二章节群基本知识-精选

3）三阶群：E,A,B
讨论：AB=A ？不行， 否则 B=E 是一个两阶群了。
AB=B ？也不行，否则 A=E
唯一可能 AB=E ，即 A=B-1, B=A-1 （互逆）
又 A2=E ？不行，否则 A=A-1 =B
A2=A ？不行，否则 A=E 唯一可能 A2=B ； 同理 B2=A
∴三阶群唯一可能的乘法表为： G E A B
第二章 群的基本知识
群论是研究系统对称性的数学工具。 a
A
D
B
CБайду номын сангаас
§2.1 群的概念
2.1.1 群的定义
定义：在元素集合G（A, B, C, …）中，定义一种结合法则（群乘） （combination, composition），满足： （1）封闭性：A∈G，B∈G，则AB∈G （2）结合律：A, B, C∈G, 则(AB)C = A(BC) （3）集合中有单位元素E∈G，使得对于任何A∈G，恒有EA=A （4）对于任何的A∈G，均存在逆元A-1∈G，使得A-1A=E
例如：1,1,i,i构成一个群
可以证明：AE=A；AA-1=E 证明：1）（若EA=A，必有AE=A）
A1
∵若 A EB A1A EA1B
∴ E A 1 B A 1 A A 1 1 G A 1 1 A 1 B A 1 1 A 1 A
ⅰ）A，B，C中，一个自逆B，另两个互逆A，C。
乘法表示：
C4 E A B C
E A
E
A
A B
B C
C E

E
,
C4
,
C42 ,
C43
,
绕某固定轴转
2,,


2
,
3
2

B B C E A 1,i,1,i
C CE AB
生成元：A；{A, A2, A3, A4}
有限群（finite group），群元个数有限 群
无限群（infinite group），群元个数无限多 离散群（discrete group）可数 连续群（continuous group）不可数
定义：有限群中元素的数目称为群的阶（order）
定义：若群元素之间的结合满足交换律：ABBA，则该群称
真子群的条件:
1 存在单位元
2 任意元素的逆元素也在这一子集内
3 任意两元素的乘积也在这一子集内
1 2 3 n
P1 2 3 n
新位置
意为：1换成1，2换成2，…，n换成n
S n
：n个物体所有这种可能置换的集合称为置换群
P1 11,
2
2
nn ,
1 2 n EP0 1 2 n
这种群对基本粒子的交换对称性有用。
or
A 1
E 1AA E 1A 1 A E 2
证明：5） 且
E1 E
E1EE1 E E（逆元）
EE 1E1
（单位元）
∴ EE1
证明：6） (AB )1B1A1
( AB )1 ( AB )1 E ( AB )1 AEA 1 ( AB )1 A( BB 1 ) A1
2 2 2D
1 2
23
12

1
3


1

3

D·F 2 2 2 2 G 6 E A B C D F

3

1

3
1

E
E
ABCDF
2 2 2
2 A A E D F B C
1 0 0 1 E
生成元：A；{A, A2, A3}
EE AB
B；{B, B2, B3}
AABE BBE A
一阶、二阶、三阶群均是Abel群，也是循环群。
例： x310的三个根
1， 1 3i 组成三阶群（一般乘法） 2
例；对称操作
C
（即绕一固定轴转2
3
3
,
4
3
,2）也构成三阶群
4）四阶群: E,A,B,C
jk k j i,k i ik j
§2.2 子群（subgroup），陪集（coset）， 共厄元素（conjugate）和类（class）
2.2.1 子群
定义：若某群中的一部分元素的集合按原来的给合法则也构成
群，——子群。
任何群的单位元素构成子群 G的全体也构成G的子群
→非真子群（平庸子群）
∴ EE B B
证明：3） A1 1 A ∵ AA 1E，且 A11A1E
∴ A 1A A 1 1A 1 AA A 1 1
证明：4）群中的单位元素是唯一的。
假定有两个单位元E1 和E2，
由 E1E2 E2E1，得 E1 E2
例：S 3 ： E 1 12 23 3 ,A 1 21 23 3 ,B 1 32 21 3 C 1 13 22 3 ,D 1 31 22 3 ,F 1 23 21 3
2.1.4 群的乘法表
（右因子）
1 1 i i
GE ABC
GE A B C
EE ABC
（ 1 E 1 1 i i
左 因 子
1 i
A B
1 i
1 i
i 1
i 1
A B
A B
E C
C A
B E
） i C i i 1 1
CCBE A
约定：表中元素是竖元素乘横元素，即
G C

B BF EDC A C CDFE AB
D DC ABF E
F F BC AED
2.1.5 群的实例
1）一阶群：E，满足E1 E，单位元素
2）二阶群：E,A，A1 A
V2 E A EEA A AE
V2 1 1
1 1 1 如 1 1 1
所有二阶群的构造均一样 如宇称变换；全同粒子交换（费米） 生成元：A；{A, A2}

D DC
例：矩阵组
E10 10,A10 01,B2312
3 2, 1 2
1 3 1 3 1 3
C 2 2,D 2 2,F 2 2
23
1 2
23 1 2
[( AB )1 ( AB )] B 1 A1
B 1 A 1
试讨论以下集合是否构成群： 1 全体整数对于数的加法 2 全体实数对于数的乘法 3 模（绝对值）为1的复数全体对于数的乘法
4 nn么正矩阵的全体对于矩阵的乘法
5 三维空间中矢量的全体对于矢量的叉乘
2.1.2 群的种类
A B 1 21 23 3 1 32 21 3 1 31 22 3 D
注意：置换是先进行右边的 置换，再进行左边置换，即 从右到左。
∴置换不满足交换律， 是非Abel群
S3 E A B C D F E E ABCDF A AEDF BC B BF EDC A CCDFE AB DDC ABF E F F BC AED
——Klein四阶群
A 2B 2C 2E
B A A B C
（∵若 AB A或 AB B，则 AE或 BE）
同理 A C C B A ,B C C A B
V ——Abel群（四阶反演群）
5）转动群：所有旋转轴相交于一点的全部连续转动，构成
R3连续群
6）置换群（permutation group） 原来的位置
级和阶是两个概念，但有时值可相等，
如 1,1,i,i中 i,i 就是如此
r为满足此式的最小整数
定义：由群G的一个最小的群元的集合（如Ai, Aj, …）及乘法 关系就可以构造出一个群。这个最小的群元的集合中的元就 称为群G的生成元（generator） 。群乘关系称作生成关系。
定义：若有限群G中的全部元素可由某个Ai的乘幂得到（不一定 要求每一个元素，只要找到一个便可），则该群称为循环群 （cyclic group）。Ai ——该群的生成元
为Abel群，或对易群（commutation Group）。
2.1.3 有限群的性质
1．重排定理（rearrangement theorem）（它对无限群不成立）
设群 G A 1 ,A 2 , ,A k , ,A h 的阶为h.
若 Ai G，则（Ai为G中任意元素）
A i G A iA 1 ,A iA 2 , A iA k A iA h G G i A 1 A i A , A 2 A i , A k A i , A h A i G
C 4 ——Abel群
(四阶循环群）
C；{C, C2, C3, C4}
ⅱ）A, B, C均为自逆，A 1A ,B 1B ,C 1 C
（注意，不可能有两个自逆）
乘法表为： V E A B C
EE ABC A A E C B 生成元：A, B；{A, A2, B, AB}
证明：
BBC E A CC B AE
3 2
1 2
按矩阵乘法构成一个 群其乘法表为：
G6 E A B C D F E E ABCDF A AEDF BC B BF EDC A C CDFE AB D DC ABF E F F BC AED
A· B10 012312
3 1 3
∴ EA EB ， ∴ AB
证明：2）左逆=右逆，
假定： A1AE
A 1
设 A 1 A B A 1A 1 A A 1B
∴ A 1 A 1 B A 1 1 G A 1 1 A 1A 1 1 A 1 B
A
C
x
C( 3 , 1 ) 22
D F
CDFE AB DC ABF E F BC AED
8）四元数群（guatermon）－－8阶群
对复数：abi，有两个单位 1,i，—— 二元素。
定义四元素：qab ic jd k
且规定：12 1,i2 j2 k 2 1
12 1,ij ji k
共 3！个群元素
S3 E A B C D F E E ABCDF A AEDF BC B BF EDC A CCDFE AB DDC ABF E F F BC AED
例如：
C D 1 13 22 3 1 31 22 3 1 21 23 3 A
7）正三角形对称群 C 3
共有六个元素：恒等变换E，绕三角形中0点顺时针转2/3
和4/3角的变换D和F，三角形分别对三条中线的反射变换
A，B，C。
坐标系上取固定的三点A', B' 和C' ，变换前正三角形三顶 点A1, B1和C1分别与A', B'和C' 重合。经变换， A1, B1和C1 的 位置发生变化，但总是分别 和 A', B'和C' 中的某一点重合 。
例：群 1,1,i,i符合四条群公理。用其中任意一个元素
乘整个群，所得到的仍然为原来的群，只是次序有变。
2．群元素的级 有限群G，A∈G
A ,A A A 2 ,A 3 , ,A m , A r ,A r 1由于有限， ∴必有 Ar1A，即 ArAA ∴ Ar E，r称为该元素的级
B B( 3 , 1)
22
y
A'(0,1) C
x
C( 3 , 1 )
A
22
C3v的乘法表和S3一样
例如： A B D ,A C F等
可以证明： C3v是非Abel群
y
C 3v E A B C D F
B
A'(0,1)
E E ABCDF
C A AEDF BC
B BF EDC A
B( 3 , 1) 22
即：AiG和GAi中每一元素不能相同且又是G中的元素，而共 有h个群元，不能超过G的元素，则AiG就是G。
证明：(1) AiAk xG必出现
Ai G,AkG
AiAk xG
(2) x不能出现两次
若 AiAk xG，AiAr xG
得：A iA kA iA rA i 1A i 1A iA kA i 1A iA r ∴ Ak Ar