贵州省贵阳市高考数学专题复习 三角函数的图像与性质学案16

专题三角函数的图像、性质与sin()y A x ϕ=+
1 基础知识 A.基础梳理
1．“五点法”描图
(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，(
,1)2
π
，(π，0)，3(
,1)2
π
-，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，(
,0)2
π
，(π，－1)，3(
,0)2
π
，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质
B.方法与要点
1、两条性质 (1)周期性
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π
|ω|.
(2)奇偶性
2、三种方法
求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；
(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． C.双基自测
1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos ()3
x π
+
，x ∈R ( )．
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既不是奇函数也不是偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数y ＝tan ()4
x π
-的定义域为( )．
A.|,4x x k k Z π
π⎧⎫≠-
∈⎨⎬⎩⎭ B.|2,4x x k k Z ππ⎧⎫
≠-∈⎨⎬⎩⎭
C.|,4x x k k Z π
π⎧⎫≠+
∈⎨⎬⎩
⎭ D.|2,4x x k k Z ππ⎧⎫
≠+∈⎨⎬⎩⎭
3．已知k <－4，则函数2
2cos 1(cos 1)y x k x =-+-的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1 4．y ＝sin ()4
x π
-
的图象的一个对称中心是( )．
A ．(－π，0) B.3(,0)4π- C.3(,0)2π D.(,0)2
π
5．函数f (x )＝cos (2)6
x π
+
的最小正周期为________．
D.考点解析
2 典型例题
考点一 三角函数的定义域与值域
【例1－1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2
的定义域． (2)求函数y ＝cos 2
x ＋sin x (||)4
x ≤
的最大值与最小值．
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之；
②形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；
③形如y ＝a sin 2
x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； ④形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．
【训练1】（1）求函数y ＝sin x －cos x 的定义域．
（2）已知函数11
()(sin cos )sin cos 22
f x x x x x =
+--,则()f x 的值域是
(A)[]1,1- (B) ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ (C) 1,2⎡-⎢⎣⎦ (D) 1,2⎡--⎢⎣⎦
(3) 当04x π
<<时,函数22
cos ()cos sin sin x
f x x x x
=-的最小值是 ( ) A. 4 B.
12 C.2 D. 1
4
考点二 三角函数的奇偶性与周期性
【例2－1】►判断下列函数的奇偶性及周期性，若具有周期性，则求出其周期.
（1）x x f sin )(= （2）x x f sin )(= （3）x x f cos log )(2＝ （4）)2sin(3)(+π
x
x f ＝
求三角函数的最小正周期的一般方法：
①先化为)sin(φω+=x A y ，在由公式ϖ
π
2=
T 求之；
②由周期函数的定义：)()(x f T x f =+求得
③ 一般地，)sin(φω+=x y 或)cos(φω+=x y 的周期是不含有绝对值的函数的周期的一半
【例2－2】►设有函数()⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
=3s i n πkx a x f 和()tan ,03x b kx k πϕ⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭，若它们的最小正周期的和为
23π，且⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛22πϕπf ，1434+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πϕπf ，求()x f 和()x ϕ的解析式。

【例2－3】►已知函数1
2
()log )4
f x x π
=-．（1）求它的定义域，值域；（2）判定它的奇偶性和周期性；（3）判定它的单调区间及每一区间上的单调性．
【训练2】
1、定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2
,
0[π
∈x 时，
x x f sin )(=，则)35(
πf 的值为( ) A. 2
1- B.
2
1
C. 2
3-
D.
2
3 2、函数2
sin
x
y =的最小正周期是( ) A 2π B π C 2π D 4π
3、函数x x y cos -=的部分图象是()
4、给定性质：①最小正周期为π，②图象关于直线3
π
=x 对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②
的是（ ）A ．)62sin(
π+=x y B ．)62sin(π
+=x y C ．||sin x y = D ．)6
2sin(π
-
=x y
考点三 三角函数的单调性 【例3－1】►已知)2
sin(2)(π
+
=x x f ，[]π,0∈x 求)(x f 的单调递增区间．
【例3－2】已知函数()sin(2)
f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6
f x f π
≤对x R ∈恒成立，且()()2
f f π
π>，则()f x 的单调递增区间是( )
（A ）,()3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣
⎦ （C ）2,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
（1）求三角函数的单调区间的一般方法是：①首先化为)sin(φω+=x A y ；②再解不等式：
2
22
2π
πφωπ
π+
≤+≤-
k x k （增函数区间）或2
322
2π
πφωπ
π+
≤+≤+
k x k （减函数区间）（也可先解2
2
π
φϖπ
≤
+≤-
x （增）或
2
32
π
φϖπ
≤
+≤x ，然后再在区间端点前面加上周期的k 倍） （2）如果题目中还限制了自变量x 的取值范围，还应在规定范围下求单调区间的子区间。

【训练3】
1、sin 3y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的单调减区间是（ ） A ．()5,6
6k k k π
πππ⎡⎤
-
+
∈Z ⎢⎥⎣⎦
B ．()52,26
6k k k π
πππ⎡
⎤
-
+
∈Z ⎢⎥⎣
⎦
C ．()7,66k k k ππππ⎡⎤
-
-∈Z ⎢⎥⎣
⎦
D ．()72,266k k k ππππ⎡
⎤
-
-∈Z ⎢⎥⎣
⎦
2、设函数)2
,0)4sin(2)(π
ϕωπϕω<>+=
（＋x x f 的最小正周期为π，且
)()(x f x f =-，则( )
A.)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,
0π单调递减 B. )(x f 在⎪⎭⎫
⎝⎛43,4ππ单调递减 C. )(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,
0π单调递增 D. )(x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛4
3,4π
π单调递增
考点四 三角函数的对称性 【例4－1】► (1)函数y ＝cos (2)3
x π
+
图象的对称轴方程可能是( )．
A ．x ＝－π6
B ．x ＝－π12
C ．x ＝π6
D ．x ＝π
12
(2)若0<α<
π2，g (x )＝sin (2)4
x π
α++是偶函数，则α的值为________． （3）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(
,0)3
π
中心对称，那么φ的最小值为 (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2
π
【例4－2】►已知函数)2sin(3)(ϕ+=x x f ，若3)(=a f ，则)65(π+a f 与)12
(π
+a f 的大小关系是 A 、)65(π+a f >)12(π+a f B 、)65(π+a f <)12(π+a f C 、)65(π+a f =)12
(π
+a f D 大小与a 、ϕ有关
（1）正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称
图形，应熟记住它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．
（2）三角函数的对称性及其应用：①对称中心⇔图象上的平衡点，对称轴⇔图象上的极值点；②三角函数的对称性也符合对称中心及对称轴的一般公式。

【训练4】
(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)(||)2
π
ϕ<
的一条对称轴为x ＝π
12
，则φ＝________.
(2)如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫
⎪⎝⎭
，0中心对称，那么φ的最小值为( ) （A ）
6π （B ）4π （C ）3π (D) 2
π （3）)2
2
,0,0)(sin()(π
ϕπωϕω<<->≠+=A x A x f 的图象关于x ＝3
2π对称，它的周期是π，则（ ）
A 、f(x)的图象过点（0，)21
B 、f(x)在区间]13
2,125[π
π上是减函数 C 、f(x)的图象的一个对称中心是点（
)0,12
5π
D 、f(x)的最大值是A （4）已知()sin(
)(0),()()363
f x x f f π
ππ
ωω=+>=,且()f x 在区间(,)63ππ有最小值,无最大值,则
ω=__________.
3.当堂检测
一、选择题
1．设)sin(,0π+=≠ax y a 则函数的最小正周期是（ ）
A ．
a π B ．a π C ．a π2 D ．a
π2 2. 若βα,为锐角，且sin α<cos β,则βα,满足（ ） A.α>β B.α<β C.α+β<2π D.α+β>2
π
3．4.函数2005
sin(
2004)2
y x π=-是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数的是（ ）
A ．sin ||y x =
B ．2sin y x =
C ．sin y x =-
D ．sin 1y x =+
5．已知函数y=2cosx x ∈[0,2π]和y=2的图象围成的一个封闭的平面图形的面积是 ( ) A.2 B.4 C.2π D.4π 6．方程6sin x x π=的解的个数为（ ）
A.9个
B.10个
C.11个
D.12个 7．设,cos sin )cos (sin αααα⋅=+f 则)6
(sin
π
f 的值为（ ）
A.;83-
B.;81
C.;81-
D.;8
3
8．函数x
x
x x x x y tan tan cos cos sin sin +
+=的值域是（ ）
A {}3,1,0,1-
B {}3,0,1-
C {}3,1-
D {}1,1-
9．函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=42sin log 2
1πx y 的单调递减区间是( ) A.)(,4Z k k k ∈⎥⎦
⎤ ⎝⎛-πππ B.)(8,8Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛+-ππππ C.)(8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝
⎛+-ππππ D.)(83,8Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛++ππππ 10.已知()20πα∈，，()
2
π
βπ∈，，且sin sin αβ>，则α与β的关系是（ ）
A.20π
βα<<< B.2
π
αβπ<+< C.32ππαβ<+< D.322παβπ<+< 二、填空题
11．1sin cos 8
αα=，且4π＜α＜2π
，则cos sin αα-的值为
12．1tan 、2tan 、3tan 的大小顺序是 (用“<”联结).
13．已知函数()(
)3
4
2sin k f x x π
=+
，如果使()f x 的周期在()2334
,内，则正整数k 的值为 ．
14．函数f(x)=2
161tan x
x -+
的定义域是 .
三、解答题
15．已知函数f(x)=3+mcosx(x ∈R )的值域为[－2, 8]，若tan 0m >，求m 的值.
16．已知关于x 的方程0)13(22=++-m x x 的两根为θsin 和)2,0(,cos πθθ∈，（1）求实数m 的值；（2）求θ
θθθtan 1cos cot 1sin -+
-的值；（其中θθθsin cos cot =）
17．已知函数52sin cos 22++-+=a a x a x y 有最大值2，试求实数a 的值
18．函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)=2
cos 2sin 212cos 2x sin 21x x x ++-的性质，并在此基础上，作出其在上的图象。

],[ππ-。