2020-2021学年山东省烟台市高一下期末考试数学试卷及答案解析

2020-2021学年山东省烟台市高一下数学期末试卷
一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．设复数z 满足|z −1−i|=√2，则|z |的最大值为（ ） A ．√2
B ．2
C ．2√2
D ．4
2．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →
=3DC →
，则（ ）
A ．AD →
=−13AB →+23AC →
B ．AD →
=13AB →−23AC →
C ．A
D →=13AB →+23
AC →
D ．AD →
=−13AB →−23
AC →
3．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客也越来越多，如图是2013﹣2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（ ）
①2013﹣2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加
②2013﹣2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 ③2016﹣2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平
A ．①②③
B ．②③
C ．①②
D ．③
4．盒中有5个大小相同的球，其中白球3个，黑球2个，从中任意摸出3个（摸出后不放回），则至少摸出一个黑球的概率为（ ） A ．
910
B ．
1
10
C ．
7
10
D ．
3
10
5．已知圆锥SO 被平行于底面的平面所截，形成的圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，圆台轴截面的面积为20√3，则圆锥SO 的体积为（ ） A ．48√3π
B ．72√3π
C ．144√3m
D ．216√3π
6．袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（ ）
A ．至少有一个白球；全部都是红球
B ．至少有一个白球；至少有一个红球
C ．恰有一个白球；恰有一个红球
D ．恰有一个白球；全部都是红球
7．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，已知点P 是正方形AA 'D 'D 内部（不含边界）的一个动点，若直线AP 与平面AA 'B 'B 所成角的正弦值和异面直线AP 与DC '所成角的余弦值相等，则线段DP 长度的最小值是（ ） A ．
√6
2
B ．
2√2
3
C ．
√63
D ．4
3
8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例据，一定符合该标志的是（ ） A ．甲地：总体平均值为3，中位数为4
B ．乙地；总体平均值为1，总体方差大于0
C ．丙地：中位数为2，众数为3
D ．丁地：总体均值为2，总体方差为2 二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．AD →
=12
AB →
+12
AC →
B ．MA →+MB →+M
C →=0→
C ．BM →=23BA →+13B
D →
D ．CM →
=13CA →+23CD →
10．任何一个复数z ＝a +bi （其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位）都可以表示成z ＝r （cos θ+i sin θ）的形式，通常称之为复数z 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：z n ＝[r （cos θ+i sin θ）]n ＝r n （cos n θ+i sin n θ）（n ∈N +），我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．|z 2|＝|z |2
B ．当r ＝1，θ=π3时，z 3＝1
C ．当r ＝1，θ=π
3时，z =1
2−√3
2i
D ．当r ＝1，θ=π
4时，若n 为偶数，则复数z n 为纯虚数
11．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△ADE ，△
CDF ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 重合于点P ，得到如图2所示的三棱锥P ﹣DEF ．则下列结论正确的是（ ）
A ．PD ⊥EF
B ．平面PDE ⊥平面PDF
C ．二面角P ﹣EF ﹣
D 的余弦值为13
D ．点P 到平面DEF 的距离为
√33
12．某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（ ）
A ．甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分
B ．甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散
C ．甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数
D ．甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知a +4i ＝3﹣bi ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则|a +bi |的值为 ．
14．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点A 出发，绕圆锥侧面一周，再次回到A 点，则该质点经过的最短路程为 ．
15．已知样本x 1，x 2，x 3，…，x n 方差s 2＝1，则样本2x 1+1，2x 2+1，2x 3+1，…，2x n +1的方差为 ．
16．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为1，则该二十四等边体的体积为．
四．解答题（共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分）
17．已知复数z1=
3
a+2
+(a2−3)i，z2＝2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若z2是实系数一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根，求实数a的值．
18．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长．如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
（1）已知样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，求图中a ，b 的值； （2）试估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率；
（3）为了更具体的了解全市中学生课外阅读情况，用比例分配的分层抽样的方法从[10，12）和[12，14]两组中共抽取了6名学生参加座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，求这2名学生来自不同组的概率．
19．已知向量a →
=（﹣1，2），b →
=（3，﹣1）． （1）若（a →
+λb →
）⊥a →
，求实数λ的值；
（2）若c →
=2a →
−b →
，d →
=a →
+2b →
，求向量c →
与d →
的夹角．
20．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．
（Ⅰ）写出该试验的基本事件空间Ω，并求事件A发生的概率；
（Ⅱ）求事件B发生的概率；
（Ⅲ）事件A与事件C至少有一个发生的概率．
21．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC的中点．
（1）证明：AB1∥平面BC1D；
（2）证明：BD⊥平面AA1C1C；
（3）若AA1＝AB，求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．
22．某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为A等品，低于10分的为B等品．厂家将A等品售价定为2000元/件，B等品售价定为1200元/件．
下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：
9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04
10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95
经计算得x=1
16
∑16i=1x i＝9.97，s2=1
16
∑16i=1（x i−x）2=1
16
∑16i=1x i2−x2＝0.045，其中
x i为抽取的第i件产品的评分，i＝1，2， (16)
该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05．已知该厂现有一笔1500万元的资金．
（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分，
（i）估计改进后该生产线生产的产品中A等品所占的比例；
（ii）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差．
（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为8.2%的理财产品．请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算）
2020-2021学年山东省烟台市高一下数学期末试卷
参考答案与试题解析
一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．设复数z 满足|z −1−i|=√2，则|z |的最大值为（ ） A ．√2
B ．2
C ．2√2
D ．4
【解答】解：因为：复数z 满足|z −1−i|=√2，
所以：复数z 对应复平面上的点是以（1，1）为圆心，√2为半径的圆， 故|z |的最大值即为圆的直径2√2． 故选：C ．
2．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →
=3DC →
，则（ ）
A ．AD →
=−13AB →+23
AC →
B ．AD →
=13AB →−23
AC →
C ．A
D →
=1
3AB →
+2
3AC →
D ．AD →
=−1
3AB →
−2
3AC →
【解答】解：∵BC →
=3DC →
，∴D 为线段BC 靠近C 点的三等分点
∴BD →
=23BC →=23AC →−23
AB →
，
∴AD →=AB →
+BD →
=13AB →+23
AC →
．
故选：C ．
3．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客也越来越多，如图是2013﹣2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（ ）
①2013﹣2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加
②2013﹣2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小
③2016﹣2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持
平
A．①②③B．②③C．①②D．③
【解答】解：由2013﹣2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况和折线图，得：
在①中，2013﹣2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加，故①正确；
在②中，2013﹣2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小，故②正确；
在③中，2016﹣2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平，故③正确．
故选：A．
4．盒中有5个大小相同的球，其中白球3个，黑球2个，从中任意摸出3个（摸出后不放回），则至少摸出一个黑球的概率为（）
A．9
10B．
1
10
C．
7
10
D．
3
10
【解答】解：盒中有5个大小相同的球，其中白球3个，黑球2个，从中任意摸出3个（摸出后不放回），
基本事件总数n=C53=10，
至少摸出一个黑球包含的基本事件个数m=C31C22+C32C21=9，
∴至少摸出一个黑球的概率为p=m
n
=910．
故选：A．
5．已知圆锥SO被平行于底面的平面所截，形成的圆台的两个底面面积之比为4：9，母线
与底面的夹角是60°，圆台轴截面的面积为20√3，则圆锥SO 的体积为（ ） A ．48√3π
B ．72√3π
C ．144√3m
D ．216√3π
【解答】解：圆台的两个底面面积之比为4：9，
设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，2πr 2：2πR 2＝4：9， 则r ：R ＝2：3；…① 由题意可知cos60°=
R−r l =1
2
，…② 圆台的轴截面面积为12
×（2r +2R ）×（R ﹣r ）×tan60°＝20√3， 化简得R 2﹣r 2＝20，…③
由①②③组成方程组，解得R ＝6，r ＝4，l ＝4； 即圆台的母线长为l ＝4．则圆锥的母线长为：x ， 由题意可得，
x−l x
=2
3
，
圆锥的母线长为12，
所以圆锥的高为√122−62=6√3． 圆锥SO 的体积为1
3×62π×6√3=72√3π．
故选：B ．
6．袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（ ） A ．至少有一个白球；全部都是红球 B ．至少有一个白球；至少有一个红球 C ．恰有一个白球；恰有一个红球 D ．恰有一个白球；全部都是红球
【解答】解：袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个， 对于A ，至少有一个白球和全部都是红球是对立事件，故A 错误；
对于B ，至少有一个白球和至少有一个红球能同时发生，不是互斥事件，故B 错误； 对于C ，恰有一个白球；恰有一个红球同时发生，不是互斥事件，故C 错误；
对于D ，恰有一个白球和全部都是红球，不能同时发生，是互斥而不对立事件，故D 正确． 故选：D ．
7．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，已知点P 是正方形AA 'D 'D 内部（不含边界）的一个动点，若直线AP 与平面AA 'B 'B 所成角的正弦值和异面直线AP 与DC '所成角的余弦值相等，则线段DP 长度的最小值是（ ） A ．
√6
2
B ．
2√2
3
C ．
√63
D ．4
3
【解答】解：如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD ' 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 可设P （x ，0，z ），由A （1，0，0），C '（0，1，1）， D （0，0，0），
AP →
=（x ﹣1，0，z ），DC′→
=（0，1，1），DA →
=（﹣1，0，0）， 设直线AP 与平面AA 'B 'B 所成角为θ和异面直线AP 与DC '所成角为α， 可得cos α＝cos ＜AP →
，DC′→
＞=z
√2⋅√z +(x−1)
2
，
sin θ＝|cos ＜AP →
，DA →＞|=
1−x
√z +(x−1)2
，0＜x ＜1，
由sin θ＝cos α，可得z =√2（1﹣x ），
则|DP →
|=√x 2+z 2=√x 2+2(1−x)2=√3(x −23)2+23
，
当x =2
3时，线段DP 长度的最小值为√63
．
故选：C ．
8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、
丙、丁四地新增疑似病例据，一定符合该标志的是（ ） A ．甲地：总体平均值为3，中位数为4
B ．乙地；总体平均值为1，总体方差大于0
C ．丙地：中位数为2，众数为3
D ．丁地：总体均值为2，总体方差为2
【解答】解：∵总体平均数为3，中位数为4，平均数与中位数不能限制极端值的出现，因而有可能出现超过7人的情况，故A 不正确，
当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小， 故B 不正确，
中位数和众数也不能确定， 故C 不正确，
当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就大于1
10
（7﹣2）2＝2.5＞2，
∴总体均值为2，总体方差为2时，没有数据超过7． 故D 正确． 故选：D ．
二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．AD →
=12
AB →
+12
AC →
B ．MA →+MB →+M
C →=0→
C ．BM →=23BA →+13B
D →
D ．CM →
=13CA →+23CD →
【解答】解：因为D 为BC 中点，
所以AD →
=AB →
+BD →
=AB →
+12
BC →=AB →
+12
(AC →−AB →
)=12
(AB →+AC →
)，A 正确； 由M 为△ABC 的重心可得，MA →
=23
DA →
=
23×(−12)(AB →+AC →)=−13
(AB →
+AC →)， 同理MB →
=−13(BA →+BC →)，MC →=−13
(CA →
+CB →)，
所以MA →+MB →+MC →=0→
，B 正确；
因为MB →
=−1
3(BA →+BC →
)=−1
3（BA →+2BD →
）=−1
3BA →
−2
3BD →
，
所以BM →=13BA →+23BD →
，
CM →
=13(CA →
+CB →
)=13
(CA →
+2CD →
)，D 正确． 故选：ABD ．
10．任何一个复数z ＝a +bi （其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位）都可以表示成z ＝r （cos θ+i sin θ）的形式，通常称之为复数z 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：z n ＝[r （cos θ+i sin θ）]n ＝r n （cos n θ+i sin n θ）（n ∈N +），我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．|z 2|＝|z |2
B ．当r ＝1，θ=π
3时，z 3＝1 C ．当r ＝1，θ=π
3时，z =1
2−√3
2i
D ．当r ＝1，θ=π4
时，若n 为偶数，则复数z n 为纯虚数 【解答】解：∵z ＝r （cos θ+i sin θ），∴z 2＝r 2（cos2θ+i sin2θ）， 则|z 2|＝r 2，|z |2＝r 2，|z 2|＝|z |2，故A 正确；
当r ＝1，θ=π
3时，z ＝cos π
3
+i sin π
3
，z 3=cos(3×π
3)+isin(3×π
3)=cos π+i sin π＝﹣1，故
B 错误；
当r ＝1，θ=π3
时，z ＝cos π
3+i sin
π3=
12
+
√32
i ，则z =12−√3
2i ，故C 正确；
当r ＝1，θ=π
4
时，z ＝cos π4
+i sin π4
，取n ＝4，则z ＝cos π+i sin π＝﹣1，故D 错误． 故选：AC ．
11．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 重合于点P ，得到如图2所示的三棱锥P ﹣DEF ．则下列结论正确的是（ ）
A ．PD ⊥EF
B ．平面PDE ⊥平面PDF
C ．二面角P ﹣EF ﹣
D 的余弦值为1
3
D ．点P 到平面DEF 的距离为
√33
【解答】解：对于A ，取EF 的中点H ，连接PH ，DH ， 由原图知△PEF 和△DEF 为等腰三角形，
所以PH ⊥EF ，DH ⊥EF ，所以EF ⊥平面PDH ，所以PD ⊥EF ，A 正确； 对于B ，根据折起前后，可知PE ，PF ，PD 两两垂直， 于是可证PE ⊥平面PDF ，所以平面PDE ⊥平面PDF ，B 正确； 对于C ，由A 选项可知∠PHD 为二面角P ﹣EF ﹣D 的平面角， 由正方形的边长为2，因此PE ＝PF ＝1，PH =√2
2
，DH ＝2√2−
√2
2
=
3√2
2
，PD =√DF 2−PF 2=√5−1=2， 则cos ∠PHD =
PH HD =1
3
，所以C 正确； 对于D ，△DEF 的面积为S △DEF =12EF •√DE 2−(12EF)2=12×√2×√(√5)2−(1
2√2)2=
√2
23√2
=3
2， 所以三棱锥D ﹣PEF 的体积为13
S △DEF h =1
3
S △PEF •PD =
13×1
2
×1×1×2， 解得h =1
32
=2
3，所以点P 到平面DEF 的距离为23
，D 错误．
故选：ABC ．
12．某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（ ）
A ．甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分
B ．甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散
C ．甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数
D ．甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数
【解答】解：由茎叶图可知，甲组数据集中在60分以上，而乙组数据比较分散， 可知甲组的平均分数高于乙组，故A 正确，B 错误； 甲组的中位数为77，乙组中位数为64，故C 正确； 甲组的众数为79，乙组众数为64，故D 错误； 故选：AC ．
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知a +4i ＝3﹣bi ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则|a +bi |的值为 5 ． 【解答】解：∵a +4i ＝3﹣bi ， ∴{a =34=−b ，即a ＝3，b ＝﹣4． ∴|a +bi |＝|3﹣4i |=√32+(−4)2=5． 故答案为：5．
14．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点A 出发，绕圆锥侧面一周，再次回到A 点，则该质点经过的最短路程为 3√3 ． 【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，从A 点出发绕侧面一周， 再回到 A 点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦， 转化为求弦长的问题如图所示：
设展开的扇形的圆心角为α，
∵圆锥底面半径r＝1cm，母线长是OA＝3cm，∴根据弧长公式得到2π×1＝α×3，
∴α=2
3，即扇形的圆心角是
2
3
，
∴∠AOH＝60°，
∴动点P自A出发在侧面上绕一周到A点的最短路程为弧所对的弦长：
AA′＝2AH＝2×OA sin∠AOH=2×3×√3
2
=3√3．
故答案为：3√3．
15．已知样本x1，x2，x3，…，x n方差s2＝1，则样本2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的方差为4．
【解答】解：∵样本x1，x2，x3，…，x n方差s2＝1，
∴样本2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的方差为：
4s2＝4．
故答案为：4．
16．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为1，则该二
十四等边体的体积为5√2
3
．
【解答】解：由题知原来正方体棱长为√2，则正方体的体积为2√2， 又截去的8个三棱锥为全等三棱锥，都有三条互相垂直的棱长且棱长为√22
， 故截去体积为8×13×√22×12×(√22)2=√2
3， 则24等边体的体积为V =2√2−√2
3=5√2
3． 故答案为：
5√2
3
． 四．解答题（共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分） 17．已知复数z 1=3
a+2+(a 2−3)i ，z 2＝2+（3a +1）i （a ∈R ，i 是虚数单位）． （1）若z 1﹣z 2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围； （2）若z 2是实系数一元二次方程x 2﹣4x +4＝0的根，求实数a 的值． 【解答】解：（1）因为z 1=3
a+2+(a 2−3)i ，z 2＝2+（3a +1）i ， 所以z 1﹣z 2=
3
a+2
−2+（a 2﹣3a ﹣4）i ， 由题意可得，{3
a+2
−2＞0
a 2
−3a −4＞0
，
解可得，﹣2＜a ＜﹣1；
（2）方程x 2﹣4x +4＝0只有一个根为x ＝2， 所以z 2＝2+（3a +1）i ＝2， 故3a +1＝0即a =−1
3
18．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长．如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
（1）已知样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，求图中a ，b 的值； （2）试估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率；
（3）为了更具体的了解全市中学生课外阅读情况，用比例分配的分层抽样的方法从[10，12）和[12，14]两组中共抽取了6名学生参加座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2
名在会上进行经验分享，求这2名学生来自不同组的概率．
【解答】解：（1）∵从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长，
样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人， ∴a =100
1000×2=0.05，
∵（0.05+0.1+0.2+0.075+0.05+b ）×2＝1， ∴b ＝0.025．
（2）由频率分布直方图得该市中学生阅读时长不小于10小时的频率为： （0.05+0.025）×2＝0.15．
∴估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率为0.15．
（3）用比例分配的分层抽样的方法从[10，12）和[12，14]两组中共抽取了6名学生参加座谈会，
从[10，12）中抽取：6×0.050.05+0.025=4人，从[12，14]中抽取：6×0.025
0.05+0.025=2人， 从这6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，
基本事件总数n =C 62=15，
这2名学生来自不同组包含的基本事件个数m =C 41C 21=8．
∴这2名学生来自不同组的概率p =
m n =8
15
． 19．已知向量a →
=（﹣1，2），b →
=（3，﹣1）． （1）若（a →
+λb →
）⊥a →
，求实数λ的值；
（2）若c →
=2a →
−b →
，d →
=a →
+2b →
，求向量c →
与d →
的夹角． 【解答】解：（1）因为（a →
+λb →
）⊥a →
， 所以（a →
+λb →
）•a →
=a →
2+λa →
⋅b →=0，
所以5+λ（﹣1×3﹣2×1）＝0， 所以λ＝1，
（2）由题意可得，c →
=（﹣5，5），d →
=(5，0)，
c →
⋅d →
=(2a →
−b →
)⋅(a →
+2b →
)=−25，
cos θ=
c →⋅d
→
|c →||d →
|=
−25
5√2×5
=−√22，
∴θ=
3π
4
20．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A ：“两数之和为8”，事件B ：“两数之和是3的倍数”，事件C ：“两个数均为偶数”．
（Ⅰ）写出该试验的基本事件空间Ω，并求事件A 发生的概率； （Ⅱ）求事件B 发生的概率；
（Ⅲ）事件A 与事件C 至少有一个发生的概率．
【解答】解：（I ）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数， Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）， （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共有36个基本事件， 事件A ：“两数之和为8”，事件A 包含的基本事件有：
（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5个基本事件， ∴事件A 发生的概率为P （A ）=5
36． （II ）事件B ：“两数之和是3的倍数”， 事件B 包含的基本事件有12个，分别为：
（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6），
∴事件B 发生的概率P （B ）=1236=1
3．
（III ）事件A 与事件C 至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为：
（2，2），（2，4），（2，6），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，3），（6，2），（6，4），（6，6），
∴事件A 与事件C 至少有一个发生的概率为P （A ∪C ）=11
36． 21．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点． （1）证明：AB 1∥平面BC 1D ； （2）证明：BD ⊥平面AA 1C 1C ；
（3）若AA 1＝AB ，求直线BC 1与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：连结B 1C ，交BC 1于O ，连结OD ， ∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点， ∴O 是B 1C 的中点，∴OD ∥AB 1， ∵AB 1⊄平面BC 1D ，OD ⊂平面BC 1D ， ∴AB 1∥平面BC 1D ．
（2）证明：∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，又D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ，
又AA 1⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴BD ⊥AA 1， ∵AA 1∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面AA 1C 1C ．
（3）设AA 1＝AB ＝2，以B 为原点，在平面ABC 中过B 作BC 的垂线为x 轴， BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
则B （0，0，0），C 1（0，2，2），A （√3，1，0），C （0，2，0）， C 1B →
=（0，﹣2，﹣2），CA →
=（√3，﹣1，0），CC 1→
=（0，0，2）， 设平面AA 1C 1C 的法向量n →
=（x ，y ，z ），
则{n →
⋅CA →
=√3x −y =0n →⋅CC 1→=2z =0，取x ＝1，得n →=（1，√3，0）， 设直线BC 1与平面AA 1C 1C 所成角为θ，
则sin θ=
|C 1B →⋅n →
|
|C 1B →|⋅|n →|
=
2√3
√8⋅√4
=√64． ∴直线BC 1与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为
√6
4
．
22．某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为A 等品，低于10分的为B 等品．厂家将A 等品售价定为2000元/件，B 等品售价定为1200元/件． 下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得x =1
16∑ 16i=1x i ＝9.97，s 2=1
16∑ 16i=1（x i −x ）2=1
16∑ 16
i=1x
i
2
−x 2＝0.045，其中
x i 为抽取的第i 件产品的评分，i ＝1，2， (16)
该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05．已知该厂现有一笔1500万元的资金．
（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分， （i ）估计改进后该生产线生产的产品中A 等品所占的比例； （ii ）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差．
（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为8.2%的理财产品．请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算）
【解答】解：（1）（i ）改进后，随机抽取的16件产品的评分依次变为： 10.00 10.17 10.01 10.01 10.06 9.97 10.03 10.09 10.31 9.96 10.18 10.07 9.27 10.09 10.10 10.00 其中，A 等品共有13个，
∴估计改进后该生产线生产的新产品中A 等品所占的比例为
1316
．
（ii ）设一条生产线改进前一天生产出的产品评分为y i （i ＝1，2，3，…，200）， 改进后该天生产出的产品评分设为z i （i ＝1，2，3，…，200），其中z i ＝y i +0.05， 由已知得用样本估计总体可知y =9.97， ∴z =
1200∑ 200i=1z i =1200∑ 200
i=1
(y i +0.05)=y +0.05＝10.02， ∴估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数为：
9.97×200+10.02×200
400
=9.995．
由已知得用样本估计总体可知s y 2=0.045， ∴s t 2=
1200∑ 200i=1(z i −z)2=1200∑ 200
i=1
[(y i +0.05)−(y +0.05)]2=s y 2=0.045． 估计改进后该厂的所有产品评分的方差为：
1400
[∑ 200i=1(y i −9.995)2+∑ 200i=1(z i −9.995)2]
=1400{∑ 200i=1[（y i −y ）+（y −9.995）]2+∑ 200i=1[（z i −z ）+（z −9.995）]2}
=1
400{∑ 200i=1[（y i −y ）2﹣2（y i −y ）（y −9.995）+（z −9.995）]2+∑ 200i=1[（z i −z ）2﹣2
（z i −z ）（z −9.995）+（z −9.995）2]} =
1400
{[∑ 400i=1（y i −y ）2﹣2（y −9.995）∑ 200i=1（y i −y ）+200（y −9.995）2
]+[∑ 200i=1（z i −z ）2
﹣2（z −9.995）]∑ 200i=1（z i −z ）+200（z −9.995）2
]}
=
1400
{[∑ 200i=1（y i −y ）2+200（y −9.995）2
]}+[∑ 200i=1(z i −z)2+200（z −9.995）]2}（*）， ∵s y 2=1
200∑ 200i=1（y i −y ）2，∴∑ 200i=1(y i −y)2=200s y 2
，
同理，∑ 200i=1(z i −z)2=200s z 2，
∴（*）式=1
400{[200s y 2+200（y −9.995）2]+[200s z 2+200（z −9.995）2]} =200400×[0.045+（9.97﹣9.995）2]+200
400×[0.045+（10.02﹣9.995）2] ＝0.045+0.0252＝0.045625．
（2）将这1500万元用于改进一条生产线，一年后因产品评分提高而增加的收益为：
（2000﹣1200）×5
16
×200×365﹣1500×104＝325×104（元），
将这1500万元购买该款理财产品，一年后的收益为：1500×104×（1+8.2%）﹣1500×104＝123×104（元），∵325×104＞123×104，
∴将这1500万元用于改进一条生产线一年后收益更大．。