2025届湖北省荆州市名校高考数学三模试卷含解析

2025届湖北省荆州市名校高考数学三模试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）
A ．物理化学等级都是
B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人
C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人
D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人
2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()ax
f x e =-（其中e 是自
然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( ) A ．3-
B ．3
C ．1
3
-
D ．
13
3．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最小值是（ ）
A ．6
B ．5
C ．2
D ．
32
4．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>
B ．a b c >>
C ．b c a >>
D ．b a c >>
5．已知函数()x a
f x x e
-=+，()()ln 24a x
g x x e
-=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使
()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）
A ．ln 21--
B ．1ln 2-+
C ．ln 2-
D ．ln 2
6．若1(1)z a i =+-（a R ∈），|2|z =，则a =（ ） A ．0或2
B ．0
C ．1或2
D ．1
7．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()2
1f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2
B ．0
C ．1-
D ．1
8．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种
B ．27种
C ．37种
D ．47种
9．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差
B ．中位数
C ．众数
D ．平均数
10．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题
D ．()p q ∧⌝为假命题
11．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0
(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪
--≥⎨⎪≤⎩
，则2m n -的最小值为（ ）
A ．-4
B ．-2
C ．0
D ．4
12． “1
cos 22α=-
”是“3
k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知x ，y 满足约束条件
，则
的最小值为___
14．已知数列{}n a 递增的等比数列，若23
12a a +=，1427a a =，则n a =______.
15．已知椭圆C ：22
162
x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF ∆的内切
圆方程是________.
16．若幂函数()
a f x x 的图象经过点
)
122
，，则其单调递减区间为_______．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为
1
2
，乙每次投球命中的概率为
2
3
，且各次投球互不影响. （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；
（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. ①求,,p p p 123；
②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式.
18．（12分）已知()ln f x x x =与y a =有两个不同的交点A B ，，其横坐标分别为12x x ，（12x x <）. （1）求实数a 的取值范围；
（2）求证：3
213212
a e ae x x -+++<-<
. 19．（12分）已知函数u （x ）＝xlnx ，v （x ）21
mx 2
=+x ﹣1，m ∈R ． （1）令m ＝2，求函数h （x ）()()u x v x x 1
=
-+的单调区间；
（2）令f （x ）＝u （x ）﹣v （x ），若函数f （x ）恰有两个极值点x 1，x 2，且满足12
1
x x ≤＜e （e 为自然对数的底数）求x 1•x 2的最大值．
20．（12分）某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出
的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：摄氏度℃）
有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[
)2025，
，需求量为500瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [)1015
， [)1520，
[)2025，
[)2530，
[)3035，
[)3540，
天数
4
14
36
27
6
3
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为n （单位：瓶）时，y 的数学期望的取值范围？
21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝60°，AB=PA ＝4，E 是PA 的中点，AC ，BD 交于点O .
（1）求证：OE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥E ﹣PBD 的体积.
22．（10分）设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <). （i ）求a 的取值范围； （ii ）求证:12x x ⋅随着
2
1
x x 的增大而增大.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
根据题意分别计算出物理等级为A ，化学等级为B 的学生人数以及物理等级为B ，化学等级为A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项. 【详解】
根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人（其中物理A 化学B 的有5人，物理B 化学A 的有3人）， 表格变为：
对于A 选项，物理化学等级都是B 的学生至多有13人，A 选项错误；
对于B 选项，当物理C 和D ，化学都是B 时，或化学C 和D ，物理都是B 时，物理、化学都是B 的人数最少，至少为13724--=（人），B 选项错误；
对于C 选项，在表格中，除去物理化学都是B 的学生，剩下的都是一科为B 且最高等级为B 的学生， 因为都是B 的学生最少4人，所以一科为B 且最高等级为B 的学生最多为1391419++-=（人）， C 选项错误；
对于D 选项，物理化学都是B 的最多13人，所以两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生最少14131-=（人），D 选项正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题. 2、B 【解析】
根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a . 【详解】
由已知可知，()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 是一个以4为周期的周期函数，
所以()()()ln2
2020ln2ln2ln228a a f f f e -=-=-===，
解得3a =， 故选：B. 【点睛】
本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题. 3、D 【解析】
根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 【详解】
作出不等式组21y x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩
所表示的可行域如下图所示：
联立1
y x x y =⎧⎨+=⎩，得12x y ==，可得点11,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭，
由2z x y =+得12y x z =-+，平移直线1
2
y x z =-+， 当该直线经过可行域的顶点A 时，该直线在y 轴上的截距最小，
此时z 取最小值，即min 1132222
z =+⨯=. 故选：D.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 4、D 【解析】
因为0.080.08
log 0.042log 0.20.20a ===>=，0.30.3log 0.2log 10b =>=，
所以
0.20.211
log log 0.3a b ==且0.2log y x =在()0,∞+0.3< 所以11
a b
>，所以b a >，
又因为
1a =>=，0.0400.30.31c =<=，所以a c >，
所以b a c >>. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小. 5、A 【解析】
令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣
a ﹣1n （x+1）+4e a ﹣
x ， 令y=x ﹣ln （x+1），y′=1﹣
12x +=1
2
x x ++， 故y=x ﹣ln （x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1，
而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln1时，等号成立）； 故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A ． 6、A 【解析】
利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 【详解】
由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =0a =或2a =.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查复数模的运算，属于基础题. 7、D 【解析】
推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可. 【详解】
由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=，
()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，
所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，
由于当10x -≤≤时，()2
1f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 8、C 【解析】
由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】
所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有
642737-=种,
故选:C 【点睛】
本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题. 9、A 【解析】
通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变. 【详解】
由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.
本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以2)n x x -（没有改变，
根据方差公式2
2
2181[()()]8
S x x x x =-++-可知方差不变.
故选：A 【点睛】
本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10、B 【解析】
由2x y =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解 【详解】
由函数2x y =是R 上的增函数，知命题p 是真命题． 对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得1
2
x =-，无解，
因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；
p q ∨为真命题，B 正确；
p q ∧为假命题，C 错误；
()p q ∧⌝为真命题，D 错误．
故选：B 【点睛】
本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 11、B 【解析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】
奇函数()f x 是R 上的减函数，则()00f =，且2100m n m n m ≤-⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩，画出可行域和目标函数，
2z m n =-，即2n m z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，
根据平移得到：当直线过点()0,2，即0.2m n ==时，2z m n =-有最小值为2-.
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.
12、B
【解析】
先求出满足
1
cos2
2
α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
由
1
cos2
2
α=-得
2
22
3
k
π
απ
=±，即
3
k
π
απ
=±，k Z
∈，因此“
1
cos2
2
α=-”是“
3
k
π
απ
=+，k Z
∈”的必要
不充分条件．
故选：B．
【点睛】
本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再由表示直线在y轴上的截距最大即可得解.
【详解】
x ，y 满足约束条件，画出可行域如图所示.目标函数，即.
平移直线，截距最大时即为所求. 点A （，
），
z 在点A 处有最小值：z ＝2，
故答案为：. 【点睛】
本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法． 14、13n - 【解析】
142327a a a a ==，建立23,a a 方程组，且23a a <，求出23,a a ，进而求出{}n a 的公比，即可求出结论.
【详解】
数列{}n a 递增的等比数列，32a a ∴>，
2314231227a a a a a a +=⎧⎨
==⎩，解得23
39a a =⎧⎨=⎩， 所以{}n a 的公比为3，13-=n n a . 故答案为:13n -. 【点睛】
本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题.
15、2
24439x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭
【解析】 利用公式21
2
ABF S lr ∆=
计算出r ，其中l 为2ABF ∆的周长，r 为2ABF ∆内切圆半径，再利用圆心到直线AB 的距离等于半径可得到圆心坐标. 【详解】
由已知，(2,
3A -，(2,3
B --，2(2,0)F ，设内切圆的圆心为(,0)(2)t t >-，半径为r ，则
21222111
()4222ABF S AB F F AB AF BF r a r ∆=
⨯⨯=⨯++⨯=⨯⨯4=， 解得23r =
，由2|(2)|3t --=，4
3t =-或83
t =-（舍），所以2ABF ∆的内切圆方程为
2
2
4439x y ⎛⎫++= ⎪
⎝
⎭. 故答案为：2
24439x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭.
【点睛】
本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题. 16、(0,)+∞ 【解析】
利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再求出()f x 的单调递减区间． 【详解】
解：幂函数()a f x x 的图象经过点1)2
，
则12
a
=，
解得2a =-；
所以2()f x x -=，其中()
(),00,x ∈-∞+∞；
所以()f x 的单调递减区间为(0,)+∞． 故答案为：(0,)+∞． 【点睛】
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ===；②1161
77i i i p p p +-=+，11156n n p ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. 【解析】
（1）经过1轮投球，甲的得分X 的取值为1,0,1-，记一轮投球，甲投中为事件A ，乙投中为事件B ，,A B 相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得1p ，由两轮的得分可计算出2p ，计算3p 时可先计算出经过2轮后甲的得分Y 的分布列（Y 的取值为
2,1,0,1,2--），然后结合X 的分布列和Y 的分布可计算3p ，
由00p =，代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，得两个方程，解得,a c ，从而得到数列{}n p 的递推式，变形后得
1{}n n p p --是等比数列，由等比数列通项公式得1n n p p --，然后用累加法可求得n p ．
【详解】
（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A =，2
()3
P B =，甲的得分X 的取值为1,0,1-，
(1)()
P X P AB =-=121
()()(1)233
P A P B ==-⨯=， (0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+12121
(1)(1)23232=⨯+-⨯-=，
121
(1)()()()(1)236
P X P AB P A P B ====⨯-=，
∴X 的分布列为：
（2）由（1）116
p =
， 2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=111117
()2662636
=⨯+⨯+=，
同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2--： 记(1)P X x =-=，(0)P X y ==，(1)P X z ==，则
2(2)P Y x =-=，(1)P Y xy yx =-=+，2(0)P Y xz zx y ==++，(1)P Y yz zy ==+，2(2)P Y z ==
由此得甲的得分Y 的分布列为：
∴3111111131143()()3362636636636216
p =
⨯+⨯++⨯++=， ∵11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，00p =，
∴1212321p ap bp p ap bp cp =+⎧⎨=++⎩，71136664371721636636a b a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=
⎪⎩，∴6(1)7
17b a b c -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，
代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠得：1161
77
i i i p p p +-=+， ∴111
()6
i i i i p p p p +--=
-， ∴数列1{}n n p p --是等比数列，公比为1
6q =
，首项为1016
p p -=， ∴11
()6
n
n n p p --=．
∴11210()()()n n n n n p p p p p p p ---=-+-++-111
111
()()(1)66
656
n n n -=++
+
=-． 【点睛】
本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．
18、（1）10e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，；（2）见解析
【解析】
（1）利用导数研究()ln f x x x =的单调性，分析函数性质，数形结合，即得解；
（2）构造函数ln g x x x x =--（
），11ln 1h x x x x e =---（）（）可证得：ln x x x ->，()111ln 11x x x x e e ⎛⎫
⎛⎫->∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭，，分析直线y x =-，()1
11
y x e =
--与y a = 从左到右交点的横坐标，f x （）在3x e -=，1x =处的切线即得解.
【详解】
（1）设函数()ln f x x x =，
()'1ln f x x =+，
令()1'0,f x x e >>
，令()1'0,0f x x e
<<< 故()f x 在1(0,)e
单调递减，在1
(,)e +∞单调递增，
∴()11min f x f e e
⎛⎫
==-
⎪⎝⎭
， ∵0x +→时()0f x →；()10f =；x →+∞时()f x →+∞
10a e ⎛⎫⇒∈- ⎪⎝⎭
，.
（2）①过点()00，，11e e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，的直线为y x =-， 则令()ln g x x x x =--，10x e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，
()2ln g x x '=--
()
2max ()g x g e -⇒=，min 1()min 00g x g e ⎧⎫
⎛⎫>=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩
⎭，
1ln 0x x x x e ⎛⎫
⎛⎫⇒->∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.
②过点()1
0，，11e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，的直线为()1
11
y x e =--， 则()()111ln 11h x x x x x e e ⎛⎫
⎛⎫=
--∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭，
， ()1ln 101h x x h x e =
--'>⇒-（）在11e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
上单调递增 ()()11101ln 11h x h x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⇒>=⇒->∈ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
. ③设直线y x =-，()1
11
y x e =
--与y a = 从左到右交点的横坐标依次为3x a =-，411x a e =-+（
）， 由图知2143
1x x x x ae ->-=+.
④f x （）在3x e -=，1x =处的切线分别为32y x e -=--，1y x =-，同理可以证得
11ln 1x x x x e ⎛⎫⎛⎫-<∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，312ln 0,x e x x x e -⎛⎫
⎛⎫--<∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
记直线y a =与两切线和h x （）从左到右交点的横坐标依次为5126x x x x ，，，， 33
216532122
a e a e x x x x a ----+--<-=+-=
（）. 【点睛】
本题考查了函数与导数综合，考查了学生数形结合，综合分析，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题. 19、（1）单调递增区间是（0，e ），单调递减区间是（e ，+∞）（2）e 1
e 1e +- 【解析】
（1）化简函数h （x ）lnx
x
=
，求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出 （2）函数f （x ）恰有两个极值点x 1，x 2，则f ′（x ）＝lnx ﹣mx ＝0有两个正根，由此得到m （x 2﹣x 1）＝lnx 2﹣lnx 1，
m （x 2+x 1）＝lnx 2+lnx 1，消参数m 化简整理可得ln （x 1x 2）＝ln 21x x •2
121
11
x x x x +-，设t 21x x =，构造函数g （t ）＝（1
1t t +-）
lnt ，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值即可求出x 1•x 2的最大值． 【详解】
（1）令m ＝2，函数h （x ）()()2u xlnx lnx v 1
11x x x x x x x ==
=-++--+，∴h′（x ）2
1lnx
x
-=， 令h′（x ）＝0，解得x ＝e ，
∴当x ∈（0，e ）时，h′（x ）＞0，当x ∈（e ，+∞）时，h′（x ）＜0， ∴函数h （x ）单调递增区间是（0，e ），单调递减区间是（e ，+∞） （2）f （x ）＝u （x ）﹣v （x ）＝xlnx 21
mx 2
--x+1， ∴f′（x ）＝1+lnx ﹣mx ﹣1＝lnx ﹣mx ， ∵函数f （x ）恰有两个极值点x 1，x 2， ∴f′（x ）＝lnx ﹣mx ＝0有两个不等正根， ∴lnx 1﹣mx 1＝0，lnx 2﹣mx 2＝0， 两式相减可得lnx 2﹣lnx 1＝m （x 2﹣x 1）， 两式相加可得m （x 2+x 1）＝lnx 2+lnx 1，
∴2
12211
222111x 1
ln x x x x x x x x x ln 1x x （）++==-- ∴ln （x 1x 2）＝ln 21x x •2
1
2
1
x 1
x x 1x +-，
设t 21
x x =
，∵12
1x x ≤＜e ，∴1＜t≤e ， 设g （t ）＝（t 1t 1+-）lnt ，∴g′（t ）22
t 12tlnt
t(t 1)--=-，
令φ（t ）＝t 2﹣1﹣2tlnt ，∴φ′（t ）＝2t ﹣2（1+lnt ）＝2（t ﹣1﹣lnt ）， 再令p （t ）＝t ﹣1﹣lnt ，∴p′（t ）＝11
t
＞-0恒成立，
∴p （t ）在（1，e]单调递增，∴φ′（t ）＝p （t ）＞p （1）＝1﹣1﹣ln1＝0， ∴φ（t ）在（1，e]单调递增，∴g′（t ）＝φ（t ）＞φ（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0， ∴g （t ）在（1，e]单调递增，∴g （t ）max ＝g （e ）e 1
e 1
+=
-，
∴ln （x 1x 2）e 1
e 1
+≤
-，∴x 1x 2e 1e 1e +-≤ 故x 1•x 2的最大值为e 1
e 1e +-． 【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值和最值，考查了函数与方程的思想，转化与化归思想，属于难题
20、（1）见解析；（2）[600800)，
【解析】
（1）X 的可能取值为300,500,600，结合题意及表格数据计算对应概率，即得解；
（2）由题意得300600n ≤≤，分[]500600n ∈，
，及[
)300500n ∈，，分别得到y 与n 的函数关系式，得到对应的分布列，分析即得解. 【详解】
（1）由题意：X 的可能取值为300,500,600
4141(300)905P X +==
= 362(500)905P X ==
= 27632
(500)905
P X ++==
=
故：六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列为
（2）由题意得300600n ≤≤.
1°.当[]
500600n ∈，
时， 利润7522550072500525003[202530072300515003[1020n n n t y n n n t n n n t -=≥⎧⎪
=⨯+--=-∈⎨⎪⨯+⨯--=
-∈⎩
，℃．（
），，）（），，） 此时利润的分布列为
222(25003)(15003)1300551
5
Ey n n n n ⇒=⨯+-⨯+-⨯=-
[]700800E y ⇒∈（），.
2.[
)300500n ∈，
时， 利润752207300230051500320n n n t y n n n t -=≥⎧
=⎨
⨯+⨯--=-<⎩
，（）， 此时利润的分布列为
41
2(1500
3)30055
Ey n n n ⇒=⨯+-⨯=+
[)600800E y ⇒∈（），.
综上y 的数学期望的取值范围是[)600800，
. 【点睛】
本题考查了函数与概率统计综合，考查了学生综合分析，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 21、（1）证明见解析（2 【解析】
（1）连接OE ，利用三角形中位线定理得到OE ∥PC ，即可证出OE ∥平面PBC ； （2）由E 是PA 的中点，11
22
E PBD PBD P ABD A V V V -==﹣﹣，求出S △ABD ，即可求解. 【详解】
（1）证明：如图所示：
∵点O ，E 分别是AC ，PA 的中点， ∴OE 是△PAC 的中位线，∴OE ∥PC ， 又∵OE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， ∴OE ∥平面PBC ；
（2）解：∵PA ＝AB ＝4，∴AE ＝2， ∵底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°， ∴S △ABD 1
4460432
sin =
⨯⨯⨯︒=， ∴三棱锥E ﹣PBD 的体积
112183
23
2E PBD PBD P B A A D ABD V V V PA S -==⋅==
﹣﹣△.
【点睛】
本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积，注意等体积法的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.
22、（1）见解析；（2）（i ）10,a e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
（ii ）证明见解析 【解析】
（1）求出导函数11(),(0,)ax f x a x x x
-'=
-=∈+∞，分类讨论即可求解； （2）（i ）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii ）设2
1
1x t x =
>，通过转化()1212(1)ln ln ln ln 1
t t
x x x x t +=+=
-，讨论函数的单调性得证.
【详解】
（1）因为()ln f x x ax =-，所以11(),(0,)ax f x a x x x
-'=
-=∈+∞ 当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a >时，()0f x '>的解集为10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()0f x '<的解集为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
， 所以()f x 的单调增区间为10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；
（2）（i ）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，至多一个零点，不符题意，当0a >时，因为()f x 有两个零点，所以max 11()ln 10f x f a a ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，解得10a e <<，因为(1)0f a =-<，且11a <，所以存在111,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =，又因为221111ln 2ln f a a a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，设11()2ln 0,g a a a a e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则222112()0a g a a a a --'=+=>，所以()g a 单调递增，所以1()20g a g e e ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，即210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为211a a >，所以存在2211,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，综上，10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（ii ）因为1122ln ln 0x ax x ax -=-=，所以1212
ln ln x x x x =，因为21x x >，所以211x x >，设211x t x =>，则21x tx =，所以()112121ln ln ln tx x x x x tx ==，解得1ln ln 1
t x t =-，所以21ln ln ln ln 1t t x x t t =+=-，所以()1212(1)ln ln ln ln 1t t x x x x t +=+=-，设(1)ln ()(1)1
t t h t t t +=>-，则22
11ln (1)(1)ln 2ln ()(1)(1)t t t t t t t t t h t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，设1()2ln (1)H t t t t t =-->，则2
2212(1)()10t H t t t t
-'=+-=>，所以()H t 单调递增，所以()(1)0H t H >=，所以()0H t >，即()0h t '>，所以()h t 单调递增，即()12ln x x 随着
21x t x =的增大而增大，所以12x x 随着21x x 的增大而增大，命题得证. 【点睛】
此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命题.。