高等数学教学课件7.2

证: 必要性. 设 a∥b , 取 ＝± b 当b与a
a
正向、反向时分别取正、负号,
且
b
a a
a故b • ຫໍສະໝຸດ .a b再证数 的惟一性 . 设又有 b＝ a , 则 ()a0
而a 0,故 0,即.
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充分性. 已知 b＝ a , 则
当0时, a , b 同向 当0时, a , b 反向
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 : 0时，a与a同向 ，aa; 0时, a与a反向 ，aa;
0时, a0.
1aa
总之:
aa
1aa;
运算律 : 结合律 (a) (a)a
分配律 ()aaa
零向量: 模为 0 的向量, 记作 0， 或0. 其无确定的方向 负向量: 模相等, 且方向相反的向量, 记作 ab.
单位向量: 模为 1 的向量. 与 a 同向的单位向量记作
a 0.
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向量的加法
平行四边形法则: b ab
a
三角形法则: ab b
a
向量的减法
bab(a) 特别 ba当 时 ,有
所以点 B (–2, –1, –3) .
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(3) 求xOy 面上点 C 的坐标，使A C ∥ a 解: (3) 设点 C (x, y, 0)，则 A C (x 6 ,y 3 , 3 )
因为 AC//a. 所以 x6y33. 4 1 3
解得 x = 2, y = –2，因此点 C (2, –2, 0).
第二节
第七章
向量及其线性运算,
向量的坐标
一、向量的基本运算 二、向量的坐标, 向量运算的坐标表示
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一、向量的基本运算
M2 M1
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
通常用有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a 表示.
向量的模 : 向量的大小, 记作 M 1M 2,或 a , 或 a . 向量的相等: 模相等, 且方向相同的向量, 记作 a＝b .
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a b
ba
aaa(a)0
a
ba
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向量的加法与实数加法一样满足以下性质：
(1) (2)
交换律 a b b a 结合律 (ab)c
a(bc)
(ab)c a(bc)
c bc
ab b
(3) a0a;
a
(4 ) a( a)0 .
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数乘向量
k O
j
O P x i yj z k记(x,y,z)
Ai x
称向量O P 的坐标为( x, y, z).
显然
P
B y
N
i(1,0,0) j(0,1,0) k(0,0,1)
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利用坐标作向量的线性运算
设 a(a1,a2,a3), b(b1,b2,b3), 为实数，则
ab( a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 )
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M aB
二、向量的坐标 向量运算的坐标表示
在空间直角坐标系下, 设向量 O P 的终点 P(x,y,z),
以 称i,O jP,k 为分 点 P的别 位x 置,向y,表 量z轴 . 示 上的 , z单位
C
O P O N N P O O A O BC
OA xi, OB yj, OCzk
a (a1,a2,a3)
非零平行向量对应坐标成比例:
当 a,b0时
b1 a1
b a
ba,0 b2 a2
b1 b2 b 3 a1 a2 a 3
b3 a3
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设两点P1(x1,y1,z1) 和 P2(x2,y2,z2) , 则由减法定义 得 P 1P 2O P 2O P 1
但 O P 1(x 1 ,y 1 ,z1), O P 2(x2,y2,z2) 故
P 1 P 2 ( x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 )
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例3. 设 a = (4, –1, 3)，b = (5, 2, –2), 点 A (6, –3, 3)， 求: (1) 2a + 3b ; (2) 点 B 坐标, 使 AB2a
(3) xOy 面上点 C 坐标，使 A C ∥ a
解：(1) 2a + 3b = 2(4, –1, 3) + 3(5, 2, –2) = (8, –2, 6) + (15, 6, –6) = (23, 4, 0)
(2) O B O A A B O A2a = (6, –3, 3) – 2(4, –1, 3) = (6, –3,3) – (8, –2, 6) = (–2, –1, –3)
(ab)ab
若a0, 则 有 单 位 向 量 a 01 a . 因此 a a a0
a
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三角形法则可推广到多个向量相加 . s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
a2 a1
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例1：设 a , b 皆为非零向量，则
b / /a 充要条件是 ba ( 为惟一非零实数)
a∥b
规定零向量与任意向量平行也与任意向量垂直
例2. 设 M 为 ABCD 对角线的交点, ABa,ADb, 试 a 与 用 b 表 M 示 ,M A ,M B ,M C . D
解: abAC2MC2MA
D
C
baBD2MD2MB b
M A 1 2(ab) MB 1 2(ba)A M C 1 2(ab) M D 1 2(ba)