北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题含答案

第一章勾股定理
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是( )
A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝4，b＝5，c＝6
2．如图1所示，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝8，OP ＝10，则PE的长为( )
图1
A．5 B．6
C．7 D．8
3．下列结论中，错误的有( )
①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝c2，则∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图2，将长为8 cm的橡皮筋放置在地面上，固定两端点A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至点D，则橡皮筋被拉长了( )
图2
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
5．将面积为8π的半圆与两个正方形按图3所示的方式摆放，则这两个正方形面积的和为( )
图3
A ．16
B ．32
C ．8π
D ．64
6．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足()a －b 2＋||b －2＋()c 2
－82
＝0，则下列对此三角形的形
状描述最确切的是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形
7．如图4所示，AC ⊥BD ，O 为垂足，设m ＝AB 2
＋CD 2
，n ＝AD 2
＋BC 2
，则m ，n 的大小关系为( )
图4
A ．m ＜n
B ．m ＝n
C ．m ＞n
D ．不确定
8．如图5，点D 在△ABC 的边AC 上，将△ABC 沿BD 翻折后，点A 恰好与点C 重合．若BC ＝5，
CD ＝3，则BD 的长为( )
图5
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．如图6，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑甲壳虫从点A 出发，白甲壳虫从点C 1出发，它们以相同的速度分别沿棱向前爬行．黑甲壳虫爬行的路线是：AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C →CB →BA →AA 1→A 1D 1…，白甲壳虫爬行的路线是：C 1C →CB →BB 1→B 1C 1→C 1C →CB …，那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的最短路程的平方是( )
图6
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图7所示，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( )
图7
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(每题3分，共18分)
11．在△ABC中，若AC2＋BC2＝AB2，∠A∶∠B＝1∶2，则∠B的度数是________．
12．古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是____________．
13．木工师傅做了一个桌面，要求桌面为长方形，现量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线的长为68 cm，则这个桌面________．(填“合格”或“不合格”)
14．一座垂直于两岸的桥长27米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头36米，则小船实际行驶了________米．
15．如图8所示，把长方形纸片ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好都落在AD边上的点P处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则BC边的长为________．
图8
16．我国数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图
9，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝15，则S2的值是________．
图9
三、解答题(共52分)
17．(6分)如图10，△ABC中，D是BC上的一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.
(1)判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
(2)求△ABC的面积．
图10
18．(6分)如图11所示，在长方形ABCD中，AB＝CD＝24，AD＝BC＝50，E是AD上一点，且AE∶DE＝9∶16，判断△BEC的形状．
图11
19．(6分)如图12是某同学设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走4 m，又往北走1.5 m，遇到障碍后又往西走2 m，再转向北走4.5 m处往东一拐，仅走0.5 m就到达了B 处，则点A，B之间的距离是多少？
图12
20．(6分)如图13所示，有两根长杆隔河相对，一杆高3 m，另一杆高2 m，两杆相距5 m．两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．求两杆底部距小鱼的距离各是多少米．(假设小鱼在此过程中保持不动)
图13
21．(6分)如图14，河边有A，B两个村庄，A村距河边10 m，B村距河边30 m，两村平行于河边方向的水平距离为30 m，现要在河边建一抽水站，需铺设管道抽水到A村和B村．
(1)求铺设管道的最短长度是多少，请画图说明；
(2)若铺设管道每米需要500元，则最低费用为多少？
图14
22.(6分)有一个如图15所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．
(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；
(2)试求小虫爬行的最短路程．
图15
23．(8分)如图16，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，设每个小正方形的边长均为1.
(1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，连接三格和两格的对角线，求∠α＋∠β的度数(要求：画出示意图，并说明理由)．
图16
24．(8分)八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品时的第一、二个步骤是：①如图17，先裁下一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm 的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．请你根据步骤①②解答下列问题：
(1)找出图中∠FEC的余角；
(2)求EC的长．
图17
答案
1．C 2．B 3．C 4．A5．D 6．C 7．B 8．D 9.D10．D 11．60°
12．答案不唯一，如20，99，101 13．合格 14．45 15．24 16．5
17．解：(1)AD ⊥BC .理由如下： 因为BD 2
＋AD 2
＝62
＋82
＝102
＝AB 2
，
所以△ABD 是直角三角形，且∠ADB ＝90°， 所以AD ⊥BC .
(2)在Rt △ACD 中，因为CD 2
＝AC 2
－AD 2
＝172
－82
＝152
，所以CD ＝15， 所以S △ABC ＝12BC ·AD ＝12(BD ＋CD )·AD ＝1
2×21×8＝84.
18．解：因为AD ＝50，AE ∶DE ＝9∶16，所以AE ＝18，DE ＝32. 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得BE 2
＝AB 2
＋AE 2
＝242
＋182
＝900. 在Rt △CDE 中，由勾股定理，得CE 2
＝DE 2
＋CD 2
＝322
＋242
＝1600.
在△BCE 中，因为BE 2
＋CE 2
＝900＋1600＝2500＝502
＝BC 2
，所以△BEC 是直角三角形．
19．解：如图，过点B 作BC ⊥AD 于点C ，由图可知AC ＝4－2＋0.5＝2.5(m)，BC ＝4.5＋1.5＝6(m)．在Rt △ABC 中，AB 2
＝AC 2
＋BC 2
＝2.52
＋62
＝42.25，所以AB ＝6.5(m)，即点A ，B 之间的距离是6.5 m.
20．解：由题意可知AB ＝2 m ，CD ＝3 m ，BC ＝5 m ，AE ＝DE . 设BE ＝x m ，则EC ＝(5－x )m.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2.
在Rt△DCE中，由勾股定理，得DE2＝CD2＋EC2.
所以AB2＋BE2＝CD2＋EC2，即22＋x2＝32＋(5－x)2，解得x＝3，则5－x＝2.
所以杆AB底部距小鱼3 m，杆CD底部距小鱼2 m.
21．解：(1)如图，过点A作AC⊥CE于点C，延长AC至点D，使CD＝AC，连接BD，交河边于点E，连接AE，则抽水站应建在点E处，可使铺设的管道最短，最短长度为AE＋BE，即BD的长．
过点B作BF⊥AC于点F，
由题意得：AC＝10 m，CF＝30 m，BF＝30 m，
所以CD＝AC＝10 m，
所以DF＝10＋30＝40(m)．
在Rt△BDF中，BD2＝302＋402＝502，
所以BD＝50(m)．
即铺设管道的最短长度是50 m.
(2)最低费用为50×500＝25000(元)．
22．解：(1)如图所示，AQ→QG为最短路线．
(2)因为AE＝40 cm，AA′＝120 cm，所以A′E＝120－40＝80(cm)．因为EG＝60 cm，所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000，所以A′G＝100 cm，所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100 cm，所以小虫爬行的最短路程为100 cm.
23．解：(1)AB⊥BC.理由：如图①，连接AC.由勾股定理可得AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形且∠ABC＝90°，所以AB⊥BC.
(2)∠α＋∠β＝45°.理由：如图②，由勾股定理得AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形且∠ABC＝90°.又因为AB＝BC，所以△ABC 是等腰直角三角形，所以∠BAC＝45°，即∠α＋∠γ＝45°.由图可知∠β＝∠γ，所以∠α＋∠β＝45°.
24．解：(1)∠CFE，∠BAF.
(2)由折叠的性质，得AF＝AD＝20 cm，EF＝DE.设EC＝x cm，则EF＝DE＝(16－x)cm.
在Rt△ABF中，BF2＝AF2－AB2＝202－162＝144，所以BF＝12(cm)，
所以FC＝BC－BF＝20－12＝8(cm)．
在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2＝FC2＋EC2，即(16－x)2＝82＋x2，解得x＝6，
所以EC的长为6 cm.。