《单峰函数》课件
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教学目标
1. 知识与技能
(1)结合例子说明并掌握单峰 函数、单因素问题、目标函数等 概念.
(2)能够写出单因素问题下某 区间内的目标函数.
(3)分析并掌握单峰函数中最 佳点与好点和差点之间的关系.
2.过程与方法
(1)通过实例引入单峰函数，通过分析实 例，指导学生观察分析，总结归纳.
(2)学生积极思考认真比较，理解单峰函 数的定义，学会在单因素问题的条件下写出 目标函数.
最佳点、好点、差点
若目标函数为单峰函数，则最佳点与好 点必在差点的同侧.
存优范围
我们以差点为分界点，把因素分为分 成两部分，并称好点所在的部分为存优范 围.
课堂练习
1.单峰函数的要点是什么？
答：(1)f(x)在[a,b]上只有唯一的 最大（小）值点C;
(2)f(x)在[a,C]上递增（减）， 在[C，b]上递减（增）.
总结
因此，我们把只考虑试验过程中 的一个因素对试验结果的影响的问题 称为单因素问题.
在单因素问题中，试验结果可以表示为一个 一元函数f(x)(不一定要写出真正表达式)，自变 量x就是要考虑的影响试验结果的因素，定义域 就是试验中因素x的变化范围[a,b](或在不考虑 端点时写成(a,b))，这个函数就称为目标函数.
下面我们就针对单峰函数f(x)的上凸 情形进行证明：
设点c为[a,b]上的单峰函数f(x)的最大值 点，m,n在[a,b]的区间范围内，且f(m)>f(n). 因为f(x)在[a,c]递增，在[c,b]递减.
(1) 设n属于[a,c]， 因为m,n属于[a,b]且f(m)>f(n)， 所以m不属于[a,n],即m属于[n,b]. 因为n属于[a,c]， 所以c属于[n,b]. 因此，点m,c在点n的右侧.
教学重难点
重点
(1) 理解并掌握单峰函数的定义. (2) 能够写出在单因素问题条件下 某区间的目标函数. (3) 掌握单峰函数中最佳点与好点 和差点之间的关系.
观察
难点
(1)能够在实际问题中分析并且判断 单峰函数.
(2)能够举例说明生活中遇到的具有 单峰性质的现象.
想一想
根据前面的 介绍，究竟什么 是单峰函数呢？
2.判断下列函数在区间[-2,2]上那 些是单峰函数：
（１） y=x2+5x-6; （２） y=x2-4; （３） y=x2-6x-8; （４） y=x2+4x-12;
答:(2)、(4)
讨论
大家谈 在现实生活中遇到过哪些具有单峰性
质的现象呢？
单峰函数
(1)f(x)在[a,b]上只有唯一的 最大（小）值点C;
(2)f(x)在[a,C]上递增（减）， 在[C，b]上递减（增）.
单因素问题
我们把只考虑试验过程中的一个因素对 试验结果的影响的问题称为单因素问题.
好点与差点
设x1与x2是因素范围[a,b]内的任意两 个试点，c点为最佳点，并把两个试点中 效果较好的点称为好点，效果较差的点称 为差点.
讨论
既然同学们已经了解了单峰 函数的定义，那就讨论一下那些 现象具有单峰性质呢？
单因素问题
在上述炮弹发射的试验中，我们把影
响炮弹射程的物理量均称为因素.例如：发 射角、初速度、空气阻力等.
但由于全面考虑试验中各种因素往往 非常困难，我们经常忽略某些影响较小的 因素，而把注意力集中在某个因素上面.例 如：在炮弹发射的试验中，我们只考虑发 射角这个因素，而忽略其他因素的影响.
在分析完单因素问题
之后，接下来的任务就是 要选择某种方法来安排试 验点（简称试点），我们 要通过试验找出最佳点， 使试验的结果（目标）最 好.点.
究竟什么是 好点？什么又 是差点呢？
好点与差点
设x1与x2是因素范围[a,b]内的任 意两个试点，c点为最佳点，并把两个 试点中效果较好的点称为好点，效果 较差的点称为差点.
(3)学生在教师的指导下，通过实例，学 会分析最佳点与好点和差点之间的关系.
3.情感态度与价值观
(1)通过学生之间的讨论、交流与协作 探究，培养学生之间的团队合作精神.
(2)让学生在探究过程中体验解决问题 的成功喜悦，增进学生学习的情感.
(3)学生在自主探究式的学习中，增强 自己的创新能力，锻炼自己的思维分析能 力.
(2)设n属于[c,b]. 因为m,n属于[a,b]且f(m)>f(n), 所以m不属于[n,b],即m属于[a,n]. 因为n属于[c,b],所以c属于[a,n]. 因此，点m,n在点n的左侧. 由(1),(2)可知，点m,c始终在点n的同 侧.
以上则为对上述结论的证明，请同学们 加以理解……
课堂小结
y f(x)
y
f(x)
o a 好C 差 b x 点点
(1)
图 1-4
o a C 好差 b x
点点
(2)
由图可以发现：
若目标函数为单峰函数，则 最佳点与好点必在差点的同侧.
于是，如果我们以差点为分界点，把因素分为 分成两部分，并称好点所在的部分为存优范围.
想一想
对于上述结论，我们应该怎样证 明呢？
单峰函数的定义
单峰函数的定义中注意的两个要点：
(1)f(x)在[a，b]上只有唯一的 最大（小）值点C;
(2)f(x)在[a，C]上递增（减）， 在[C，b]上递减（增）.例如，图13中的ｆ(x)函数就是单峰函数.
y f(x)
o a x1 C x2 b x 图 1-3
“我们规定，区间[a,b]上的单调 （递增或递减）函数也是单峰函数.” 这 样的函数的最大（最小）值点是区间端 点.
1. 知识与技能
(1)结合例子说明并掌握单峰 函数、单因素问题、目标函数等 概念.
(2)能够写出单因素问题下某 区间内的目标函数.
(3)分析并掌握单峰函数中最 佳点与好点和差点之间的关系.
2.过程与方法
(1)通过实例引入单峰函数，通过分析实 例，指导学生观察分析，总结归纳.
(2)学生积极思考认真比较，理解单峰函 数的定义，学会在单因素问题的条件下写出 目标函数.
最佳点、好点、差点
若目标函数为单峰函数，则最佳点与好 点必在差点的同侧.
存优范围
我们以差点为分界点，把因素分为分 成两部分，并称好点所在的部分为存优范 围.
课堂练习
1.单峰函数的要点是什么？
答：(1)f(x)在[a,b]上只有唯一的 最大（小）值点C;
(2)f(x)在[a,C]上递增（减）， 在[C，b]上递减（增）.
总结
因此，我们把只考虑试验过程中 的一个因素对试验结果的影响的问题 称为单因素问题.
在单因素问题中，试验结果可以表示为一个 一元函数f(x)(不一定要写出真正表达式)，自变 量x就是要考虑的影响试验结果的因素，定义域 就是试验中因素x的变化范围[a,b](或在不考虑 端点时写成(a,b))，这个函数就称为目标函数.
下面我们就针对单峰函数f(x)的上凸 情形进行证明：
设点c为[a,b]上的单峰函数f(x)的最大值 点，m,n在[a,b]的区间范围内，且f(m)>f(n). 因为f(x)在[a,c]递增，在[c,b]递减.
(1) 设n属于[a,c]， 因为m,n属于[a,b]且f(m)>f(n)， 所以m不属于[a,n],即m属于[n,b]. 因为n属于[a,c]， 所以c属于[n,b]. 因此，点m,c在点n的右侧.
教学重难点
重点
(1) 理解并掌握单峰函数的定义. (2) 能够写出在单因素问题条件下 某区间的目标函数. (3) 掌握单峰函数中最佳点与好点 和差点之间的关系.
观察
难点
(1)能够在实际问题中分析并且判断 单峰函数.
(2)能够举例说明生活中遇到的具有 单峰性质的现象.
想一想
根据前面的 介绍，究竟什么 是单峰函数呢？
2.判断下列函数在区间[-2,2]上那 些是单峰函数：
（１） y=x2+5x-6; （２） y=x2-4; （３） y=x2-6x-8; （４） y=x2+4x-12;
答:(2)、(4)
讨论
大家谈 在现实生活中遇到过哪些具有单峰性
质的现象呢？
单峰函数
(1)f(x)在[a,b]上只有唯一的 最大（小）值点C;
(2)f(x)在[a,C]上递增（减）， 在[C，b]上递减（增）.
单因素问题
我们把只考虑试验过程中的一个因素对 试验结果的影响的问题称为单因素问题.
好点与差点
设x1与x2是因素范围[a,b]内的任意两 个试点，c点为最佳点，并把两个试点中 效果较好的点称为好点，效果较差的点称 为差点.
讨论
既然同学们已经了解了单峰 函数的定义，那就讨论一下那些 现象具有单峰性质呢？
单因素问题
在上述炮弹发射的试验中，我们把影
响炮弹射程的物理量均称为因素.例如：发 射角、初速度、空气阻力等.
但由于全面考虑试验中各种因素往往 非常困难，我们经常忽略某些影响较小的 因素，而把注意力集中在某个因素上面.例 如：在炮弹发射的试验中，我们只考虑发 射角这个因素，而忽略其他因素的影响.
在分析完单因素问题
之后，接下来的任务就是 要选择某种方法来安排试 验点（简称试点），我们 要通过试验找出最佳点， 使试验的结果（目标）最 好.点.
究竟什么是 好点？什么又 是差点呢？
好点与差点
设x1与x2是因素范围[a,b]内的任 意两个试点，c点为最佳点，并把两个 试点中效果较好的点称为好点，效果 较差的点称为差点.
(3)学生在教师的指导下，通过实例，学 会分析最佳点与好点和差点之间的关系.
3.情感态度与价值观
(1)通过学生之间的讨论、交流与协作 探究，培养学生之间的团队合作精神.
(2)让学生在探究过程中体验解决问题 的成功喜悦，增进学生学习的情感.
(3)学生在自主探究式的学习中，增强 自己的创新能力，锻炼自己的思维分析能 力.
(2)设n属于[c,b]. 因为m,n属于[a,b]且f(m)>f(n), 所以m不属于[n,b],即m属于[a,n]. 因为n属于[c,b],所以c属于[a,n]. 因此，点m,n在点n的左侧. 由(1),(2)可知，点m,c始终在点n的同 侧.
以上则为对上述结论的证明，请同学们 加以理解……
课堂小结
y f(x)
y
f(x)
o a 好C 差 b x 点点
(1)
图 1-4
o a C 好差 b x
点点
(2)
由图可以发现：
若目标函数为单峰函数，则 最佳点与好点必在差点的同侧.
于是，如果我们以差点为分界点，把因素分为 分成两部分，并称好点所在的部分为存优范围.
想一想
对于上述结论，我们应该怎样证 明呢？
单峰函数的定义
单峰函数的定义中注意的两个要点：
(1)f(x)在[a，b]上只有唯一的 最大（小）值点C;
(2)f(x)在[a，C]上递增（减）， 在[C，b]上递减（增）.例如，图13中的ｆ(x)函数就是单峰函数.
y f(x)
o a x1 C x2 b x 图 1-3
“我们规定，区间[a,b]上的单调 （递增或递减）函数也是单峰函数.” 这 样的函数的最大（最小）值点是区间端 点.