。

对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。

(1)求子集或真子集的个数，由n 各元素组成的集合，有2n 个子集，有2n
-1个真子集；有2n
－2个非空真子集.
(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，A B ⊆的等价形式主要有：B B A A B A == ，。

2．交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作B A ，读作A 交B ，如图1-2所示。

图1-2 图1-3 图1-4
3．并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作B A ，读作A 并B ，如图1-3所示。

4．补集：由所有不属于Ａ的元素组成的集合，叫做Ａ在全集Ｕ中的补集，记作U C A ，读作A 补，如图1-4所示。

(四) 区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，[2,3]，(2,3]，[2，3]．．． （五）”∃”表是“存在”; “∀”表示“任意”。

六 集合运算：
（1）交、并、补.
{|,}{|}{,}
A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉ U 交：且并：或补：且C （2）主要性质和运算律
（1） 等价关系：U A B A B A A B B A B U ⊆⇔=⇔=⇔= C （2） 集合的运算律：
交换律：.;A B B A A B B A ==
结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == （3）德摩根公式 ：
();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .
七 简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q
逆命题若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p
互为逆否互逆否互为逆
否
互
互逆
否
互“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )； 非p(记 作“┑q ” ) 。

3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真．
4、四种命题的形式：
原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；
否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题⇔逆否命题)
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

④、小范围推出大范围；大范围推不出小范 6、如果已知p ⇒q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件，记为p ⇔q. 7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。