(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习-第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布专题探究课六课

4 分(得分点 4)
X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4
5分(得分点5)
(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200， 因此只需考虑200≤n≤500. 当300≤n≤500时， 若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n， 若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n ＝1 200－2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；
解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错， 故 P(ξ＝2)＝34×23×1－12＋34×1－23×12＋1－34×23×12＝2114. (2)设甲队和乙队得分之和为 4 为事件 A，甲队比乙队得分高为事件 B.设乙队得分为
η，则 η～B3，23. P(ξ＝1)＝34×1－23×1－12＋1－34×23×1－12＋1－34×1－23×12＝14， P(ξ＝3)＝34×23×12＝14，
❶得步骤分：抓住得分点的步骤、步步为赢：如第(1)问，指出 随机变量X所有的可能取值，有则得1分，无则没有分；随机 变量X的各个值对应的概率也是每个1分，列出其分布列是1 分，也是每个步骤都有分，都是得分点，第(2)问也是如此.
❷得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分，如第 (2)问中，根据n的范围求E(Y)，即当300≤n≤500时，E(Y)＝ 640－2n；当200≤n≤300时，E(Y)＝160＋1.2n，若这两个关 键运算结果有误，即使有计算过程和步骤也不得分.
高考导航 1.概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处 理问题的方式、方法体现了较高的思维含量.该类问题以应 用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、 化归转化能力；2.概率问题的核心是概率计算.其中事件的 互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概 率计算的工具.统计问题的核心是样本数据的获得及分析方 法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征；3. 离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重 点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容的渗透， 背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.
(1)求频率分布直方图中a的值； (2) 若 该 市 政 府 希 望 使 85% 的 居 民 每 月 的 用 水 量 不 超 过 标 准 x(吨)，估计x的值，并说明理由； (3)已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨.当x＝3 时，估计该市居民的月平均水费(同一组中的数据用该组区间 的中点值代替).
16
因此 μ 的估计值为 10.02.x2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，
i＝1
剔除(μ^ －3σ^ ，μ^ ＋3σ^ )之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－ 9.222－15×10.022)≈0.008，
因此 σ 的估计值为 0.008≈0.09.
满分解答 解 (1)由题意知，X 所有的可能取值为 200，300，500，1 分(得分点 1)
由表格数据知 P(X＝200)＝23＋0×163＝0.2， P(X＝300)＝303×6 3＝0.4，
2 分(得分点 2) 3 分(得分点 3)
P(X＝500)＝253＋0×7＋3 4＝0.4. 因此 X 的分布列为
解 (1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a ＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30. (2) ∵ 前 6 组 的 频 率 之 和 为 (0.08 ＋ 0.16 ＋ 0.30 ＋ 0.40 ＋ 0.52 ＋ 0.30)×0.5＝0.88>0.85， 而 前 5 组 的 频 率 之 和 为 (0.08 ＋0.16＋ 0.30＋ 0.40＋ 0.52)×0.5＝ 0.73<0.85， ∴2.5≤x<3. 由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9. 因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量 不超过标准.
(ⅱ)由 x＝9.97，s≈0.212，得 μ 的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样 本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^ －3σ^ ，μ^ ＋3σ^ )之外，因此需对当天的生 产过程进行检查.剔除(μ^ －3σ^ ，μ^ ＋3σ^ )之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为115× (16×9.97－9.22)＝10.02，
热点一 常见概率模型的概率 几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、
条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题形式考查， 求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件、 互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、 期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判 定概率模型，恰当选择概率公式.
【训练 1】 (2018·沈阳调研)甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3 人组成 甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得 1 分，答错或不答 都得 0 分，已知甲队 3 人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率 都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用 ξ 表示甲队总得分. (1)求 ξ＝2 的概率； (2)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下，甲队比乙队得分高的概率.
天数 2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份 这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到 最大值？ 教材探源 本题第(2)问需对酸奶的需求量n进行分类讨论，以确 定利润的最大值，这种分类讨论的思想源自于人教版教材选修2 －3 P63例3.
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经
计
算
得
x
＝
1 16
16
x
i＝1
i
＝
9.97
，
s
＝
1 16
16i＝1
探究提高 1.解第(1)题的关键是认清随机变量X服从二项分布， 并能够应用E(X)＝np求解，易出现的失误是由于题干较长，不 能正确理解题意. 2.解第(2)题的关键是理解正态分布的意义，能够利用3σ原则求 解，易出现的失误有两个方面，一是不清楚正态分布N(μ，σ2) 中μ和σ的意义及其计算公式，二是计算失误.
（xi－x）2 ＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
116（i＝161x2i －16x2） ≈
0.212，其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸，i＝1，2，…，16. 用样本平均数x作为 μ 的估计值μ^ ，用样本标准差 s 作为 σ 的估计值σ^ ，利用估计 值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^ －3σ^ ，μ^ ＋3σ^ )之外的数据， 用剩下的数据估计 μ 和 σ(精确到 0.01). 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4，0.997 416 ≈0.959 2， 0.008≈0.09.
【训练2】 (2018·青岛模拟)我国是世界上严重缺水的国家，城 市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划 在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民 月用水量标准x(吨)，用水量不超过x的部分按平价收费，超 出x的部分按议价收费，为了了解全市市民用水量的分布情 况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位： 吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组， 制成了如图所示的频率分布直方图.
因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640 －0.4n. 8分(得分点6) 当200≤n<300时， 若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n； 因 此 E(Y) ＝ 2n×(0.4 ＋ 0.4) ＋ (800 － 2n)×0.2 ＝ 160 ＋ 1.2n. 11分(得分点7) 所 以 n ＝ 300 时 ， Y 的 数 学 期 望 达 到 最 大 值 ， 最 大 值 为 520 元 . 12分(得分点8)
解 (1)由题可知抽取的一个零件的尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之内 的概率为0.997 4，从而零件的尺寸落在 (μ－3σ，μ＋3σ)之外的概 率为0.002 6，故X～B(16，0.002 6). 因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈1－0.959 2＝0.040 8. X的数学期望E(X)＝16×0.002 6＝0.041 6. (2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外 的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－ 3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因 此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产 过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见 上述监控生产过程的方法是合理的.
❸得计算分：解题过程中计算正确，是得满分的保证，如第(1)
1.求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差； 第五步：反思回顾、查看关键点、易错点和答题规范.
2.概率统计与函数交汇问题的解题步骤 第一步：通读题目，仔细审题，理解题意； 第二步：根据题目所要解决的问题，确定自变量及其取值范 围； 第三步：构建函数模型，写出函数的解析式； 第四步：利用函数模型，求解目标函数的最值或最优解.
酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，
未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)
有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气
温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于
2最0，高需气求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前 三年温六月[1份0，各1天5)的[1最5，高2气0)温[20数，据25，)[得25下，面30的)[3频0，数3分5)布[35表，：40)
热点二 概率统计与函数的交汇问题(教材VS高考) 高考数学试题中对概率统计的考查有这样一类试题，题
目非常新颖，又非常符合生活实际，这就是概率统计与函数 的交汇问题，一般是以统计图表为载体，离散型随机变量的 期望是某一变量的函数，利用函数的性质求期望的最值.
【例2】 (满分12分)(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种
P(η＝1)＝C13·23·132＝29， P(η＝2)＝C23·232·13＝49，
P(η＝3)＝C33233＝287，
∴P(A)＝P(ξ＝1)P(η＝3)＋P(ξ＝2)P(η＝2)＋P(ξ＝3)·P(η＝1)
＝14×287＋2114×49＋14×29＝13， 1
P(AB)＝P(ξ＝3)·P(η＝1)＝14×29＝118，∴所求概率为 P(B|A)＝PP（（AAB））＝118＝16. 3
【例1】 (2017·全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产 过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量 其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线 正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2). (1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺 寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外 的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了 异常情况，需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；