2024-2025学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若方程x 2+y 2−2ax +2ay +2a 2+a−1=0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1)
B. (−∞,1]
C. (1,+∞)
D. [1,+∞)
2.已知直线l 的方向向量为v =(1,2,−4)，平面α的法向量为n =(x,1,−2)，若直线l 与平面α垂直，则实数x 的值为( )A. −10
B. 10
C. −1
2
D. 1
2
3.已知点A(−1,1)，B(0,4)到直线y =kx 的距离相等，则k =( )A. 3
B. −3或5
C. 3或−5
D. −3或−5
4.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若存在空间一点P ，满足DP =3
4DA +1
3DC−2
3DD 1，则点P 到直线BC 的距离为( )
A. 56
B.
2 23
C.
134
D.
7312
5.如图，在直三棱柱ABC−AB 1C 1中，AC =2，BC =3，CC 1=4，∠ACB =90°，则BC 1与A 1C 所成的角的余弦值为( )
A.
3 210
B.
8210
C.
30525
D.
8 525
6.在△ABC 中，点B(−2,0)，点C(2,0)，点A 满足|AB|
|AC|=
2，则△ABC 面积的最大值为( )
A. 4
2
B. 8
2
C. 4
6
D. 8
6
7.若经过点(1,2)且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少有三个不同的点到直线x−y +c =0的距离等于5
2，则实数c 的取值范围是( )
A. (−5
22,5 22
) B. (−52,5
2)
C. [−5
22,5 2
2
] D. [−52,5
2]
8.在三棱锥O−ABC 中，棱OA 、OB 、OC 两两垂直且棱长相等，点P 在底面ABC 内，且直线OP 与平面ABC 所成角的余弦值为1
7，则|cos 〈OP ,OA〉|+|cos 〈OP ,OB〉|+|cos 〈OP ,OC〉|=( )A. 12
3
7
B. 12
7
C. 4
3
7
D. 4
7
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若圆C 1：x 2+y 2−3x−3y +3=0与圆C 2：x 2+y 2−2x−2y =0的交点为A ，B ，则( )A. 线段AB 的垂直平分线的方程为x−y =0B. 线段AB 所在直线方程为x +y +3=0C. 线段AB 的长为
6
2
D. 在过A ，B 两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C 1
10.如图，在平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，所有的棱长都是2，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∠A 1AB =∠A 1AD =∠BAD =60°，则下列说法中正确的是( )
A. EF 与平面A 1C 1D 相交
B. AC 1⊥平面A 1BD
C. AC 1=2
6
D. cos 〈AC 1,AC〉=2
2
3
11.已知实数x ，y 满足方程x =
1−y 2，则( )
A. (x−2)2+y 2的取值范围是[1,5]
B. y +2x +1的取值范围是[3
4,3]
C. 2x−y 的取值范围是[−
5,1]
D. |x +y−5|的取值范围是[5
2
2
−1,3 2]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知直线l ：x +my +
3=0与射线x +y−1=0(x ≤0)相交，则l 的倾斜角
α的取值范围是______．
13.如图，二面角α−l−β的大小为π
3，棱l 上有A ，B 两点，线段AC ⊂半平面α，AC ⊥l ，线段BD ⊂半平面β，BD ⊥l.若AC =3，BD =4，CD =7，则线段AB 的长为______．
14.已知动圆C：(x−2cosθ+1)2+(y−2sinθ)2=2(θ∈[0,2π))，则圆C在运动过程中所经过的区域的面积为______；P为直线l：x+y=5上一点，过点P作圆C的两条切线，切点为A、B，当CP⊥l时，sin
∠APB
的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
已知△ABC的顶点A(1,2)，AB边上的中线CM所在直线的方程为x+2y−1=0，∠ABC的平分线BH所在直线的方程为y=x．
(1)求直线BC的方程和点C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E，F分别为AB，BC，B1B的中点．
(1)证明：A1C1//平面B1DE；
(2)若AB=1，AB⊥AC，B1D⊥A1F，求点E到平面A1FC1的距离．
17.(本小题15分)
已知圆O：x2+y2=16，直线l：x−3y+t=0(t>0)与圆O相交于A，B两点，且AB=27．
(1)求直线l的方程；
(2)已知点D(2,0)，E(−4,0)，F(4,0)，点M是圆O上任意一点，点N在线段MF上，且存在常数λ∈R使得DN
DM，求点N到直线l距离的最小值．
=λDE+2
3
18.(本小题17分)
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a,b 〉.定义a与b的“向量积”为：a×b是一个向量，它与向量a，b都垂直，它的模|a×b|=|a|⋅|b|sin〈a,b〉.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，DP=DA=4，E为AD上一点，|AD×BP|=85．
(1)求AB的长；
(2)若E为AD的中点，求二面角P−EB−A的余弦值；
(3)若M为PB上一点，且满足AD×BP=λEM，求|λ|．
19.(本小题17分)
已知动直线l：3(m+1)x+(m−1)y−6m−2=0(m∈R)过定点P．
(1)求P的坐标；
(2)若直线l与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，是否存在直线l满足下列条件：
①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
|PB|取得最小值时，求直线l的方程．
(3)若直线l与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当|PA|+3
2
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.B
5.D
6.B
7.C
8.B
9.AD 10.BCD 11.ABC
12.{α|30°≤α<135°} 13.6 14.8π [
158, 32
] 15.解：(1)由点B 在y =x 上，设点B 的坐标是(m,m)，
则AB 的中点(m +12,m +2
2)在直线CM 上，而直线CM 的方程为：x +2y−1=0，于是m +1
2
+2×
m +2
2
−1=0，解得m =−1，
即点B(−1,−1)，
设A(1,2)关于直线y =x 的对称点为A′(x 0,y 0)，则有
{
y 0−2
x 0−1
=−1y 0+2
2=x 0+12
，解得{x 0=2y
0=1
，
即A′(2,1)，
显然点A′(2,1)在直线BC 上，直线BC 的斜率为k =1−(−1)
2−(−1)=2
3，因此直线BC 的方程为y +1=2
3(x +1)，即2x−3y−1=0，
由{
2x−3y−1=0x +2y−1=0，解得x =5
7,y =17，则点C(57,1
7)，
所以直线BC 的方程为2x−3y−1=0，点C 的坐标为(57,1
7)；(2)由(1)得|BC|=
(57+1)2+(17+1)2=4 137
，
点A 到直线BC 的距离d =
|2×1−3×2−1| 22+(−3)
2=5
13，所以△ABC 的面积S =1
2|BC|⋅d =10
7．
16.(1)证明：因为ABC−A 1B 1C 1为直三棱柱，所以A 1C 1//AC ，
又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE//AC ，
所以DE//A 1C 1，又A 1C 1⊄平面B 1DE ，DE ⊂平面B 1DE ，所以A 1C 1//平面B 1DE ；
(2)解：因为ABC−A 1B 1C 1为直三棱柱，且AB ⊥AC ，
则以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AA 1=a(a >0)，且AB =1，
则B 1(1,0,a)，D(12
,0,0)，A 1(0,0,a)，F(1,0,a
2)，则B 1D =(−12
,0,−a)，A 1F =(1,0,−a
2)，由B 1D ⊥A 1F ，可得B 1D ⋅A 1F =0，即−1
2
+a 2
2=0，且a >0，解得a =1，
设AC =b(b >0)，则C 1(0,b,1)，即A 1F =(1,0,−12
)，A 1C 1=(0,b,0)，设平面A 1FC 1的一个法向量为n =(x,y,z)，
则{
n ⋅A 1F =x−12z =0n ⋅A 1C 1=by =0
，解得{
z =2x y =0，取x =1，则z =2，所以平面A 1FC 1的一个法向量为n =(1,0,2)，又E(12,b 2
,0)，即A 1E =(12,b 2
,−1)，所以点E 到平面A 1FC 1的距离d =
|A E n ||n |
=
|12
−2|
5
=3
5
10
． 17.解：(1)由圆O ：x 2+y 2=16，得圆心O(0,0)，半径r =4，
∵直线l ：x− 3y +t =0(t >0)与圆O 相交于A ，B 两点，且AB =2 7，∴圆心O 到直线l 的距离d = 16−7=3，又d =|t|
12+(−
3)2，t >0，解得t =6，
∴直线l 的方程为x− 3y +6=0；
(2)设M(m,n)，N(x,y)，则DN =(x−2,y)，DE =(−6,0)，DM =(m−2,n)，∵DN =λDE +23DM ，∴y =23n ，即n =3
2y ．
又∵点N 在线段MF 上，即FM ,FN 共线，而FM =(m−4,n)，FN =(x−4,y)，∴(m−4)y =n(x−4)，得m =3
2x−2，∵点M 是圆O 上任意一点，∴m 2+n 2=16，
∴将m ，n 代入上式，可得(32x−2)2+(32y )2=16，即(x−43)2+y 2=64
9．即点N 在以R(43,0)为圆心，半径为8
3的圆R 上．圆心R 到直线l ：x−
3y +6=0的距离d =
|43
+6|
12+(−
3)2
=113>83，∴d−8
3=1．
∴点N 到直线l ：x− 3y +6=0距离的最小值为1．
18.解：(1)∵在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，
∴PD⊥底面ABCD，∴易得DA，DC，DP两两相互垂直，
∴易得BC⊥平面PCD，∴平面PCD⊥平面PBC，
又DP=DA=4，E为AD上一点，
且|AD×BP|=85，AD//BC，AD=BC=4，
∴|AD×BP|=BC×BP×sin∠PBC=4×BP×PC
BP
=4PC=85，∴PC=25，又DP=4，PD⊥DC，
∴AB=DC=PC2−DP2=20−16=2；
(2)若E为AD的中点，分别延长BE，CD交点F，
∵PD⊥底面ABCD，过D作DH⊥BF于点H，连接PH，
则根据三垂线定理可得∠PHD为二面角P−EB−A的补角，
又DP=DA=4，底面ABCD为矩形，且由(1)知AB=DC=2，
∴△DEF为等腰直角三角形，∴DH=1
2
EF=2，
∴PH=DH2+PD2=2+16=32，
∴cos∠PHD=DH
PH =2
32
=1
3
，
∴二面角P−EB−A的余弦值为−1
3
；
(3)过D作DG⊥PC于点G，由(1)知平面PCD⊥平面PBC，∴DG⊥平面PBC，又根据新定义可知DG//(AD×BP)，又AD×BP=λEM，∴EM//DG，
∵PD=4，DC=2，∴PC=25，∴DG=PD×DC
PC =8
25
=4
5
，
∴CG=DC2−DG2=4−16
5=2
5
=25
5
，
∴PG=PC−CG=25−25
5=85
5
，∴PG
PC
=4
5
，
过G 作GM//CB ，且GM ∩PB =M ，在DA 上取靠近A 的五等分点，∴ED =4
5
AD =45
BC ，则易知MG//BC//ED ，且
MG BC =PG PC =4
5
，∴MG =45
BC ，
∴ED//MG ，且ED =MG ，
∴四边形DGME 为平行四边形，∴EM//DG ，又DG ⊥平面PBC ，∴EM ⊥平面PBC ，
又EM =DG =4
5=4
5
5
，|AD ×BP |=8 5，
∴|λ||AD BP ||EM |
8 5
4 55
=10．
19.解：(1)直线l 的方程可化为m(3x +y−6)+3x−y−2=0，
由{
3x +y−6=03x−y−2=0，解得{
x =43y =2
，所以直线l 过定点P(4
3,2)．(2)由题意，设直线l 的方程为x a +y
b =1(a >0,b >0)，将P(4
3,2)代入得4
3a +2
b =1....①
由A(a,0)、B(0,b)，△AOB 的周长为12，面积为6，得{
a +
b + a 2+b 2=12
12
ab =6，
令a +b =t >0，则a 2+b 2=(a +b )2−2ab =t 2−24，
所以t + t 2−24=12，即t−12=
t 2−24，化简得24t =168，解得t =7，
所以{a +b =7ab =12，解得{a =3b =4或{a =4b =3．
其中{a =3b =4不满足①，{a =4
b =3满足①．
所以存在直线l 的方程为x
4+y 3=1，即3x +4y−12=0满足条件．
(3)由(1)可知直线l 过定点P(4
3,2)，直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，所以直线l 的倾斜角α∈(π
2,π)，所以|PA|=2sin α，|PB|=−4
3cosα，
所以|PA|+32|PB|=2sin α−32×43cosα=2sin α−2cos α=2×cosα−sinα
sin αcos α，...②
令t =cosα−sinα=
2cos (α+π
4)，
因为α∈(π2,π)，所以α+π4∈(3π4,5π
4)，所以cos (α
+π4)∈
[−1,−
22
),所以t = 2cos (α+π
4)∈[−
2,−1)．
则|PA|
+3
2|PB|
=2×t
1−t 22
=4
1t
−t (t ∈[− 2,−1)),
因为y =1t −t 在[− 2,−1)上为减函数，所以y =4
1t −t 在[−
2,−1)上为增函数，
所以当t =− 2，即α=3π4时，|PA|+32|PB|取得最小值4
1−
2
+
2=4
2．
此时直线l 的方程为y−2=tan 3π4×(x−4
3)，即3x +3y−10=0．。