2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学案新人教B版选修2

3．2.2平面的法向量与平面的向量表示
学习目标 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会用平面的法向量证明平面与
平面平行、垂直.3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．
知识点一平面的法向量
思考平面的法向量有何作用？是否唯一？
梳理平面的法向量
已知平面α，如果________________________________，则向量n叫做平面α的法向量或说
向量n与平面α正交．
知识点二平面的向量表示
设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件____________的点M的集合构成的
图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．
知识点三两平面平行或垂直的判定及三垂线定理
1．两平面平行或垂直的判定方法
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则容易得到
α∥β或α与β重合⇔____________；
α⊥β⇔__________⇔__________.
2．三垂线定理
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
类型一求平面的法向量
例1如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
1
引申探究
若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．
反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
→→
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC.
(3)列方程组：由Error!列出方程组．
(4)解方程组：Error!
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
跟踪训练1如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形．平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形．∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立
恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量．
类型二利用空间向量证明平行问题
例2已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平
面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．
跟踪训练2如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD
1
为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥
2
平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．
类型三 三垂线定理及应用
例 3 在正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面 ABCD 的中心，E 为 CC 1的中点．求证：EO ⊥平面 A 1DB .
反思与感悟 利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直是一种常用方法，其基本环节有三个．
跟踪训练 3 如图，已知 PO ⊥平面 ABC ，且 O 为△ABC 的垂心，求证：AB ⊥PC .
1
1．若直线 l ∥α，且 l 的方向向量为(2，m ，1)，平面 α 的法向量为(1， ，2
)，则 m 为( ) 2
A ．－4
B ．－6
C ．－8
D ．8
2．若两个不同平面 α，β 的法向量分别为 u ＝(1，2，－1)，v ＝(－3，－6，3)，则( )
A ．α∥β
B ．α⊥β
C ．α，β 相交但不垂直
D ．以上均不正确 3．若 a ＝(1，2，3)是平面 γ 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 γ 的法向量的是( )
A．(0，1，2) B．(3，6，9)
C．(－1，－2，3) D．(3，6，8)
4．已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ
的值是()
10
A．－B．6
3
10
C．－6 D.
3
5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________．
1．用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．
2．利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果．
提醒：完成作业第三章 3.2.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、
平面与平面的位置关系．
平面的法向量不唯一，它们都是共线的．
梳理向量n的基线与平面α垂直
知识点二
→
AM·n＝0
知识点三
1．n1∥n2n1⊥n2n1·n2＝0
题型探究
例1解因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
→
所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，
3 1
则D(0，3，0)，E(0，，)，B(1，0，0)，C(1，3，0)，
2 2
→ 3
1 →
于是AE＝(0，，)，AC＝(1，3，0)．
2 2
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则Error!即Error!
所以Error!
令y＝－1，则x＝z＝ 3.
所以平面ACE的一个法向量为n＝( 3，－1，3)．引申探究
解如图所示，建立空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，C(1，3，0)，
→
所以PC＝(1，3，－1)即为直线PC的一个方向向量．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．
→
因为D(0，3，0)，所以PD＝(0，3，－1)．
由Error!即Error!
所以Error!令y＝1，则z＝ 3.
所以平面PCD的一个法向量为
n＝(0，1，3)．
跟踪训练1解因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，
又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB. 所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，
所以CF⊥AB.
以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示)．
3 由
题意得F(0，0，0)，P(0，0，)，
2
3
D(－1，，0)，
2
3 3 3
C(0，，0)，E(0，，)．
2 4 4
→ 3 → 3
所以FE＝(0，，)，FD＝(－1，，0)．
4 4 2
3
设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)．
则Error!即Error!
所以Error!令y＝2，则x＝3，z＝－2.
例2证明(1) 建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，
则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，
C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，→→→
所以FC1＝(0，2，1)，DA＝(2，0，0)，AE＝(0，2，1)．
→→
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥DA，n1⊥AE，
即Error!
得Error!
令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1，2)．
→
因为FC1·n1＝－2＋2＝0，
→
所以FC1⊥n1.
又因为FC1⊄平面ADE，
所以FC1∥平面ADE.
→
(2)因为C1B1＝(2，0，0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
→→
由n2⊥FC1，n2⊥C1B1，
得Error!
得Error!
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1，2)，因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
跟踪训练2解分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，∴P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，
→
设E(0，y，z)，则PE＝(0，y，z－1)，
→
PD＝(0，2，－1)，
→→
∵PE∥PD，
∴y(－1)－2(z－1)＝0，①
→
∵AD＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，
→
又CE＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB，
→→
∴CE⊥AD，∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝0.
1
∴y＝1，代入①得z＝，∴E是PD的中点，∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面
2
PAB.
例3证明方法一取F、G分别为DD1和AD的中点，
连接EF、FG、GO、AC.
由正方体的性质知FG为EO在平面ADD1A1内的射影．
又A1D⊥FG，
∴A1D⊥EO(三垂线定理)．
又AC⊥BD，CO为EO在平面ABCD内的射影，∴EO⊥BD(三垂线定理)．
又A1D∩BD＝D，∴EO⊥平面A1DB.
方法二连接AC、A1O、A1E，A1C1，设正方体棱长为2，
由方法一已证BD⊥OE，
又OE2＝( 2)2＋12＝3.
A1O2＝22＋( 2)2＝6，
A1E2＝(2 2)2＋12＝9.
∴A1E2＝OE2＋A1O2.
∴A1O⊥OE，又A1O∩BD＝O，
∴OE⊥平面A1DB.
跟踪训练3证明∵PO⊥平面ABC，
O为垂足，
∴PC在平面ABC内的射影为OC.
又O为△ABC的垂心，
∴AB⊥OC.
据三垂线定理得AB⊥PC.
当堂训练
1．C 2.A 3.B 4.B
5．(1，1，1)(答案不唯一)
9。