上海市徐汇区2021届新高考数学第四次调研试卷含解析

上海市徐汇区2021届新高考数学第四次调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r
，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r
（ ）
A B ．
C D 【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22
||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计
算即可. 【详解】
因为11131()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r ,
所以22229311216441||6
EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u
r u u u r u u r u u u r u 229311
112()2168216
=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916
=
，
所以||EB =u u u r ，
故选：A 【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.
2．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22
221(0)x y
a b a b
+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆
交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）
A ．
63
B ．
34
C ．
12
D 3【答案】A 【解析】 【分析】
联立直线方程与椭圆方程，解得B 和C 的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得2232c a =，由离心率定义可得结果. 【详解】
由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得3
22x a b y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以3,22b B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 由题意知(),0F c ，所以3,2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝
⎭u u u r ，3,2b CF c a ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 因为90BFC ∠=︒,所以BF CF ⊥,所以
2222
2223333102244442b a c BF CF c a c a c a c a ⎛⎫⎛⎫-⋅=+-+=-+=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r .
所以2232c a =，所以6
3
c e a ==
， 故选：A. 【点睛】
本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题. 3．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为
A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+
B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+
C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+
D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+
【答案】D 【解析】 【分析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，
a b a b -≥+.
故本题答案为D. 【点睛】
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.
4．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：
①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式
1
()3
V S S h =下上•）.
A ．2寸
B ．3寸
C ．4寸
D ．5寸
【答案】B 【解析】
试题分析：根据题意可得平地降雨量2221
9(106)
33
14πππ
⨯⨯==，故选B.
考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.
5．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布(
)2
80,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）
附：若()2
~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=…，()220.9544P X μσμσ-<+=….
A ．0.6826
B ．0.8413
C ．0.8185
D ．0.9544
【答案】C 【解析】 【分析】
根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果.
由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=…，()70900.9544P X <=…， 所以()()1
85
900.95440.68260.13592
P X <=
⨯-=…，()75900.68260.13590.8185P X <=+=…. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【点睛】
本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.
6．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13
AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v
，则实数t 的值为（ ）
A ．
2
3
B ．
25
C ．
16
D ．
34
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意，可根据向量运算法则得到25
AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r
，从而由向量分解的唯一性得出关于t
的方程，求出t 的值. 【详解】
由题意及图，()
()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25
AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，
又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，解得m 56=，t 16=，
故选C ． 【点睛】
本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.
7．若()5
211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ）
A ．-2
B ．-3
C ．2
D ．3
【解析】 【分析】
先研究5
11x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式的通项，再分()2x a +中，取2x 和a 两种情况求解.
【详解】
因为5
11x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式的通项为()5
151r r r r T C x -+=-，
所以()5
211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
的展开式中的常数项为：()32320
551112(1)0x C C x a a -+--=--=-，
解得2a =， 故选：C. 【点睛】
本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n n
n a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）
①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误
【答案】A 【解析】 【分析】
利用韦达定理可得1αβ+=,1αβ=-,结合n n
n a αβ=+可推出1n a +1n n a a -=+,再计算出11a =,23a =,
从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误. 【详解】
因为α,β是方程210x x --=的两个不等实数根, 所以1αβ+=,1αβ=-,
因为n n
n a αβ=+,
所以11
1n n n a αβ+++=+
()()n n n n n n αβααβββααβ=+++-- ()()()11n n n n αβαβαβαβ--=++-+ ()()111n n n n n n a a αβαβ---=+++=+,
即当3n ≥时,数列{}n a 中的任一项都等于其前两项之和, 又11a αβ=+=,()2
22223a αβαβαβ=+=+-=, 所以3214a a a =+=,4327a a a =+=,54311a a a =+=, 以此类推,即可知数列{}n a 的任意一项都是正整数,故①正确; 若数列{}n a 存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5, 由11a =,23a =,依次计算可知,
数列{}n a 中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期, 故数列{}n a 中不存在个位数字为0或5的项,故②错误; 故选:A. 【点睛】
本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.
9．已知椭圆22
2
2
:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）
A ．0,2⎛ ⎝⎭
B ．,02⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
C ．10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】
设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以2
2
2
99,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点
()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由
于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心
率2
2
910,92e a ⎛⎫
=∈ ⎪+⎝⎭
，所以0,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
∈. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.
10．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-…，则M N ⋃=（ ） A ．[0,3) B ．70,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．71,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
D ．∅
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧
⎫
=-=⎨⎬⎩
⎭
剟
?，再求M N ⋃. 【详解】
因为7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧
⎫=-=⎨⎬⎩
⎭剟?，
又因为{|13}M y y =-<<， 所以71,2
M N ⎛⎤⋃=- ⎥⎝
⎦
，
故选：C. 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.
11．已知
b a b
c a 0.2
12
1()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
【答案】B 【解析】 【分析】
利用函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
与函数
12
log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可
得结论. 【详解】
依题意，函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
与函数12
log y x =关于直线y x =对称，则0.2
12
10log 0.22⎛⎫<< ⎪⎝⎭，
即01a b <<<，又0.2
112
2
0.2log 0.2
log 0.20.2
0.2
0.2
11110.22252b c a a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<= ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，
所以，c a b <<. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.
12．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:
得到正确结论是( )
A ．有99%
以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关” B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”
D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”
【答案】B 【解析】 【分析】
通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项. 【详解】
解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B. 【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1C x y +-=及点A ，设点P 是圆C 上的动点，在
ACP △中，若ACP ∠的角平分线与AP 相交于点(,)Q m n 的取值范围是_______.
【答案】⎣⎦
【解析】 【分析】
由角平分线成比例定理推理可得2AQ PQ =u u u r u u u r
，进而设点表示向量构建方程组表示点P 坐标，代入圆C 方
程即可表示动点Q 的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径. 【详解】
由题可构建如图所示的图形，因为AQ 是ACP ∠的角平分线，由角平分线成比例定理可知
2
21
AC AQ AQ PQ AP PQ ==⇒=,所以2AQ PQ =u u u r u u u r . 设点(),Q m n ，点(),P x y
，即()
(),,AQ m n PQ x m y n ==--u u u r u u u r
，
则()
()2,m n x m y n =--，
所以()(
)322232m x m x m n y n n y ⎧-=⎪⎧-=-⎪⎪⇒⎨
⎨=-⎪⎪⎩
=⎪⎩
. 又因为点P 是圆22
:(1)1C x y +-=上的动点，
则22
2
224(1)1(33)32239m n m n +-=⇒+⎛⎛-- ⎭-⎝⎭=⎝， 故点Q
的运功轨迹是以32M ⎫⎪⎪⎝⎭
为圆心2
3为半径的圆，
即为该圆上的点与原点间的距离，
因为3MO
d ==
2233-≤≤+
故答案为：7272,33⎤
+⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查与圆有关的距离的最值问题，常常转化到圆心的距离加减半径，还考查了求动点的轨迹方程，属于中档题.
14．函数()()cos 2y x φπφπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象重
合，则φ=_____． 【答案】
56
π
【解析】 【分析】
根据函数()cos y A x ωϕ=+图象的平移变换公式求得变换后的函数解析式,再利用诱导公式求得ϕ满足的方程,结合题中ϕ的范围即可求解. 【详解】
由函数()cos y A x ωϕ=+图象的平移变换公式可得, 函数()()cos 2y x φπφπ=+-≤≤的图象向右平移2
π
个单位后, 得到的函数解析式为()cos 2cos 22y x x πϕϕπ⎡⎤⎛⎫
=-
+=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
, 因为函数sin 23y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭cos 2cos 2cos 22366x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，
所以函数()cos 2y x ϕπ=+-与函数cos 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象重合, 所以2,6
k k z π
ϕππ-=-
+∈,即52,6
k k z π
ϕπ=
+∈, 因为πϕπ-≤≤,所以56
πϕ=. 故答案为:56
π 【点睛】
本题考查函数()cos y A x ωϕ=+图象的平移变换和三角函数的诱导公式;诱导公式的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题.
15．已知正方形ABCD 边长为3，空间中的动点P 满足2PA =，2PC PD =，则三棱锥A PCD -体积的最大值是______. 【答案】
36
4
【解析】 【分析】
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，设点
(),,P a b c ，根据题中条件得出35a b =-，进而可求出c 的最大值，由此能求出三棱锥A PCD -体积的最大值. 【详解】
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,0,0A ，()3,3,0C ，()0,3,0D ，设点(),,P a b c ，
Q 空间中的动点P 满足2PA =，2PC PD =，
所以()()()222222222
23323a b c a b c a b c
++=-+-+=+-+35a b =-，
c
∴===
当
3
2
b=，
1
2
a=-时，
c取最大值
所以，三棱锥A PCD
-
的体积为2
111
3
332
A PCD P ACD ACD
V V S c
--∆
==⋅≤⨯⨯=
因此，三棱锥A PCD
-
.
故答案为：
4
.
【点睛】
本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．已知平行于x轴的直线l与双曲线C：()
22
22
10,0
x y
a b
a b
-=>>的两条渐近线分别交于P，Q两点，O为坐标原点，若OPQ
∆为等边三角形，则双曲线C的离心率为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据OPQ
∆为等边三角形建立,a b的关系式，从而可求离心率.
【详解】
据题设分析知，60
POQ
∠=︒，所以tan60
b
a
=︒，得b=，
所以双曲线C
的离心率2
c
e
a
====.
【点睛】
本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立,,
a b c之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设数列{}n a是等差数列，其前n项和为n S，且32
a=，
9
54
S=.
（1）求数列{}n a的通项公式；
（
2
13
>.
【答案】（1）24n a n =-（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，由95954S a ==，得到56a =，再结合题干所给数据得到公差d ，即可求得数列的通项公式； （2）由（1
= 【详解】
解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，∵95954S a ==，∴56a =， ∴53
253
a a d -=
=-，∴3(3)24n a a n d n =+-=-. （2
=>=
L
1)>++⋅⋅⋅+
114113=>-=，
13>L . 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式的计算，放缩法证明数列不等式，属于中档题.
18．已知变换T 将平面上的点11,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，(0,1)分别变换为点9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭．设变换T 对应的矩阵为M ． （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的特征值．
【答案】（1）33244M ⎡
⎤-
⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦
（2）1或6
【解析】 【分析】
（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，根据变换可得关于a b c d ,,,
的方程，解方程即可得到答案； （2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案； 【详解】
（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，则194122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤
-⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即1924122324
a b c d b d ⎧
+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-
⎪⎪⎪=⎩，解得33244a b c d =⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，则33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．
（2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得2
3
3
()(3)(24)676244
f λλλλλλ-=
=---=-+-，
令()0f λ=，可得1λ=或6λ=． 【点睛】
本题考查矩阵的求解、矩阵M 的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力. 19．已知f(x)=|x +3|-|x-2| （1）求函数f(x)的最大值m ；
（2）正数a ，b ，c 满足a +2b +3c=m ，求证：12336
.5
a b c ++≥ 【答案】（1）5m =（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）利用绝对值三角不等式求得()f x 的最大值.
（2）由（1）得235a b c ++=.方法一，利用柯西不等式证得不等式成立；方法二，利用“1的代换”的方法，结合基本不等式证得不等式成立. 【详解】
（1）由绝对值不等式性质得()|3||2||(3)(2)|5f x x x x x =+--≤+--=
当且仅当(3)(2)0
32x x x x +-≥⎧⎨+>-⎩
即2x ≥时等号成立，所以5m =
（2）由（1）得235a b c ++=. 法1：由柯西不等式得
222222⎡⎤
⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦
22(123)36≥=++= 当且仅当5
6
a b c ===
时等号成立， 即123536a b c ⎛⎫
++≥ ⎪⎝⎭
，所以123365a b c ++≥
. 法2：由235a b c ++=得
231555
a b c
++=， 12312323555a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫
++=++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
123246369555555555b c a c a b a a b b c c =++++++++ 142233665555555b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1446123655555
≥
+++=， 当且仅当5
6a b c ===时“=”成立.
【点睛】
本小题主要考查绝对值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式，属于中档题. 20．等差数列{}n a 中，1631,2a a a ==． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2n a
n b =，记n S 为数列{}n b 前n 项的和，若62m S =，求m ．
【答案】（1）n a n =（2）5m = 【解析】 【分析】
（1）由基本量法求出公差d 后可得通项公式； （2）由等差数列前n 项和公式求得n S ，可求得m ． 【详解】
解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题设得
1(1)n a n d =+-
因为632a a =，
所以1(61)2[1(31)]d d +-=+- 解得1d =，
故n a n =．
（2）由（1）得2n
n b =．
所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以1
1222212
n n n S ++-==--，
由62m S =得12262m +-=， 解得5m =． 【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，解题方法是基本量法．
21．为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率； （Ⅱ）从图中考核成绩满足[]80,89X ∈的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率； （Ⅲ）记()P a X b ≤≤表示学生的考核成绩在区间[],a b 的概率，根据以往培训数据，规定当
8510.510x P ⎛-⎫≤≥ ⎪⎝⎭
时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
【答案】（Ⅰ）7
30
（Ⅱ）35（Ⅲ）见解析
【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可； （Ⅲ）求出满足85
110
X -≤的成绩有16个，求出满足条件的概率即可． 【详解】
解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件A ，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀， 所以所求概率()P A 约为
730
（Ⅱ）设从图中考核成绩满足[]80,89X ∈的学生中任取2人， 至少有一人考核成绩优秀为事件B ，
因为表中成绩在[]80,89的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间Ω包含15个基本事件，事件B 包含9个基本事件， 所以93()155
P B =
= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足
85
110
x -≤的成绩有16个， 所以85168
10.5103015x P ⎛-⎫≤==>
⎪⎝⎭
所以可以认为此次冰雪培训活动有效． 【点睛】
本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题．
22．如图，在三棱锥P ABC -中，AB PC ⊥，M 是AB 的中点，点D 在PB 上，//MD 平面PAC ，平面PAB ⊥平面PMC ，CPM ∆为锐角三角形，求证：
（1）D 是PB 的中点； （2）平面ABC ⊥平面PMC .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】
（1）推导出//MD PA ，由M 是AB 的中点，能证明D 是BP 有中点．
（2）作CN PM ⊥于点N ，推导出CN ⊥平面PAB ，从而CN AB ⊥，由AB PC ⊥，能证明AB ⊥平面
PMC ，由此能证明平面ABC ⊥平面PMC ．
【详解】
证明：（1）在三棱锥P ABC -中，
//MD Q 平面PAC ，平面PAB ⋂平面PAC PA =，
MD ⊂平面PAB ，
//MD PA ∴，
在PAB ∆中，M Q 是AB 的中点，D ∴是BP 有中点． （2）在三棱锥P ABC -中，CPM ∆Q 是锐角三角形，
∴在CPM ∆中，可作CN PM ⊥于点N ，
Q 平面PAB ⊥平面PMC ，平面PAB ⋂平面PMC PM =，
CN ⊂平面PMC ，CN ∴⊥平面PAB ，
AB ⊂Q 平面PAB ，CN AB ∴⊥，
AB PC ⊥Q ，CN PC C =I ，
AB ∴⊥平面PMC ，
AB ⊂Q 平面CAB ，∴平面ABC ⊥平面PMC ．
【点睛】
本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
23．已知x ∈R ，设(2cos ,sin cos )m x x x =+v ，3,sin cos )n x x x =-v ，记函数()f x m n =⋅u v v .
（1）求函数()f x 取最小值时x 的取值范围；
（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2f C =，3c =，求△ABC 的面积S 的
最大值.
【答案】（1）|,6x x k k Z π
π⎧
⎫=-∈⎨⎬⎩
⎭；（2）
334
【解析】 【分析】
(1)先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f （x ）=2sin 26x π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先求出C 的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出
3ab ≤，根据三角形的面积公式即可求出答案.
【详解】
（1）(
)
22cos sin cos 2cos 22sin 26f x m n x x x x x x x π⎛⎫=⋅=+-=-=- ⎪⎝
⎭u r r . 令2262x k ππ
-
=π-，k ∈Z ，即()6x k k Z ππ=-∈时，sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭，()f x 取最小值，
所以，所求x 的取值集合是,6x x k k Z π
π⎧⎫=-
∈⎨⎬⎩
⎭
； （2）由()2f C =，得sin 216C π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭， 因为0C π<<，所以1126
66
C π
ππ
-
<-
<，所以26
2
C π
π
-
=
，3
C π
=
.
在ABC ∆中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，
得223a b ab ab =+-≥，即3ab ≤，当且仅当a b =时取等号， 所以ABC ∆
的面积11sin 322S ab C =
≤⨯=
因此ABC ∆的面积S
的最大值为4
. 【点睛】
本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式，两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题.。