数学思想与解题发现

数学思想与解题发现
数学思想的重要意义在于指导解题者进行有序的科学的探索活动，避免盲目性，为顺利发现解题方法提供保障．下述为课堂上学生对一道立体几何命题的解题方法的探求过程，也许有助于提高对该问题的认识，现录如下：
命题：对边平方和相等的空间四边形的对角线互相垂直．
探索一：回归定义，所成角为 90，作角计算，如图（1）分别取DA CD AB 、、的中点G F E 、、，则有BD EG //，AC FG //，这样问题就演变为证明EFG ∆为∆Rt ．因为题设为数量关系，故可考虑通过计算EFG ∆的各边长来解决，记
BD AC DA CD BC AB 、、、、、的长分别为n m d c b a 、、、、、，则n EG 2
1=，m FG 2
1=．在A C D ∆和BCD ∆中分别求出中线AF 和BF 的长，再进一步在AFB ∆中求出中线EF 的长，比较GE FG EF 、、的关系即可解决问题．
图
探索二：遵循化归思想，该问题也可考虑构造平行四边形ENFG （如图（2）），通过证EF NG =来证明其为矩形．遵循条件集中的原则取各棱中点并顺次连结（如图（2））构造四边形NPGQ 和四边形EPFQ ，使已知量—四边形边条边，与求解对象—NG 和EF 建立联系．可证四边形NPGQ 和四边形EPFQ 均为平行四边形．
在平行四边形NPGQ 和EPFQ 中
22PQ EF +
2222QE FQ PF EP +++= ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2221212d b 22PQ NG +
2222PN GP QG NQ +++= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2221212c a ∵2222b d c a +=+
∴2222PQ NG PQ EF +=+
∴NG EF =
∴平行四边形ENFG 为矩形…
师评：该解法思维跨度大，实属不易，可见功底不凡．
探索三：遵循化归思想，该问题也可以转化为线面垂直来证明，作BD AH ⊥，连结CH （如图（3）），只要证明BD CH ⊥即可．
在ABD ∆中
an
d n a ABD 2cos 2
22-+=∠ ∴n
d n a ABD a BH 2cos 2
22-+=∠⋅= 在BCD ∆中，
bn
c n b CBH 2cos 2
22-+=∠ ∵2222b d c a +=+ ∴BC
BH nb d n a CBH =-+=∠2cos 222 ∴ 90=∠BHC
师评：思路很好，但该法未能回避繁琐的运算．
探索四：遵循特殊化思想，该问题如特殊化即为如下平面几何问题：对边平方和相等的四边形的对角线互相垂直（如图（4））．遵循反证思想，这一命题的反命题利用勾股定理很容易证得．受此启发，对于原命题，如图（5）作BD AA ⊥1、BD CC ⊥1，只要证明11C A 、重合，运用方程思想构造关于11C A 的方程，求出11C A 的值即可．
图 设m AA =1，n CC =1，x BA =1，y C A =11，z CD =1， 由已知得()()22222222n m y z y x z n x m +++++=+++ 化简得()0=++y z y x
∴0=y
相应的立体几何命题同样得证． 师评：漂亮．。