7 空间问题的基本理论my

u x , x
v y , y
w z , z
w v u w yz , zx , y z z x
若在
v u xy , x y
(7-8)
su 边界上给定了约束位移分量 u , v , w ，则
（7-9）
空间问题的位移边界条件为
§7-5 轴对称问题的基本方程
如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为 轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。轴对称问题 的弹性体的形状一般为圆柱体或半空间体。 采用柱坐标表示
( , , z )。
所有物理量仅为(ρ ,z)的函数，与φ 无关。 应力中只有 形变中只有 位移中只有
σ ,σ ,σ z , z , z 0; (a) , , z , z , z 0; u , uz , u 0。
（7-7）
Θ1 σ1 σ 2 σ 3 σ x σ y σ z , Θ2 σ1σ 2 σ 2 σ 3 σ 3σ1 σ y σ z （7-7） 2 2 2 σ z σ x σ x σ y τ yz τ zx τ xy , Θ3 σ1σ 2 σ 3 σ x σ y σ z 2 2 2 σ x τ yz σ y τ zx σ z τ xy 2τ yz τ zx τ xy .
(3) 三个主应力包含了此点的最大和最小正应力。 (4)一点存在三个应力不变量 Θ (5)最大和最小切应力为
σ1 σ 3 2
1
,Θ2 ,Θ3 .
，
σ
1
σ 2 σ3
作用于通过中间主应力、并且“平分最大和最小正应 力的夹角”的平面上。
§7-4 几何方程及物理方程
空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：
2 2 2
（7-6）
求解这个方程，如果能得出σ 的三个实根σ1、 σ2、 σ3 ，即为P点的三个主应力。
设主应力 σ1的主向为l1 , m1 , n1。代入式(a)中的前两 式，整理后得 (σ x σ1 )l1 yx m1 zx n1 0,
l (σ σ )m n 0。
(u) s u , (v) s v , (w) s w,
体积应变定义为
dv dv dv
(d x x d x)(d y y d y )(d z z d z ) d xd yd z d xd y d z
(1 x )(1 y )(1 z ) 1
FxBiblioteka 0得：px dS x ldS yx mdS zx ndS f x dV 0 dV px f x l x m yx n zx 移项，得 dS
由dV比dS高一阶，得
px l x m yx n zx
结合y向和z向的平衡条件，得
。然后由式(b)得出
l1 1 (
1 m1 2 n1 2 ) ( ) l1 l1
m1 及 n1 。
同理，可求出与主应力σ2和σ3相应的方向余弦。
若从式(c) 求出三个主应力 σ
,σ 2 ,σ 3 ，则式(c)也可 1
以用根式方程表示为，
(σ σ1 )(σ σ 2 )(σ σ 3 ) 0 (d )

xy
1 x [σ x (σ y σ z )], E 1 y [σ y (σ z σ x )], E 1 z [σ z (σ x σ y )], E （7-12）
2(1 ) xy。 E
⑵ 应力用应变表示，用于按应力求解方法： E x ( x ), 1 1 2
z
M
x
0,
M
y
0,
M
z
0.
(b)
列x 向的平衡方程
F
x
0, 得
简化，得
σ x yx zx fx 0 x y z
yx x ( x dx)dydz x dydz ( yx dy )dzdx x y zx yx dzdx ( zx dz )dxdy zx dxdy f x dxdydz 0 z
（7-1）
这就是空间问题的平衡微分方程。
以ab连线为矩轴， 列力矩的平衡方程
M
ab
0, 得
简化，得

yz
zy
yz dy dy ( yz dy )dxdz yz dxdz y 2 2 zy dz dz ( zy dz )dxdy zy dxdy 0 z 2 2
在空间问题中，应力、形变和位移等基 本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以 及按应力求解和按位移求解的方法，都是 与平面问题相似的。因此，许多问题可以 从平面问题推广得到。
§7-1 平衡微分方程
F 0, F F 0; (a)
x
y
0,
σ x σ
xy xz
σ y σ
yx yz
σ z σ
zx zy 0,
展开，即得求主应力的方程。
σ (σ x σ y σ z )σ 2 2 2 (σ y σ z σ z σ x σ xσ y yz zx xy )σ
3 2
(σ x σ y σ z σ x yz σ y zx σ z xy 2 yz zx xy ) 0
因 x，y，z轴互相垂直，所以x，y，z坐标具有对等性， 其方程也必然具有对等性。由其余两个平衡方程，可以 得出与上式相似的结论。
σ x yx zx fx 0 x y z σ y zy xy f y 0 y z x σ z xz yz fz 0 z x y
一 平衡微分方程 取图示微元体。由于轴对 称，在微元体的两个圆柱面上， 只有正应力和的轴向剪应力； 在两个水平面上只有正应力和 径向剪应力；在两个垂直面上 只有环向正应力，图示。 根据连续性假设，微元体 的正面相对负面其应力分量都 有微小增量。注意：此时环向 正应力的增量为零。 由径向和轴向平衡，并利 d d d 用 sin 2 2 , cos 2 1 ，经约简 并略去高阶微量，得：
p x l x m yx n zx p y m y n zy l xy p z n z l xz m yz
(7-2)
设斜面ABC上的正应力为 σ n ，
σ n lp x mpy npz
2nl zx 2lm xy (7 3)
lσ x m yx n zx lσ , mσ y n zy l xy mσ , nσ z l xz m yz nσ。 (a)
考虑方向余弦关系式,有
l m n 1
2 2 2
(b)
式(a) , (b)是求主应力及其方向余弦的方程。 将式(a)改写为 (σ x σ )l yx m zx n 0, xy l (σ y σ )m zy n 0, (c) xz l yz m (σ z σ )n 0。 上式是求解l , m , n的齐次代数方程。由于l , m , n不全 为0，所以其系数行列式必须为零，得
式(7-7)中的各式，左边是不随坐标选择而变的； 而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选 择无关。 所以，分别称
Θ1,Θ2 ,Θ3 为第一、二、三应力不变量，
这些不变量常用于塑性力学之中。
关于一点应力状态的结论：
(1)六个坐标面上的应力分量完全确定一点的应力状态。 只要六个坐标面上的应力分量确定了，则通过此点的 任何面上的应力也完全确定并可求出。 (2)一点存在着三个互相垂直的应力主面及主应力。
再次证明了切应力的互等性。
§7-2 物体内任一点的应力状态
已知物体在任一点P的六个 直角坐标面上的应力分量，试 求经过P点的任一斜面上的应 力。
在P点附近取一个平面ABC，平 行于这一斜面，形成微四面体PABC， 当微四面体PABC无限减小趋于P点时， 平面ABC上的应力就成为该斜面上的 应力。
取出图示包含斜面的微四面体，斜面面积为dS, 则x面， y面和z面的面积分别为ldS,mdS,ndS。 由四面体的平衡条件
（7-5）
§7-3 主应力
最大与最小的应力
设经过任一点P的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上 的正应力称为在P点的一个主应力，该平面称为在P点的一个应力 主面，该斜面的法线方向称为在P点的一个应力主向。 应力主面上的应力在坐标轴上的投影为：
代入
px l , p y m , pz n p x , p y , p z , 得到

y
E ( y ), 1 1 2
E z ( z ), 1 1 2
（7-14）
E yz yz , (1 ) E zx zx , (1 ) E xy xy。 (1 )
由物理方程(7-12)可以导出
x y z
（7-10）
其中由于小变形假定，略去形变的二、三次幂。
u v w x y z
（7-11）
空间问题的物理方程可表示为两种形式： ⑴ 应变用应力表示，用于按位移求解方法：
2(1 ) yz yz , E 2(1 ) zx zx , E
Θ 是第一应力不变量，又称为体积应力。
E — 称为体积模量。 1 2
1 2 Θ, E
（7-13）
小结：
空间问题的应力，形变，位移等十五个未知函数， 它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3 个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边
界上满足3个应力或位移的边界条件。
设在 sσ 边界上，给定了面力分量 f x , f y , f z , 则可将微四面体移动到边界点上，并使斜面 与边界重合。这时，斜面应力分量 ( p x , p y , pz ) 成为面力分量 ( f x , f y , f z ) ，从而得出空间问 题的应力边界条件:
(lσ x m yx n zx ) s f x (mσ y n zy l xy ) s f y (nσ z l xz m yz ) s f z
将
l 2σ x m2σ y n 2σ z 2mn yz
由p 2 px2 p y2 pz2 σ n2 n2 ,
得， n2 px2 p y2 pz2 σ n2 (7 4)
从式(7-3)、(7-4)可见,当六个坐标 面上的应力分量确定之后，任一斜 面上的应力也就完全确定了。
因式(7-6) 和( d )是等价的方程，故 幂次系数应相等，从而得出
σ
的各
Θ1 σ1 σ 2 σ 3 σ x σ y σ z , Θ2 σ1σ 2 σ 2 σ 3 σ 3σ1 σ y σ z 2 2 2 σ z σ x σ x σ y τ yz τ zx τ xy , Θ3 σ1σ 2 σ 3 σ x σ y σ z 2 2 2 σ x τ yz σ y τ zx σ z τ xy 2τ yz τ zx τ xy .
xy 1 y 1 1 zy 1

将上两式除以l1得，
m1 n zx 1 (σ x σ1 ) 0, yx l1 l1 m1 n1 (σ y σ 1 ) zy xy 0。 l1 l1
由上两式解出 再求出
m1 n1 , l1 l1