2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：第2章 2.2 2.2.1 第1课时

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2.2 不等式
2。

2.1 不等式及其性质第1课时不等关系与不等式
学
习目标核心素养
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系．（难点）
2．会用比较法比较两实数的大小．（重点)1。

借助实际问题表示不等式,提升数学建模素养．
2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养．
如图,在日常生活中,我们经常看到下列标志：
其含义分别为
①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h；
②限制质量:装载总质量m不得超过10 t；
③限制高度：装载高度h不得超过3。

5 m；
④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m.
你能用数学式子表示上述关系吗？
1．不等式的定义
我们用数学符号“≠"“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．
2．不等式a≤b和a≥b的含义
(1）不等式a≤b应读作“a小于或者等于b"，其含义是指“a＜b，或者a＝b”，等价于“a不大于b",即若a＜b与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．
(2）不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“a＞b，或者a＝b”,等价于“a不小于b"，即若a＞b与a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．
3．实数大小比较的依据
我们已经知道,实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数．一般地,如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P （x）．另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小．如图所示的数轴中，A（a)，B(b），不难看出b〉1〉0>a。

此外,我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数（即加上一个负数)，相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离．由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a－b与0的相对大小就可以了，即a－b＜0⇔a＜b,a－b＝0⇔a＝b，a－b＞0⇔a＞b.
上面等价符号的左式反映的是实数的运算性质，右式反映的则是实数的大小顺序,合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系．它是不等式的理论基础，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据．
1．思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×"）
(1）不等式x≥2的含义是指x不小于2。

( )
（2)两个实数a，b之间,有且只有a＞b，a＝b，a<b三种关系中的一种．（）
(3)若a＞b，则ac2＞bc2. （）
（4）若a＋c＞b＋d，则a＞b,c＞d。

（)
［答案] （1）√(2）√(3）×（4）×
2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m,用不等式表示为（）A．v≤120 km/h且d≥10 m
B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
A［v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m,故选A。

]
3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．
4.5t<28 000 [由题意得,太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4。

5t<28 000.]
4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________．
M＞N［M－N＝a2＋a＋1
＝错误!错误!＋错误!＞0，
∴M＞N。

]
用不等式(组)表示不等关系
【例1】京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度,这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
[解］设复兴号列车速度为v1，民航飞机速度为v2，普通客车速度为v3.
v1，v2的关系：2v1＋100≤v2，
v1，v3的关系：v1＞3v3.
在用不等式（组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质,没有可比性的两个（或几个）量之间不可用不等式（组）来表示．另外,在用不等式（组)表示实际问题时,一定要注意单位的统一．
错误!
1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式（组）表示其中的不等关系．
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0〈x≤18，
这时菜园的另一条边长为错误!＝错误!(m）。

因此菜园面积S＝x·错误!，
依题意有S≥216，即x错误!≥216，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
错误!
比较两数（式）的大小
【例2】（教材P60例1改编)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
［解] 3x3－(3x2－x＋1）＝(3x3－3x2)＋（x－1)
＝3x2(x－1)＋（x－1)＝（3x2＋1)（x－1).
∵x≤1,∴x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴（3x2＋1)（x－1)≤0,∴3x3≤3x2－x＋1。

把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．［解] 3x3－（3x2－x＋1）＝(3x3－3x2）＋（x－1）
＝（3x2＋1）（x－1)。

∵3x2＋1＞0,
当x＞1时，x－1＞0,∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1。

作差法比较两个实数大小的基本步骤
错误!
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
［解] (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1
＝错误!错误!＋错误!。

∵错误!错误!≥0，∴错误!错误!＋错误!≥错误!＞0。

∴(2x2＋5x＋3）－(x2＋4x＋2)＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2。

不等关系的实际应用
【例3】某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解] 设该单位职工有n人(n∈N*）,全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋错误!x（n－1)＝错误!x＋错误!xn，y2＝错误!nx。

因为y1－y2＝错误!x＋错误!xn－错误!nx
＝错误!x－错误!nx＝错误!x错误!，
当n＝5时,y1＝y2;
当n＞5时，y1＜y2；当0＜n＜5时，y1＞y2。

因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
错误!
3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠?
［解］设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则
y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1）a。

y甲－y乙＝（a＋0。

55ax)－0。

75（x＋1)a
＝0。

2a（1.25－x)，
当x＞1.25（x∈N)时，y甲＜y乙；
当x＜1。

25（x∈N）时，即x＝1时，y甲＞y乙．
因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭,甲旅行社较优惠．
知识:
比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．
a－b〉0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b;a－b<0⇔a<b。

方法：
作差法比较大小的一般步骤 第一步:作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差"化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论）；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的,“变形"是关键．
1．如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上面叙述中的不等关系正确的是（ )
A ．a ＞4b
B ．(a ＋4）（b ＋4)＝200
C ．⎩
⎪⎨⎪⎧a ＞4b
（a ＋4（b ＋4）＝200） D ．错误!
C ［∵仓库的长a 大于宽b 的4倍，∴a ＞4b .又矩形地基的面积为200 m 2，∴（a ＋4）（b ＋4)＝200，故选C 。

］
2．下面表示“a 与b 的差是非负数”的不等关系的是( ) A ．a －b ＞0 B ．a －b ＜0 C ．a －b ≥0 D ．a －b ≤0
［答案] C
3．设M ＝(a ＋1)(a －3），N ＝2a （a －2)，则（ ） A ．M ＞N
B ．M ≥N
C．M＜N D．M≤N
C［N－M＝2a（a－2)－(a＋1)（a－3)＝2a2－4a－（a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1）2＋2＞0,即M＜N，故选C。

]
4．若实数a〉b，则a2－ab________ba－b2.(填“〉"或“〈"）
〉[因为(a2－ab）－（ba－b2）＝(a－b)2，又a>b，所以（a－b)2>0.］5．完成一项装修工程,请木工共需付工资每人500元,请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．
［解］由题意知,500x＋400y≤20 000，
即5x＋4y≤200.。