特殊平行四边形(三)梯形

特殊平行四边形—梯形
梯形中的辅助线
在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题.
1.平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形.
例1.梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围.
2.平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中.
例2.在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF.
3.平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中.
例3.如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD为对角线，且AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积为________.
即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形.
例4.在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长.
即通过作对角线，使梯形转化为三角形.
例5.在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。

1.作一条高:从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形.
例6.在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形.
2.作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形.
例7.在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC.
1.已知梯形一腰中点，作梯形的中位线.
例8.在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD.
2.已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线.
例9.在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）EF=1/2（BC-AD）
例10.等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD所成的角∠AOB=60°，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点．求证：△PQR是等边三角形．
3.在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的.
例11.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 为CD 中点，连接AE 、BE ，
试说明：BE 平分∠ABC ，AE 平分∠BAD ．
梯形典型例题
1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ∥CB ，若CD=4，△ADE 周长为18，那么梯形ABCD 的周长为（
） A.22 B.26 C.38 D.30
2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝CD ，BC ＝AC ，∠BAD ＝110°，则∠D ＝( )
A.140°
B.120°
C.110°
D.100°
3.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC,对角线AC 、BD 相交于点O ，下列结论不一定正确的是（ ）
A.AC=BD
B.OB=OC
C.∠BCD=∠BDC
D.∠ABD=∠
ACD
4.已知：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD=3，BC=7，则梯形的面积是( )
A. 25
B. 50
D.4
5.四边形ABCD 是梯形，BD ＝AC 且BD ⊥AC ，若AB ＝2，CD ＝4，则S 梯形ABCD ＝_________.
A B C D
E
6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED 的周长等于（） A.17 B.18 C.19 D.20
7.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB =CD，∠ DBC＝45° ,翻折梯形使点B重合于点 D，折痕分别交边 AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8，求BE的长．
8.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－4/3 x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P从点O出发沿OA 以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当点P、Q运动时，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB －BO－OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止，设点P、Q运动的时间为t秒(t>0)．
(1)点Q的坐标是( ， )（用含t的代数式表示）；
(2)当点E在BO上时，四边形QBED能否为直角梯形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由；
(3)当t为何值时，直线DE经过点O．
9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，连接EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）点G是BC边上的一个动点，当点G在什么位置时，四边形DEGF是矩形？并求出这个矩形的周长；（3）在BC边上能否找到另外一点G′,使四边形DE G′F的周长与（2）中矩形DEGF的周长相等？
请简述你的理由.
B A
F
C
D
E
10.已知：在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的2/7；
（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围.
11.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．
（1）求点B的坐标；
（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：∠ABQ=90°；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12.若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．
求证：BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．。