2018年福建省高三毕业班质量检查文数试题(精校word版)

2018年福建省高三毕业班质量检查测试
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
2|230A x x x =--<，{}2,1,1,2B =--，则A
B =〔 〕
A ．{}1,2-
B ．{}2,1-
C ．{}1,2
D ．{}1,2-- 2.已知向量()1,1AB =，()2,3AC =，则以下向量中与BC 垂直的是〔 〕 A ．()3,6a = B ．()8,6b =- C ．()6,8c = D ．()6,3d =-
3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设1
2n n S λ+=+，则λ=〔 〕
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2 4.如图，曲线sin
32
x
y π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，
则此点取自黑色部分的概率是〔 〕
A ．
14 B ．13 C ．38 D ．3
4
5.假设α是第二象限角，且3sin 5α=，则12sin sin 22
παπα
+--=〔 〕
A ．65-
B ．45-
C ．45
D ．65
6.已知0.3
0.4
a =，0.40.3
b =，0.2
0.3
c -=，则〔 〕
A ．b a c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．a b c <<
7. 程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该假设干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为〔 〕
A ．120
B ．84
C ．56
D ．28
8.某校有A ，B ，C ，D 四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“A 、B 同时获奖”； 乙说：“B 、D 不可能同时获奖”； 丙说：“C 获奖”；
丁说：“A 、C 至少一件获奖”.
如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是〔 〕 A ．作品A 与作品B B ．作品B 与作品C C ．作品C 与作品D D ．作品A 与作品D
9.某几何体的三视图如下图，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的外表积为〔 〕
A ．)2421π+
B ．()24222π+-
C ．)2451π+
D ．()242
32π+
10.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ∈时，均有()()32f x f x +=-，()28f x ≤≤，则满足条
件的()f x 可以是〔 〕 A ．()263cos 5x f x π=+ B ．()53cos 5
x
f x π=+ C ．()2,8,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨
∈⎩ D ．()2,08,0
x f x x ≤⎧=⎨>⎩
11.已知1F ，2F 为双曲线C ：22
1169
x y -
=的左、右焦点，P 为C 上异于顶点的点.直线l 分别与1PF ，2PF 为直径的圆相切于A ，B 两点，则AB =〔 〕
A
．3 C ．4 D ．5
12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2
112n n n S a a ++=-，且29a a =，则所有满足条件的数列中，1a 的最大
值为〔 〕
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.
13.已知复数z 满足()3443z i i +=+，则z = ．
14.假设x ，y 满足约束条件2300260x y x y x y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
，则z x y =+的取值范围为 ．
15.已知A ，B 分别为椭圆C 的长轴端点和短轴端点，F 是C 的焦点.假设ABF ∆为等腰三角形，则C 的离心率等于 ．
16.
已知底面边长为，
侧棱长为S ABCD -内接于球1O .假设球2O 在球1O 内且与平面
ABCD 相切，则球2O 的直径的最大值为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 〔一〕必考题：共60分.
17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .
cos sin C c B -=. 〔1〕求B ；
〔2〕假设3a =，7b =，D 为AC
边上一点，且sin BDC ∠=
，求BD .
18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，133CC =，3BC =，23AC =.
〔1〕试在线段1B C 上找一个异于1B ，C 的点P ，使得1AP PC ⊥，并证明你的结论； 〔2〕在〔1〕的条件下，求多面体111A B C PA 的体积.
19.某种常见疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型.为了解该疾病类型与地域、初次患该疾病的年龄〔以下简称初次患病年龄〕的关系，在甲、乙两个地区随机抽取100名患者调查其疾病类型及初次患病年龄，得到如下数据：
初次患病年龄 〔单位：岁〕
甲地Ⅰ型患者 〔单位：人〕
甲地Ⅱ型患者 〔单位：人〕
乙地Ⅰ型患者 〔单位：人〕
乙地Ⅱ型患者 〔单位：人〕
[)10,20 8 1 5 1 [)20,30
4 3 3 1 [)30,40 3
5 2 4 [)40,50 3 8 4 4 [)50,60 3 9 2
6 [)60,70
2
11
1
7
〔1〕从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，估计其初次患病年龄小于40岁的概率；
〔2〕记“初次患病年龄在[)10,40的患者”为“低龄患者”，“初次患病年龄在[)40,70的患者”为“高龄患者”.根据表中数据，解决以下问题：
〔i 〕将以下两个列联表补充完整，并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与该疾病的类型有关联的可能性更大.〔直接写出结论，不必说明理由〕 表一：
表二：
〔ii 〕记〔i 〕中与该疾病的类型有关联的可能性更大的变量为X .问：是否有99.9%的把握认为“该疾病的类型与X 有关？”
附：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
20.在平面直角坐标系xOy 中，点F 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，以MF 为直径的圆与x 轴相切. 〔1〕求点M 的轨迹的方程；
〔2〕设T 是E 上横坐标为2的点，OT 的平行线l 交E 于A ，B 两点，交E 在T 处的切线于点N .求证：
2
5
2
NT NA NB =
⋅. 21.已知函数()12ln f x a x x x ⎛⎫
=-
- ⎪⎝
⎭
. 〔1〕讨论()f x 的单调区间； 〔2〕假设1
2
a =
，证明：()f x 恰有三个零点. 〔二〕选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M 的参数方程为
1cos 1sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨
=+⎩
〔ϕ为参数〕，1l ，2l 为过点O 的两条直线，1l 交M 于A ，B 两点，2l 交M 于C ，D 两点，且1l 的倾斜角为α，6
AOC π
∠=
.
〔1〕求1l 和M 的极坐标方程； 〔2〕当0,
6πα⎛
⎤
∈ ⎥⎝
⎦
时，求点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和的最大值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数()2f x x =-，()1g x a x =-.
〔1〕假设不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4，求a 的值； 〔2〕假设当x R ∈时，()()f x g x ≥，求a 的取值范围.
2018年福建省高三毕业班质量检查测试
文科数学参考答案及评分细则
一、选择题
1-5:CDAAC 6-10:ABDBC 11、12：BB
二、填空题
13．1 14．[]24， 15
16．8 三、解答题
17．解：〔1
cos sin C c B -=，得
cos sin sin B C C B A -=，
因为A B C π++=
()cos sin sin B C C B B C -=+，
cos sin sin cos sin B C C B B C B C -=+，
即sin sin sin C B B C -=，
因为sin 0C ≠
，所以sin B B =
，所以tan B =又()0,B π∈，解得23
B π
=
. 〔2〕在ABC ∆中，由余弦定理2
2
2
2cos b a c ac B =+-， 又3a =，7b =，所以2
2
2
173232c c ⎛⎫
=+-⨯⨯-
⎪⎝⎭
， 整理得()()850c c +-=，因为0c >，所以5c =，
在ABC ∆中，由正弦定理
sin sin b c
B C =
5sin 2
C
=
，解得sin C =. 在BCD ∆中，由正弦定理
sin sin BD a
C BDC
=∠，
因为sin 3BDC ∠=
=45
14BD =.
18．解：〔1〕当P 满足11C P B C ⊥时，1AP PC ⊥.
证明如下：
在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1C C AC ⊥. 又因为AC BC ⊥，1C C
BC C =，所以AC ⊥平面11BCC B .
因为1PC ⊂平面11BCC B ，所以1AC PC ⊥. 又因为11C P B C ⊥，且1B C AC C =，
所以1PC ⊥平面1AB C ，
因为AP ⊂平面1AB C ，所以1AP PC ⊥.
〔2〕因为1CC ⊥平面111A B C ，11B C ⊂平面111A B C ， 所以111CC B C ⊥.
在11Rt B C C ∆中，113B C BC ==，133CC =，所以16B C =. 因为11
11Rt Rt B PC B C C ∆∆，所以
111111B P B C B C B C =，所以13
2
B P =. 在11Rt B
C C ∆中，11111tan 3CC CB C B C ∠=
=113
CB C π∠=， 所以11111111
sin 2
B P
C S B C B P CB C ∆=
⋅⋅∠13393322=⨯⨯=. 因为AC ⊥平面11BCC B ，且23AC = 所以111111939
23334
A B C P B PC V S AC -∆=
⋅==. 因为1AA ⊥平面111A B C ，且1133AA CC ==1123AC AC ==， 所以1111111111
323339332
A A
B
C A B C V S AA -∆=
⋅=⨯⨯⨯=.
所以多面体111A B C PA 的体积为11111945944
A B C P A A B C V V --+=
+=. 19．解：〔1〕依题意，从Ⅰ型疾病患者中随机抽取1人，其初次患病年龄小于40岁的概率估计值为15105
408
+=. 〔2〕〔i 〕填写结果如下： 表一：
表二：
由表中数据可以判断，“初次患病年龄”与该疾病类型有关联的可能性更大. 〔ii 〕根据表二的数据可得：25a =，15b =，15c =，45d =，100n =.
则()
2
21002545151514.06340604060
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.
由于2
10.828K >，故有99.9%的把握认为该疾病类型与初次患病年龄有关. 20．解：〔1〕设点(),M x y ，因为10,
2F ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，所以MF 的中点坐标为21,2
4x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为以MF 为直径的圆与x 轴相切，所以
21
24
MF y +=， 即21
2
y MF +=
，
212y +=，化简得22x y =，
所以M 的轨迹E 的方程为2
2x y =.
〔2〕因为T 是E 上横坐标为2的点，
由〔1〕得()2,2T ，所以直线OT 的斜率为1，
因为l OT ∥，所以可设直线l 的方程为y x m =+，0m ≠. 由2
12
y x =
，得y x '=，则E 在T 处的切线斜率为2
2x y ='=，
所以E 在T 处的切线方程为22y x =-.
由,22y x m y x =+⎧⎨
=-⎩得2,
22,
x m y m =+⎧⎨=+⎩所以()2,22N m m ++，
所以()()2
2
2
2
222225NT
m m m =+-++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
. 由2,2y x m x y
=+⎧⎨=⎩消去y 得2
220x x m --=， 由480m ∆=+>，解得12
m >-
. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，122x x m =-. 因为,,N A B 在l 上，所以()122NA m =
-+，()222NB m =-+，
所以()()12222NA NB x m x m ⋅=-+⋅-+
()()()2
1212222x x m x x m =-++++ ()()2
22222m m m =--+++
22m =.
所以2
5
2
NT
NA NB =
⋅. 21．解：〔1〕()f x 的定义域为()0,+∞，()222
1221ax x a f x a x x x -+⎛
⎫'=+-= ⎪⎝⎭
.
①当0a ≤时，因为0x >，所以2
20ax x a -+<，所以()0f x '<， 所以()f x 的单调递减区间为()0,+∞.
②当0a >时，令()0f x '=，得220ax x a -+=，
当1a ≥时，2
440a ∆=-≤，()0f x '≥， 所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞，
当01a <<时，2
440a ∆=->，
由2
20ax x a -+=得1x =，2x =因为01a <<，所以210x x >>，
所以，当10,x a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭或1x a ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>；
当11x a a ⎛∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，
所以()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭
，
()f x 的单调递减区间为⎝
⎭. 综上，当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞；
当1a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；
当01a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝
⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭；
()f x 的单调递减区间为⎝
⎭. 〔2〕因为12
a =，所以()112ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.
由〔1〕知，()f x 的单调递增区间为(0,2，()
2+∞，
()f x 的单调递减区间为()23,23-+. 又()10f =，()123,23∈-+，
所以()f x 在()23,23-+有唯一零点，
且()230f ->，()230f +<，
因为3
0e 23-<<-，()333311e e 2ln e 2e f ----⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3331e e 6702e 22=-+<-<， 所以()f x 在()0,23-有唯一零点.
又()()33e e 0f f -=->，3e 23>+，所以()f x 在()
23,++∞有唯一零点. 综上，当12
a =时，()f x 恰有三个零点. 22．解：〔1〕依题意，直线1l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，
由1cos ,1sin x y ϕϕ
=+⎧⎨=+⎩消去ϕ，得()()22111x y -+-=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入上式，
得2
2cos 2sin 10ρρθρθ--+=，
故M 的极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ--+=.
〔2〕依题意可设()1,A ρα，()2,B ρα，3,6C πρα⎛⎫+
⎪⎝⎭，4,6D πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭
， 且1234,,,ρρρρ均为正数，
将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，
得()22cos sin 10ρααρ-++=， 所以()122cos sin ρραα+=+，
同理可得，342cos sin 66ππρραα⎡
⎤⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦， 所以点O 到,,,A B C D 四点的距离之和为
()12342cos sin ρρρραα+++=+2cos sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
(
(1sin 3cos αα=+
(21sin 3πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为0,6πα⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以当sin 13πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，即6π
α=时，1234ρρρρ+++
取得最大值2+， 所以点O 到,,,A B C D
四点距离之和的最大值为2+.
23．解：〔1〕由()33g x -≥-，得32a x -≥-， 因为不等式()33g x -≥-的解集为[]2,4，
所以0a <，故不等式可化为23x a -≤-
， 解得2233x a a
+≤≤-， 所以232,234,a a
⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-. 〔2〕①当0x =时，21x a x -≥-恒成立，所以a ∈R . ②当0x ≠时，21x a x -≥-可化为21x a x
-+≤， 设()()210x h x x x
-+=≠，
则()31,0,31,02,11, 2.x x h x x x
x x ⎧-+<⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩
所以当2x =时，()min 12h x =，所以12
a ≤. 综上，a 的取值范围是1,2
⎛⎤
-∞ ⎥⎝
⎦.。