湖北省荆门市2014-2015学年下学期期末考试高一数学试题_Word版含答案

荆门市2014-2015学年度期末质量检测
高 一 数 学
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若集合{}
2x M y y -==，{
}
1N y y x ==-，则M N =I
A ．{}1y y >
B ．{}1y y ≥
C ．{}0y y >
D ．{}0y y ≥
2.如果b a >，则下列各式正确的是
A . x b x a lg lg ⋅>⋅
B . 22bx ax >
C . 22b a >
D . x x b a 22⋅>⋅
3.方程lg 82x x =-的根(,1)x k k ∈+，k Z ∈，则k = A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
4.若角α的终边过点(1,2)-，则cos2α的值为 A ．35
-
B ．
35
C ．5
D 5 5.设()x
f x a =，13
()g x x =，()log a h x x =，且a 满足2
log (1)0a a ->，那么当1x >时必有
A ．()()()h x g x f x <<
B ．()()()h x f x g x <<
C ．()()()f x g x h x <<
D ．()()()f x h x g x <<
6.一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 A ．108
B ．83
C ．75
D ．63
7.已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，且n β⊂，则下列叙述正确的是 A ．若m ∥n ,m α⊂,则α∥β B ．若α∥β,m α⊂,则m ∥n C ．若m ∥n ,m α⊥，则αβ⊥
D ．若α∥β,m n ⊥,则m α⊥
8.已知实数,x y 满足约束条件2,2,6x y x y +⎧⎪
⎨⎪⎩
≥≥≤，则24z x y =+的最大值为
A ．24
B ．20
C ．16
D ．12
9.已知正三棱柱（底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱）111ABC A B C -体积为
9
4
，底
面边长为3.若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 A ．
π6
B ．
π4
C ．
π3
D ．
π2
10.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为
A ．213+
B ．183+
C ．21
D ．18
11.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg /L 与时间t h 间的
关系为0kt
P P e -= ．若在前5个小时消除了10%的污染物，则污染物减少50%所需要的
时间约为( )小时．(已知lg2=0.3010，lg3=0.4771) A ．26
B ．33
C ．36
D ．42
12.已知数列{}n a 的通项公式为n c
a n n
=+
，若对任意n N +∈，都有3n a a ≥，则实数c 的取值范围是 A ．[]6,12
B ．()6,12
C ．[]5,12
D ．()5,12
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) 13.不等式2
20x x -<的解集为 ▲ .
14．若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = ▲ 时，数列{}n a 的前
n 项和最大.
15.已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为12,S S ，且
129
4
S S =,体积分别为12,V V ，若它们的侧面积相等，则
1
2
V V = ▲ ． 16. 在△ABC 中，π
6
A =
，D 是BC 边上一点（D 与B 、C 不重合），且22AB AD BD DC =+⋅uu u r uuu r uu u r uuu r ，则B ∠等于 ▲ ．
第10题图 111
111111111侧视图
俯视图正视图第9题图 D C 1
B 1A 1P
C B A
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知向量(3,1)a =r
，(1,3)b =r ，(1cos ,sin )c αα=--r ，α为锐角.
（Ⅰ）求向量a r
，b r 的夹角； （Ⅱ）若b c ⊥r r
，求α.
18.（本小题满分12分）
某体育赛事组委会为确保观众顺利进场，决定在体育场外临时围建一个矩形观众候场区,总面积为272m （如图所示）.要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m 的入口.现已知铁栏杆的租用费用为100元
m /.设该矩形区域的长为x （单位：m ）
，租用铁栏杆的总费用为y （单位：元） （Ⅰ）将y 表示为x 的函数；
（Ⅱ）试确定x ，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小费用.
19.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 满足:2
,n S n n n N +=+∈.等比数列{}n b 满足：
02
1
log 2=+n n a b .
(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；
(Ⅱ)设n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项的和n T .
20.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P ABC -中，PA 丄平面ABC ， AC 丄AB ，2PA AB ==，1AC =. (Ⅰ) 证明：PC 丄AB ；
（Ⅱ）求二面角A PC B --的正弦值； (Ⅲ) 求三棱锥P ABC -外接球的体积.
体育场外墙
x
入口
第18题图
第20题图
C
B
A
P
21.（本小题满分12分）
如图，在△ABC 中，90ABC ∠=o
,1AB BC =,P 为△ABC 内一点，90BPC ∠=o .
(Ⅰ)若1
2
PB =,求PA ； （Ⅱ）若150APB ∠=o ,求tan PBA ∠.
22.（本小题满分12分）
已知函数x x x f 2)(2+=． (Ⅰ)若],2[a x -∈，求)(x f 的值域；
（Ⅱ）若存在实数t ，当],1[m x ∈，()3f x t x +≤恒成立，求实数m 的取值范围．
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高一数学参考答案及评分说明
命题：钟祥一中 董若冰 胡雷 审题：市教研室 方延伟 龙泉中学 李学功
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
CDBAB DCBCA BA
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.102x x ⎧⎫<<
⎨⎬⎩⎭
14.8 15.32 16.5π
12
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.（本小题满分10分）
（Ⅰ）cos ,a b a b a b
⋅==r r r r r r …………………………………………………………3分 [],0,πa b ∈r r Q π
,6
a b ∴=r r ……………………………………………………………5分
（Ⅱ）由b c ⊥r r 知0b c ⋅=r r
，即1cos 0αα--= …………………………………7分
第21题图
P
C
B
A
π 2sin()16α∴-=， π1
sin()62
α∴-= ……………………………………………9分 又α为锐角，π
=3
α∴. …………………………………………………………………10分
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）依题意有：72
100(
22)y x x
=⨯+-，其中2x >.
……………………………………5分 （Ⅱ）由均值不等式可得：72144
100(22)100(2)y x x x x
=⨯+-=+-
2)2200-=≥ ……………………………………8分
当且仅当
144
x x
=即12x =时取“=” ………………………………10分 综上：当12x =时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2200元 …12分 19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）当1n =时，12S =即12a =，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，………………2分 又1221a ==⨯，2n a n ∴=…………………………………………………………………4分 由21log 02n n b a +=得1()2
n n b = …………………………………………………………6分 （Ⅱ）11()2
n n n n c a b n -==
0121111()2()3()222n T =⨯+⨯+⨯+…2111(1)()()22
n n n n --+-⨯+⨯ (1)
121111()2()222n T =⨯+⨯+ (111)
(1)()()22n n n n -+-⨯+⨯ ......（2）...8分 (1)(2)-得121111()()222n T =+++ (11)
1()1112()()()122212
n
n n n n n --+-⨯=
-⨯- …10分 11
4()(2)2
n n T n -∴=-+……………………………………………………………………12分
20.（本小题满分12分） （Ⅰ）
AB AC AB PAC AB PC AB PA ⊥⎫
⇒⊥⇒⊥⎬⊥⎭平面 …………………………………………4分
（Ⅱ）过A 作AM PC ⊥交PC 于点M ，连接BM ，则AMB ∠为所求角 …6分
M
C
A
P
在三角形AMB 中，sin AB AMB BM ∠=
=
8分 (Ⅲ)求三棱锥P ABC -外接球即为以,,AP AB AC 为棱的
长方体的外接球，长方体的对角线为球的直径…………10分
2
3
)2(912222222=
⇒==++=R R l 334439
ππ()π3322
V R =
=⨯= ……………………………………12分
21. （本小题满分12分）
（Ⅰ）由已知得，60PBC ∠=o ，所以30PBA ∠=o ；………………………………………2分
在△PBA 中,由余弦定理得2117
3cos30424
PA =+-=o ，……………………5分
故2
PA =
. ………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=， ………………………………………………8分
在△PBA 中, sin sin(30)
α
α=-o
，………………………………10分
4sin αα=；
所以tan 4α=
，即tan 4
PBA ∠= …………………………………………………12分 22. （本小题满分12分）
（Ⅰ）由题意得， 当21a -<-≤时，0)2()(max =-=f x f ，a a a f x f 2)()(2min +==， ∴此时)(x f 的值域为]0,2[2a a + …………………………………………………2分 当10a -<≤时，0)2()(max =-=f x f ，1)1()(min -=-=f x f ， ∴此时)(x f 的值域为]0,1[-
当0>a 时，a a x f 2)(2max +=，1)1()(min -=-=f x f ，
∴此时)(x f 的值域为]2,1[2a a +- ……………………………………………………4分 （Ⅱ）由()3f x t x +≤恒成立得22(21)20x t x t t +-++≤恒成立 令t t x t x x u 2)12()(22++-+=，],1[m x ∈，因为抛物线的开口向上，
所以)}(),1(max{)(max m u u x u = …………………………………………………6分
由()0u x ≤恒成立知(1)0
()0u u m ⎧⎨⎩≤≤，化简得22
402(1)0
t t m t m m -⎧⎨+++-⎩≤≤≤ 令m m t m t t g -+++=2
2
)1(2)(，则原题可转化为：存在]0,4[-∈t ，使得()0g t ≤ 即当]0,4[-∈t 时，min ()0g t ≤. …………………………………………………8分 1,()m g t >∴Q 的对称轴为12t m =--<-，
① 当14m --<-，即3m >时，min ()(4)g t g =-，
解得38m <≤
② 当412m ---<-≤，即13m <≤时，min ()(1)13g t g m m =--=--
解得13m <≤ …………………………………………………11分
综上，m 的取值范围为(1,8]. ………………………………………………12分
2
3,
168(1)0m m m m >⎧∴⎨-++-⎩≤13
130m m <⎧∴⎨
--⎩≤≤。