(通用版)2019版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角函数 第二节 同角三角函数的基本关系与

02 突破点(二) 三角函数的诱导公式
自学区 抓牢双基· 完成情况
[基本知识]
组数 一 2kπ＋
角 α(k∈Z )
二 π＋α
三
四五 六
－α
π－α π2－α π2＋α
正弦 sin α _－__s_i_n_α__ _－__s_in__α __s_in__α_ _c_o_s_α_ c_o_s_α_
余弦 cos α 正切 tan α
第二节 同角三角函数的基本 关系与诱导公式
本节主要包括2个知识点： 1.同角三角函数的基本关系； 2.三角函数的诱导公式.
01
突破点(一) 同角三角函数的基本关系
02
突破点(二) 三角函数的诱导公式
03
全国卷5年真题集中演练——明规律
04
课时达标检测
01 突破点(一) 同角三角函数的基本关系
自学区 抓牢双基· 完成情况
(2)cos2α－1 sin2α＝csions22αα＋－csoins22αα ＝scions22αccαoo＋－ss22cαsαoins22αα＝t1a－n2tαa＋n2α1＝1－－43－2＋4312＝－275. (3)sin2α＋2sin αcos α＝sin2sαin＋2α2＋sincoαsc2αos α＝tant2aαn＋2α2＋ta1n α＝119966－ ＋831 ＝－285.
[全练题点]
1.[考点一] 若αபைடு நூலகம்－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝(
)
A．－45
B.45
3 C.5
D．－35
解析：因为α∈－π2，π2，sin α＝－35，所以α∈－π2，0，cos
α＝45，则cos(－α)＝45.
答案：B
2.[考点二](2018·河北衡水中学月考)已知tan θ＝2，则sin2θ＋
α
，将tan
α＝－
3 4
代入，
得原式＝－－34342－2＋－134＝2215，故选A.
[答案] A
sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 [例3] 已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝15.
(1)求sin x－cos x的值；(2)求sin12－x＋ta2nsxin2x的值． [解] (1)由sin x＋cos x＝15， 平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝215， 整理得2sin xcos x＝－2245. ∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝4295. 由x∈(－π，0)，知sin x<0，又sin x＋cos x>0， ∴cos x>0，则sin x－cos x<0，故sin x－cos x＝－75.
表达式中需要利用 “1”转化
表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ
[基本能力]
1．判断题 (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. (2)若α∈R ，则tan α＝csoins αα恒成立．
(× ) (×)
2．填空题 (1)已知α∈π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.
讲练区 研透高考· 完成情况
[全析考法]
诱导公式的应用
1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形； (2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简 单，能求值的要求出值．
互化
sin cos
θθ＝tan
θ化成正切
“1” 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋ 的变 tan2θ)＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos
换 θ＝tanπ4
和积 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝
转换 1±2sin θcos θ进行变形、转化
表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ
(2)已知tanπ6－α＝ 33，则tan56π＋α＝________.
解析：tan56π＋α＝tanπ－π6＋α
＝tanπ－π6－α
＝－tanπ6－α＝－
3 3.
答案：－
3 3
(3)化简：sin1＋π－sinαπ2＋＋sαintαacnosαα＝________. 解析：sin1＋π－sinαπ2＋＋sαinαtacnosαα ＝sin1＋α＋cossinααtacnosαα ＝cos α. 答案：cos α
中的奇、偶是指
π 2
的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称
是否变化．
( √)
2．填空题 (1)如果sin(π＋A)＝12，那么cos32π－A的值是________． 解析：∵sin(π＋A)＝12，∴－sin A＝12. ∴cos32π－A＝－sin A＝12. 答案：12
[例2] (2018·安徽江南十校联考)已知tan α＝－34，则sin
α·(sin α－cos α)＝
()
21
25
A.25
B.21
C.45
D.54
[解析] sin α·(sin α－cos α)＝sin2α－sin α·cos α＝
sin2α－sin α·cos sin2α＋cos2α
α
＝
tan2α－tan tan2α＋1
答案：－2 2
(3)已知tan
α＝2，则ssiinn
α＋cos α－cos
αα的值为________．
解析：原式＝tan tan
αα－＋11＝22＋ －11＝3.
答案：3
讲练区 研透高考· 完成情况
[全析考法]
“知一求二”问题
利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌 握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角 函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一 些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方 程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
(2)sin12－x＋ta2nsxin2x＝2sin
xcos x＋sin
1－csoins
x x
x
＝2sin
xcos cos
xcos x＋sin x－sin x
x＝－22457×15＝－12745.
5
[方法技巧]
同角三角函数关系式的方程思想 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个 式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α ＝t2－2 1，sin α－cos α＝± 2－t2(注意根据α的范围选取 正、负号)，体现了方程思想的应用．
[例1] (1)已知cos α＝k，k∈R ，α∈π2，π，则sin(π＋α)＝
A．－ 1－k2
B. 1－k2
()
C．± 1－k2
D．－k
(2)(2018·厦门质检)若α∈π2，π，sin (π－α)＝35，则tan α＝
()
A．－43
4 B.3
C．－34
3 D.4
[解析] (1)由cos α＝k，α∈π2，π得sin α＝ 1－k2， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－ 1－k2，故选A. (2)∵α∈π2，π，sin α＝35， ∴cos α＝－45，∴tan α＝－34. [答案] (1)A (2)C
[典例] (1)若f(x)＝tan x－sin2cπo＋s2xπ2－coxsπ－－1x，则fπ6的值为
()
A. 3
3 B. 3
C．－ 3
D．－
3 3
(2)(2018·山东烟台期中)若sinπ6－α＝13，则cos23π＋2α＝
()
A．－79
B．－13
[答案] (1)A (2)A
[方法技巧]
应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项 (1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角 的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程 中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用． (2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定 的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱 导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象 限，防止符号及三角函数名出错．
解析：∵α∈π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－ 1－sin2α＝－35， ∴tan α＝csions αα＝－43.
答案：－43
(2)若cos α＝13，α∈－π2，0，则tan α＝________.
解析：由已知得sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－19＝
－232，所以tan α＝csions αα＝－2 2.
答案：D
3.[考点三](2017·山东济南二模)已知sin α＋cos α＝15，α∈[0，π]，
则tan α＝
()
A．－43
B．－34
3
4
C.4
D.3
解析：将sin α＋cos α＝15，
①
左右两边平方，得1＋2sin αcos α＝215，即2sin αcos α＝－2245<0.
又α∈[0，π]，∴sin α>0，cos α<0，即sin α－cos α>0，∴(sin α
1 C.3
7 D.9
[解析]
(1)由题意得f(x)＝tan
x－
2sin2x－1 －sinx－cos
x
＝tan
x－sicno2sx－xsicnosx2x＝tan x－tan x＋ta1n x＝ta1n x，则fπ6＝ 3， 故选A.
(2)cos23π＋2α＝cosπ－π3－2α ＝－cosπ3－2α＝－1＋2sin2π6－α＝－79. 故选A.
[易错提醒]
知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的 象限，不要弄错切、弦的符号．
知切求f(sin α、cos α)值问题
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的
值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其
转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分
式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．
[全练题点]
1．(2018·唐山一模)已知sin52π＋α＝35，那么tan α的值为(
－__c_o_s__α_ _c_o_s_α__ －__co_s__α_ _s_in__α_ _－__s_in__α _t_a_n__α_ _－__ta_n__α_ －__t_a_n_α_
[基本能力]
1．判断题
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．
( ×)
(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其
()
A．－
3 2
B.
3 2
C．－34
3 D.4
解析：∵54π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，∴
cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝
34，∴cos
α－sin
α＝
3 2.
答案：B
5. [考点二] 已知tan α＝－43，求： (1)5ssiinnαα－＋42ccoossαα的值； (2)cos2α－1 sin2α的值； (3)sin2α＋2sin αcos α的值． 解：(1)5ssiinnαα－＋42ccoossαα＝5ttaannαα－＋42＝5×－－43－434＋2＝87.
－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4295，∴sin α－cos α＝75，
②
联立①②解得sin α＝45，cos α＝－35，则tan α＝csions αα＝－43.
答案：A
4. [考点三](2018·厦门质检)已知sin αcos α＝18，且54π<α<32π，
则cos α－sin α的值为
[基本知识]
1．同角三角函数的基本关系
sin2α＋cos2α＝1(α∈R )
(1)平方关系：
．
(2)商数关系： tan α＝csoins ααα≠kπ＋π2，k∈Z
.
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦
主要利用公式tan θ＝csoins θθ化成 正弦、余弦，或者利用公式
sin θcos θ－2cos2θ＝
()
A．－43
B.54
C．－34
D.45
解析：sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ ＝sin2θ＋ssiinn2θθ＋cocsoθs－2θ 2cos2θ ＝tan2tθa＋n2tθa＋n 1θ－2， 把tan θ＝2代入得，原式＝4＋4＋2－1 2＝45.故选D.