根式和分数指数幂

指数与指数幂的运算
讲授新课
1.根式： (1)求： ①9的算术平方根，9的平方根； ②8的立方根，－8的立方根； ③什么叫做a的平方根？a的立方根？
(2)定义 一般地，若xn＝a (n＞1, n∈N*)，则
x叫做a的n次方根.
x2＝4, 则x=____2_ x4＝81,则x=____3_ x6＝64,则x=____2_
2、分数指数幂
(1) 整数指数幂的概念：
6 4 n7个a4 8
a n a__a___a_ a(n N ),
a0 ___1___ (a 0),
1
a n ___a_n__ (a 0, n N ).
a>0且m,n是整数
am an amn ; (am )n amn (an )m amn , (ab)n anbn
m
a n n am (a 0, m, n N *)
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m n
1
m
(a
0, m, n N * )
an
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数 指数幂无意义
例1、【1】用根式表示下列各式:(a＞0)
1
a2
3
a4
a
3 5
a
2 3
1
1
a
4 a3
5 a3
4ab0 4a
1 3
(2)(m4 n 8
)8
(4m2n)
1
(m 4
)8
(n
3 8
)8
(4m2n)
m4 4n4
(3)2 3 3 1.5 6 12
1
1
1
2 32 1.53 126
1
2 32
(
3
)
1 3
(22
1
3)6
2
1
1
1
2 1
1
2 32 33 2 3 2 6 36
11 21
3 a2
【2】用分数指数幂表示下列各式：
3
4 (a b)3 (a b 0) (a b)4
m3
3 (m n)2
2
(m n)3
m
(m n)4 (m n) p6 q5 ( p 0)
(m n)2
5
p3 q2
4.整数指数幂的运算性质
(1) am an amn (m, n Z)
(2) (am )n amn (m, n Z) (3) (ab)n anbn (m, n Z)
② 当n为任意正整数时，( n a )n a .
小结
1.正数的正分数指数幂
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
2.正数的负分数指数幂
m
an
1
(a 0, m, n N*,且n 1)
m
an
3. 0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0。
0的负分数指数幂无意义。
4.有理数指数幂的运算性质 （1）ar•as=ar+s(a>0,r,s∈Q) （2）(ar)s=ar•s(a>0,r,s∈Q) （3）(a•b)r=ar•br(a>0,b>0,r∈Q)
111
2 3 6 32 3 6
23 6
(3)2 3 3 1.5 6 12 6 26 33 1.52 12 6 26 33 32 22 22 3 6 26 36 23 6
(4)常用公式
① 当n为奇数时，n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a a(a
0) 0).
作业：
课本P59习题第2、4题。
x3＝27, 则x=__3___
x5＝32, 则x=__2___ x3＝-8, 则x=__-_2__ x5＝-243,则x=__-_3__
正数的偶次方根有两个，记作： x n a .
正数的奇次方根为正，负数的奇次方根为负
Fra Baidu bibliotek
判断：
1、1的4次方根为1. 2、-27的5次方根是非负数。
x x
3、对于任意实数x, n x，(n 2, n N *) x
3、思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根 式是否也可以写成分数指数幂的形式 ？如：
2
3 a2 a 3 (a 0)
5
4 c5 c 4 (c 0)
1
b b2 (b 0)
m
即：n am a n (a 0, n N *, n 1)
• 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
]
3 4
(
2 3
)4(
3 4
)
2 3 27
3
8
例2：用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)：
1)a2 a, 3) a a
解:
2)a3 3 a2 ,
4)
a
1)a2
a
a2
1
a2
2 1
a2
5
a2;
11
31
3
3) a a (a a 2 )2 (a 2 )2 a 4 .
例3:计算下列各式（式中字母都是正数）
（2）观察以下式子，并总结出规律：a＞0
10
8
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 a8 (a4 )2 a4 a 2
12
10
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
•小结：当根式的被开方数的指数能被根指 数整除时，根式可以写成分数作为指数的 形式，（分数指数幂形式）
指数的概念从整数指数推广到了有理数指 数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂都 适用.
(1) aras ars (a 0, r, s Q);
(2) (ar )s ars (a 0, r, s Q);
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0,r Q).
【1】求下列各式的值.
当 a 0时 ，n a 0，表 示 算 术 根 ， 所 以 类 似4 16 2的 写 法 是 错 误 的.
思考：
a2 ( a)2 3 a3 (3 a )3
(-2)2，22 ( 3)2，( 2)2 3 23，3 (2)3 (3 (2) )3，(3 2)3
(4)常用公式
① 当n为奇数时，n a n a;
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
1 3
(2)(m4 n 8
)8
(4m2n)
(3)2 3 3 1.5 6 12
例3:计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
解：(1)(2a 3b 2 )(6a 2b 3 ) (3a 6b 6 )
211
115
[2 (6) (3)]a 3 2 6 b 2 3 6
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a a(a
0) 0).
② 当n为任意正整数时，( n a )n a .
例1 求下列各式的值：
(1) 3 (8)3 ;
(2) (10)2 ;
(3) 4 (3 )4 ; (4) (a b)2 (a b).
(5)7 (x y)7 (x y) (6)8 (x y)8 (x y)
总有意义。
4、 x8 22,则x 0
x
(3)性质 ①当n为偶数时：正数的n次方根有
两个(互为相反数)．
记作： x n a . （a>0,n为正偶数）
②当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
记作：x n a .
③负数没有偶次方根. ④0的任何次方根为0．n 0 0
注：
2
(1) 83 ,
(2)25
1 2
,
(3)
(
1 2
)5
,
(4)
(
16 81
)
3 4
.
解
:
(1)
8
2 3
(23
)
2 3
23
2 3
22
4;
(2)25
1 2
(52
)
1 2
52(
1 2
)
51
1 5
;
(3) ( 1 )5 ( 21)5 25 32;
2
. ( ) (4)
(
16 81
)
3 4
[(
2 3
)4