克里格方法内插生成高程曲面
克里格空间插值法
1.7 区域变量
在有趋势的情况下，假设数据是弱平稳的，并假设对于 所有的h，增量Z（x）-Z（x+h）的方差是有限的，而且只 是相隔h的函数。在该假设成立的情况下，定义半方差为：
其中，n是相隔距离为h的样点对的个数。将r（h）和h 作为纵、横坐标作图即可获得实验半方差函数图（图 7.10）。实验方差函数图不受数据的非平稳性影响，是空 间变异性研究中的一个有力工具，也是区域变量定量描述 的第一步。
1.8 方差变异函数
2）曲线从较低的方差值升高，到一定的间隔值时 到达基台值，这一间隔称为变程（range）。在理 论函数模型中，变程用a表示。 变程是半方差函数中最重要的参数，它描述 了该间隔内样点的空间相关特征。在变程内，样 点越接近，两点之间相似性、即空间上的相关性 越强。很明显，如果某点与已知点距离大于变程， 那么该点数据不能用于数据内插（或外推），因 为空间上的自相关性不复存在。 变程的高低取决于观测的尺度，说明了相互 作用所影响的范围。不同的属性，其变程值可以 变化很大。
空间插值分析是将离散点的测量数据转 换为连续的数据曲面的方法。其作用是便于 与其它空间现象的分布模式进行比较。 空间插值的理论假设是空间位置上越靠 近的点，越可能具有相似的特征值；而距离 越远的点，其特征值相似的可能性越小。
1.1空间插值法简述
空间插值法包括了空间内插和外推两种算法 1 内插算法是一种通过已知点的数据推 求同一区域其它未知点数据的计算方法； 2 空间外推算法则是通过已知区域的数 据，推求其它区域数据的方法
1.8 方差变异函数
图 典型试验方差函数和拟合曲线
1.9理论变异函数模型
1．线性模型(Linear model_)
克里格空间插值法
1.4邻域函数的统计函数及其意义
众数（majority)：邻域中出现频率最高的数值 最大值(max)：邻域中最大的数值 最小值(min)：邻域中最小的数值 中位数(median)：邻域中数值从小到大排列后位于中间的 数 平均值(mean)：邻域中数值的算术平均 频率最小数(minority)：邻域中出现频率最小的数值 范围(range)：邻域中数值的范围，最大值与最小值之差 标准差(std)：邻域中数值的标准差 和(sum)：邻域中数值的和 变异度(varity)：邻域中不同数值的个数
1.8 方差变异函数
3）理论方差函数曲线不穿过原点，而是存在一个最小的方差值。理论上讲，当间隔 h=0时，估值的方差应该为0，因为任何一点与自身之差的值为0。h趋近于0时，r（h） 轴上的正截距是残差的一个估计，该值称为块金（或基底，nugget）。在理论函数模型 中，用C0表示。 块金是在间隔距离小于采样间距时的测量误差或空间变异，或者是二者的和。测 量误差是由仪器的内在误差引起的，空间变异是自然现象在一定空间范围内的变化。 小于采样间距的微观尺度上空间变异是块金的一部分。 当r（h）值在所有的h值上都等于基台值时，实验半方差函数就表现为纯块金效应， 这通常由于短间距内点与点的变异很大而引起，表明所使用的采样间隔内完全没有空 间相关性，此时，可以认为各个样点是随机的，区域平均值就是各点的最佳估计值。 此时，只有增大采样间隔才能揭示出空间相关性。 块金与基台的比值（C0/(C+C0)，基底效应）可以用来说明空间的变异特征，该值 越大，说明空间变异更多的是随机成分引起的，否则，则是由特定的地理过程或多个 过程综合引起的。 空间相关性的强弱，可用C/(C+C0)表示，该值越高，表明空间相关性越强。 在实际的模型计算中，块金与基台两个参数是可以调整的，其取值取决于整体的 拟合效果。
克里格插值
克里格插值什么是克里格插值？距离权重倒数插值和样条法插值被归类为确定性的插值方法，因为它们是直接基于周围已知点的值进行计算或是用指定的数学公式来决定输出表面的平滑度的插值方法。
而第二个插值方法家族包括的是一些地统计学的插值方法（如克里格插值），这些方法基于一定的包括诸如自相关（已知点间的统计关系）之类的统计模型。
因此，这些方法不仅有能力生成一个预测表面，而且还可以给出预测结果的精度或确定性的度量。
克里格插值与距离权重倒数插值相似之处在于给已知的样本点赋权重来派生出未知点的预测值。
这两种内插方法的通用公式如下，表达为数据的权重总和。
其中， Z(Si)是已测得的第i个位置的值；λi是在第i个位置上测得值的未知的权重；S0是预测的位置；N 是已知点（已测得值的点）的数目。
在距离权重倒数插值中，权重λi仅取决于距预测位置的距离。
然而，在克里格插值中，权重不仅建立在已知点和预测点位置间的距离的基础上，而且还要依据已知点的位置和已知点的值的整体的空间分布和排列。
应用权重的空间排列，空间自相关必须量化。
因此，运用普通克里格插值（Ordinary Kriging），权重λi取决于已知点的拟合模型、距预测位置的距离和预测点周围的已知点间的空间关系。
利用克里格方法进行预测，必须完成以下两个任务：（1）揭示相关性规则。
（2）进行预测。
要完成这两项任务，克里格插值方法通过以下两个步骤完成：（1）生成变异函数和协方差函数，用于估算单元值间的统计相关（也叫空间自相关），而变异函数和协方差函数也取决于自相关模型（拟合模型）。
（2）预测未知点的值。
因为前面已经说过的两个明确的任务，因此要用克里格方法对数据进行两次运算：第一次是估算这些数据的空间自相关而第二次是做出预测。
变异估计（Variography）变异估计就是拟合一个数学模型或空间模型，象已知的结构分析。
在已测点结构的空间建模中，首先得出经验半变异函数的曲线图，计算如下：半变异函数（距离h）＝ 0.5*均值[ (在i 位置的值－在j 位置的值)2 ]用于计算被距离h分隔的每一点对相对应的位置。
克里金插值法的详细介绍。kriging。
克里金插值法的详细介绍。
kriging。
kriging 插值作为地统计学中的一种插值方法由南非采矿工程师D.G.Krige于1951年首次提出，是一种求最优、线形、无偏的空间内插方法。
在充分考虑观测资料之间的相互关系后，对每一个观测资料赋予一定的权重系数，加权平均得到估计值。
这里介绍普通Kriging插值方法的基本步骤：1.该方法中衡量各点之间空间相关程度的测度是半方差，其计算公式为：h为各点之间距离，n 是由h 分开的成对样本点的数量，z 是点的属性值。
2.在不同距离的半方差值都计算出来后，绘制半方差图，横轴代表距离，纵轴代表半方差。
半方差图中有三个参数nugget（表示距离为零时的半方差）,sill（表示基本达到恒定的半方差值）,range(表示一个值域范围，在该范围内半方差随距离增加，超过该范围，半方差值趋于恒定)。
利用做出的半方差图找出与之拟合的最好的理论变异函数模型（这是关键所在），可用于拟合的模型包括高斯模型、线性模型、球状模型、指数模型、圆形模型。
----球状模型，球面模型空间相关随距离的增长逐渐衰减，当距离大于球面半径后，空间相关消失。
3.用拟合的模型计算出三个参数。
例如球状模型中nugget为c0，range为a，sill为c。
4．利用拟合的模型估算未知点的属性值，方程为：，z0为估计值，zx是已知点的值，wx为权重，s是用来估算未知点的已知点的数目。
假如用三个点来估算，则有这样权重就可以求出，然后估算未知点。
（上述内容根据《地理信息系统导论》（Kang-tsung Chang著；陈健飞等译，科学出版社，2003）第十三章内容进行总结，除球状模型公式外其余公式皆来自此书）下面是本人自己编写的利用海洋中断面上观测站点的实测温度值来估算未观测处的温度的Fortran程序，利用距离未知点最近的五个观测点来估算未知点的温度，选用模型为球状模型。
do ii=1,nxif(tgrid(ii,1)==0.)thendo i=1,dsite(ii)!首先寻找距离最近的五个已知点位置do j=1,nhif(d(mm(ii),j).ne.0.or.j==1)thenhmie(j)=d(mm(ii),j)-dgrid(i)elsehmie(j)=9999hmid(j)=abs(hmie(j))end dodo j=1,nhdo k=j,nhif(hmid(j)<hmid(k))then< p="">elsem1=hmid(j)hmid(j)=hmid(k)hmid(k)=m1end ifend doend dodo j=1,5do k=1,nhif(abs(hmie(k))==hmid(j))thenlocat(j)=kend ifend doend dodo j=1,4do k=j+1,5if(locat(j)==locat(k))thendo i3=1,nhif(abs(hmie(i3))==abs(hmie(locat(j))).and.i3.ne.locat(j))then locat(j)=i3exitend ifenddoendifenddo！然后求各点间距离，并求半方差do j=1,5do k=1,5hij(j,k)=abs(d(mm(ii),locat(j))-d(mm(ii),locat(k)))/1000.end doend dodo j=1,5hio(j)=sqrt(hmid(j)**2+(abs(latgrid(ii)-lonlat(mm(ii),2))*llat)**2 $ +(abs(longrid(ii)-lonlat(mm(ii),1))*(1.112e5*$ cos(0.017*(latgrid(ii)+lonlat(mm(ii),2))/2)))**2)/1000.end dodo j=1,5do k=1,5if(hij(j,k).eq.0.)thenrleft(j,k)=0.elserleft(j,k)=sill*(1.5*hij(j,k)/range-0.5*hij(j,k)**3/range**3)end ifif(hio(j).eq.0.)thenrrig(1,j)=0.elserrig(1,j)=sill*(1.5*hio(j)/range-0.5*hio(j)**3/range**3)end ifend doend dorrig(1,6)=1.rleft(6,6)=0.rleft(6,j)=1.rleft(j,6)=1.end dotry=rleftcall brinv(rleft,nnn,lll,is,js)ty1=matmul(try,rleft)！求权重wq=matmul(rrig,rleft)!插值所有格点上t,sdo j=1,5tgrid(ii,i)=tgrid(ii,i)+wq(1,j)*t(mm(ii),locat(j)) sgrid(ii,i)=sgrid(ii,i)+wq(1,j)*s(mm(ii),locat(j)) end doenddoendifenddo</hmid(k))then<>。
克里格插值法的应用
克里格插值法的应用
克里格插值法[14]（Kriging）是用协方差函数和变异函数来确定高程变量随空间距离而变化的规律,以距离为自变量的变异函数,计算相邻高程值关系权值,在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要方法之一。
ArcGIS9.3中的克里格插值方法主要有以下几种类型：普通克里格（Ordinary Kriging）、简单克里格（Simple Kriging）、泛克里格（Universal Kriging）、指示克里格（Indicator Kriging）、概率克里格（Probability Kriging）、析取克里格（Disjunctive Kriging）和协同克里格（Co-Kriging）。
不同的插值方法的适用的条件不同，普通克里格法、简单克里格法和泛克里格法前提条件是样本数据符合正态分布。
当假设高程值的期望值是未知时，选用普通克里格；当假设高程值的期望值为某一已知常数时，选用简单克里格；当只需了解属性值是否超过某一阈值时，选用指示克里格；当数据存在主导趋势时，选用泛克里格；若不服从正态分布时，选用析取克里格；当同一事物的两种属性存在相关关系，且一种属性不易获取时，可选用协同克里格方法，借助另一属性实现该属性的空间内插。
使用克里格首先要进行数据分析的，看它是否满足条件，如果不满足要进行数据变换。
克里格插值法很复杂的,计算时间也慢，一般情况下用反距离权重和自然邻近差值(voronoi) 若数据，不服从正太分布？但是还想用克里金方法进行差值，该怎么调整数据？
探索性数据分析工具在，直方图，倒U型为正态分布。
克里格插值法
克里格插值法
克里格插值法是一种被广泛应用于地球科学、环境科学与农业生
态学的数据插值方法，它通过统计分析空间距离和变量之间的关系，
构建一个反映实际数据分布规律的模型，从而在未知点处进行插值预测。
克里格插值法的主要思想是，根据各个采样点之间的空间位置关
系计算权重系数，再以这些权重为基础来对目标点的数值进行预测。
克里格插值法的实现过程主要包括：确定插值模型类型、计算空间距
离与方向、计算各采样点的权重、预测目标点的数值等几个步骤。
克里格插值法有很多优点。
首先，它不需要对大量数据进行修改
和处理，直接通过计算得到预测值，因此能够极大地提高工作效率。
其次，它可以处理不均匀分布的数据，能够更精确地反映真实的地理
表面变化。
此外，克里格插值法的错误率相对较低，能够在一定程度
上减少数据缺失所造成的影响。
当然，克里格插值法也存在一些局限性。
首先，它在计算复杂度
上相对较高，需要进行大量的计算和参数调整，因此在数据量较大时，计算量可能会较为庞大。
其次，克里格插值法只能处理各项同性的数据，对于非同性数据来说可能会存在较大的误差。
总的来说，克里格插值法是一种极为有效、实用的数据插值方法，在地球科学、环境科学与农业生态学等领域得到了广泛的应用。
虽然
它在实际应用中仍存在一些局限性，但随着科技的发展和方法的不断
完善，相信克里格插值法一定会越来越发挥出它的巨大潜力，为人类
的生产和生活带来更多、更好的效益。
克里格插值
函数 和结构分析的结果表 明区域化 变量存 在空问相关性 ， 则可 以利用 克 里格方法进 行内捕或外推 ， 否则 ， 是不可行 的。 其实质是利用 区域化变
量 的原 始数 据和变异 函数 的结构特点 ，对 未知样点进行线性无偏 、 最优 估计 。无偏是指偏筹 的数学期望 为 ０，最优是指估计值与实际值之差 的 平方 和最小 。也就是说 ，克里格方法是根据未知样点有 限邻域 内的若 干 已知样本点数 据 ，在考虑了样本点 的形状 、 大小和空间方位 。与未知样
一
、
克里格插值来源
克里格捅 值方 法是 由南非采矿＿ Ｔ程师 克里格 （ Ｋ ｒ ｉ ｇ ｅ ）于 １ ９ ５ １ 年首 次提 出，故命 为 “ 克里格”法 。这个方法被广泛应用 于地下水 模拟 、 土壤制 图等领域 ， 成为 Ｇ Ｉ Ｓ软件地理统计捕值 的重要组 成部 分。这种方 法充分 吸收 ｒ地理统计的思想 ， 认 为任何 在空间连续性变化的属性是非 常不规则 的 ， 小能用简单的平滑数学 鬲数进行模 拟 ， 可以用随机表面给 予较恰 当的描述 。地理统计方法为空间插值提供 了一种 优化策略 ， 即在
并创建 了协 同克里格方法 。 随后他们义将不同变量之间的互相 关扩展 为
同一变量 的时序互相关 ， 义创立 ｒ时空克里格方法 。在这一时期 ， 克 里 格插值理论所利用 的信息就不仅仅局 限于 主变量本身 ， 而是扩展到 了辅 助变量 、主变虽 的时空信息 、尺度信息等 。 克里格捕值理论 的另一 巨大发展就是 以儒奈尔 （ Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ １ ） 为首 的非
不同的方法有其适用的条件 ， 当数据不服从正态分布时 ， 若服从对
数正态分布 ，则选用对数正态克里格 ；若不 服从简单分布时 ， 选用析取 克里格 ；当数据存在主导趋势时 ， 选用 泛克里格 ；当只需 了解属性值是 否超过某一阈值时 ， 选用指示克里格 ；当同一事 物的两种属性存在相关 关系 ， 且 一种属性不易获取时 ，可选用 协同克里格方 法 ， 借助 另一属性
mike模型插值方法
mike模型插值方法
Mike模型插值方法是一种地质建模方法，通常用于地质数据的插值和建模。
这种方法是基于地质学家Michael Hohn的研究成果而得名的。
Mike模型插值方法主要用于处理地质数据，例如岩性、孔隙度、渗透率等地质参数的空间变化。
这种方法的核心思想是利用已知的地质数据点来推断未知区域的地质特征，从而实现对整个区域的地质特征进行建模和预测。
Mike模型插值方法通常包括以下几个步骤：
1. 数据采集和准备，首先需要收集并准备地质数据，包括采样点的坐标、地质参数数值等信息。
2. 插值方法选择，根据数据的特点和空间分布情况，选择合适的插值方法，常见的插值方法包括克里金插值、反距离加权插值、样条插值等。
3. 插值参数设定，根据实际情况，设置插值方法所需的参数，如克里金插值中的变程、插值阶数等。
4. 插值计算，利用选定的插值方法和参数对地质数据进行插值计算，推断未知区域的地质特征。
5. 结果分析和验证，对插值结果进行分析和验证，评估插值模型的准确性和可靠性，可以通过交叉验证等方法进行验证。
Mike模型插值方法在地质建模领域得到了广泛的应用，可以帮助地质工作者更好地理解地下地质结构和特征，为资源勘探和开发提供重要的支持。
该方法的优点在于能够利用有限的地质数据对整个区域进行建模，但也需要注意插值结果的可靠性和局限性，尤其是在数据稀疏或不均匀分布的情况下，需要谨慎处理和分析插值结果。
总的来说，Mike模型插值方法是一种重要的地质建模方法，对于理解地质特征和预测地下地质结构具有重要意义。
地质曲面插值
地质曲面插值是一种用于处理地质数据的方法，它可以根据已知点的地质属性值，在二维或三维空间中推断出未知点的属性值。
这种插值方法常用于矿床勘探、地下水资源管理和地质建模等领域。
常见的地质曲面插值方法包括：
1. 三角网格插值（Triangulated Irregular Network, TIN）：将已知点构建成三角网格，然后通过计算每个三角形内部点的属性值来插值。
TIN方法适用于不规则分布的点云数据。
2. 克里金插值（Kriging）：基于统计学原理，克里金插值使用半变异函数来描述样本点之间的相关性，并根据此函数对未知点进行插值。
克里金插值方法适用于具有空间相关性的数据。
3. 逆距离加权插值（Inverse Distance Weighting, IDW）：该方法根据已知点与未知点之间的距离，按照一定的权重进行插值。
IDW插值方法简单易懂，但对数据分布密集程度敏感。
4. 最邻近插值（Nearest Neighbor Interpolation）：该方法通过找到离未知点最近的已知点，将其属性值赋给未知点。
最邻近插值方法适用于离散的数据。
选择适当的地质曲面插值方法取决于数据的性质、采样密度和空间相关性等因素。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的插值方法，并结合验证和调整来提高插值结果的准确性和可靠性。
1。
克里格法插值法
克里格法插值法克里格法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。
其特点是线性，无偏，方差小，适用于空间分析。
所以很适合地质学、气象学、地理学、制图学等。
相对于其他插值方法。
主要缺点：由于他要依次考虑（这也是克里格插值的一般顺序）计算影响范围，考虑各向异性否，选择变异函数模型，计算变异函数值，求解权重系数矩阵，拟合待估计点值，所以计算速度较慢。
而那些趋势面法，样条函数法等。
虽然较快，但是逼近程度和适用范围都大受限制。
克里格插值又分为：简单，普通，块，对数，指示性，泛，折取克里格插值等。
克里格插值的变异函数有球形模型，指数模型，高斯模型，纯块金模型，幂函数模型，迪维生模型等。
克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。
克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。
克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。
随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里格方法。
如与分形的结合，发展了分形克里格法；与三角函数的结合，发展了三角克里格法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里格法等等。
应用克里格法首先要明确三个重要的概念。
一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数。
它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。
该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。
它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。
kriging 方法
kriging 方法Kriging方法，又称克里格插值法，是一种常用于空间插值的统计方法。
它的主要目的是通过已知的数据点来估计未知位置的值，并给出估计值的可靠性信息。
在地理信息系统（GIS）和地质学领域，克里格插值法被广泛应用于栅格数据的插值和空间预测。
克里格插值法基于一个重要的假设，即空间上相近的点具有相似的属性值。
根据这个假设，插值方法通过计算距离权重来估计未知位置的属性值。
克里格插值法有多种变体，其中最常用的是简单克里格法和普通克里格法。
简单克里格法是克里格插值法的最简单形式，它假设空间上各点之间的距离权重与其距离成反比。
简单克里格法的估计结果仅依赖于最近邻的数据点，因此插值结果可能会出现较大的变化。
普通克里格法是一种改进的插值方法，它考虑了更多的数据点，并通过计算协方差来确定权重。
普通克里格法对距离较近的点赋予较大的权重，对距离较远的点赋予较小的权重。
通过对协方差进行插值，普通克里格法能够提供更准确的空间预测结果。
在使用克里格插值法之前，我们需要先进行数据的分析和预处理。
首先，我们要检查数据的空间分布情况，了解数据点之间的关系。
其次，我们要检查数据的属性值是否存在异常值或离群点。
如果存在异常值，需要进行数据清洗或者采用合适的处理方法。
最后，我们要选择合适的克里格插值方法和参数，以获得最佳的插值效果。
在进行克里格插值时，我们需要选择合适的变程参数和协方差函数。
变程参数决定了插值结果的平滑程度，较大的变程参数会产生较平滑的插值结果，而较小的变程参数则会产生较崎岖的插值结果。
协方差函数则用于计算不同距离下的权重，常用的协方差函数有指数型、高斯型和球型等。
除了简单克里格法和普通克里格法，还有一些改进的克里格插值方法，如克里格法的泛化版本——逆距离加权插值法（IDW）。
逆距离加权插值法通过计算数据点与插值位置之间的距离倒数来确定权重。
与克里格插值法相比，逆距离加权插值法对最近邻点赋予更高的权重，对较远的点赋予较小的权重。
ArcGIS中的地统计克里格插值法及其应用汇总
第7卷%第12期软件导刊2008年12月Software GuideVol.7No.12Dec. 2008ArcGIS 中的地统计克里格插值法及其应用王艳妮，谢金梅，郭祥（中国地质大学资源学院，湖北武汉430074）摘要：ArcGIS 软件的地统计分析扩展模块是一个功能强大、简单易用的数据分析与表面建模工具，应用领域广泛。
首先介绍了地质统计学的概念和克里格插值的各种方法，然后从地统计的角度出发，运用ArcGIS 软件中地统计分析模块，探讨了克里格插值法在土地平整工程中的应用。
关键词：GIS ；ArcGIS 地统计分析；克里格插值；土方量中图分类号：TP312文献标识码：A文章编号：1672-7800（2008）12-0036-030引言地质统计学是上个世纪60年代法国人Matheron 在前人的它是数学地质领域中一门发展迅速且有着广泛应用前景的新兴学科。
经过广大数学地质工作者、地质统计学工作者、矿山地质和采矿设计专家及其他地质统计学应用者和爱好者的不断努力，现在已经形成了一套独立的理论体系，成为数学地质中比较活跃的一个分支。
基础上总结并提出的，它又称为克里格方法（Kriging ）。
地质统计学中的克里格插值方法，由于其具有插值和估计的双重特点，在许多领域中都得到了广泛应用，已成为空间统计学上的一个重要分支，同时也成为许多专业、商业软件的重要组成部分。
近几十年来，地理信息系统（Geographic Information Sys -——空间tem ，简称GIS ）技术发展很快，作为其重要的组成部分—信息分析，也已经发展出一些重要的理论模型方法。
空间分析的应用领域含盖面极广，包含空间分析、空间数据分析、空间统计、地质统计学等。
在目前众多的GIS 软件中，虽有许多都涉足了空间分析领域，但其中有关地质统计学方面的内容却非常少。
ArcGIS8及以上版本软件中，将地质统计学单独作为一个分析扩展模块（即Geostatistical Analyst ，简称GA ）纳入到了整个1.2克里格插值基础克里格插值（Kriging ）又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一。
克里金方法内插生成高程曲面
克里金方法内插生成高程曲面一、实验背景与目的背景：现有某地区一系列高程采样点，需要通过内插生成该地区的高程层面，为后续研究提供合理的数据层面信息。
目的：通过熟练掌握并理解统计模块里的六中克里金插值方法，原理和过程，体会在具体应用中的适用性。
二、实验步骤(一)数据准备某地区的高程采样点，存放于chp10\EX1中。
(二)操作步骤1.1数据准备与模块启用1.2子集要素1.启用地理统计模块2.输入要素jyg，选择训练的子集要素和测试的子集要素的输出路径，选择训练子集要数所占总要数的比例：80（80%），其他默认。
单击ＯＫ。
3.训练要素（绿色）和测试要素（红色）分布图如下1.3正态分布检测1.按图找到直方图统计工具，查看数据是否符合正太分布。
注：统计源为上一步的训练数据，不是原始数据和测试数据。
2.QQ正态图工具由以上两个统计图，得到数据分布符合正态分布的假设，不需要进行数据变换。
1.4趋势分析检测按图找到趋势分析工具，下图为趋势分析的结果图，南北方向具有微弱的趋势（蓝线），而东西方向具有明显的东高西低的趋势（绿线），后续要进行趋势剔除操作。
1.5克里金插值与精度评价（泛克里金插值）1.按照下图找到地理统计导向工具2.按图选择插值方法Kring/CoKinging，右边的数据集为训练数据，字段为默认。
3.克里金的类型选择泛克里金，并进行趋势剔除（Order of trend removal 为First）4.趋势剔除示意图5.下图为半变异/协方差建模图，将Number of Lag 设为10（在设置分组时，尽量保持每组的样本数大于10）6.搜索领域图7.交叉验证结果图，显示了对模型的评价，发现Number of Lag 设为10的精度较好。
符合以下模型是最优的，标准平均值最接近于0，均方根最小，平均值误差最接近于均方根误差，平均标准误差最接近于1。
8.克里金插值方法参数报表1.6克里金插值结果1.7jyg图层的符号化1.找到iyg的属性，找符号化界面，参数如下2.符号化结果图1.8插值结果转栅格1.右键插值结果图，按图选择转栅格工具。
kriging插值
∧
−∞
xp( x)dx
(∑ zi )
i =1Βιβλιοθήκη NN(2)方差 方差 为随机变量ξ的离散性特征数。若数学期望 E[ξ-E(ξ)]2存在，则称它为ξ的方差，记为D(ξ)， 或Var(ξ)，或σξ2。 D(ξ)= E[ξ-E(ξ)]2 其简算公式为 D(ξ)=E(ξ2) –[E(ξ)]2 方差的平方根为标准差，记为σξ
第一节 基本原理
一、随机变量与随机函数 1. 随机变量
为一个实值变量，可根据概率分布取不同的值。 为一个实值变量，可根据概率分布取不同的值。 每次取值（观测）结果z为一个确定的数值，称为 每次取值（观测）结果 为一个确定的数值， 为一个确定的数值 随机变量Z的一个实现。 随机变量 的一个实现。
P
φ
离散型地质变量
（范畴变量） 范畴变量） 类型变量
构造深度 砂体厚度 有效厚度 孔隙度 渗透率 含油饱和度
砂体 相 流动单元 隔夹层 断层
随机变量的特征值： 随机变量的特征值：
(1)数学期望 数学期望 是随机变量ξ的整体代表性特征数。 是随机变量 的整体代表性特征数。 的整体代表性特征数 ①设离散型随机变量ξ的所有可能取值为 离散型随机变量 的所有可能取值为 x1，x2，…，其相应的概率为 ， P (ξ=xk)= pk, k=1,2,…. 则当级数 ∑ x k p k 绝对收敛时，称此级数的 k =1 和为ξ的数学期望，记为E(ξ)，或Eξ。 E(ξ) =
第二讲
克里金插值
克里金方法（ 克里金方法（Kriging）, 是以南非矿业 ） 工程师D.G.Krige (克里格 名字命名的一项 工程师 克里格)名字命名的一项 克里格 实用空间估计技术， 实用空间估计技术，是地质统计学 的重要 组成部分，也是地质统计学的核心。 组成部分，也是地质统计学的核心。
基于Kriging的地形高程插值
收稿日期:2006-12-25; 修订日期:2007-02-11 基金项目:国家自然科学基金项目(40671145);广东省科技攻关项目(2005B30801005);华南农业大学校长基金项目(2005K139) 作者简介:包世泰(1977-),男,博士,讲师,主要从事GIS 和地统计学应用研究。
3通讯作者E -mail :ymhu @基于Kriging 的地形高程插值包世泰,廖衍旋,胡月明3,赵寒冰(华南农业大学信息学院,广东广州510640)摘要:将地形高程作为区域化变量,根据普通Kriging 法由散乱的高程点进行地形高程插值,并采用Matlab 软件开发专门的程序,实现研究区高程插值计算与结果可视化分析。
以广州市南沙区10km 2范围内的200个高程点数据为例,分别运用球面模型、指数模型和高斯理论变差函数模型进行10m ×10m 格网插值,借助Matlab 可视化分析插值结果及其精度,表明采用指数模型效果最好。
关键词:普通Kriging 法;变差函数;地形插值;Matlab中图分类号:P208 文献标识码:A 文章编号:1672-0504(2007)03-0028-05 目前构建地形高程模型的主要途径是散乱点数据插值,通常采用三角插值和距离加权插值两种方法[1,2]。
Kriging (克立格)法是国际上公认的空间插值方法,也是地统计学的主要方法,它基于变量相关性和变异性,在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计[3],是一簇空间局部插值模型的总称。
它具有两个明显优势[4,5]:1)在数据网格化过程中考虑了被描述对象的空间相关性质,使估计结果更科学、更接近实际情况;2)给出了估计误差,使估值精度更明了。
本文根据普通Kriging 法设计了由已知高程点(散乱点)估计区域内其他点的高程的算法,并用Matlab 软件编程,实现地形高程精确插值与可视化。
1 普通Kriging 地形插值原理地形是一个三维场,其高程可表示为依赖于分布位置的单值函数Z =f (x ,y ),是典型的区域化变量,既有整体趋势又有局部特征,即同时具有结构性和随机性。
Kriging插值法
Kriging插值法克⾥⾦法是通过⼀组具有 z 值的分散点⽣成估计表⾯的⾼级地统计过程。
与插值⼯具集中的其他插值⽅法不同，选择⽤于⽣成输出表⾯的最佳估算⽅法之前，有效使⽤⼯具涉及 z 值表⽰的现象的空间⾏为的交互研究。
什么是克⾥⾦法？IDW（反距离加权法）和样条函数法插值⼯具被称为确定性插值⽅法，因为这些⽅法直接基于周围的测量值或确定⽣成表⾯的平滑度的指定数学公式。
第⼆类插值⽅法由地统计⽅法（如克⾥⾦法）组成，该⽅法基于包含⾃相关（即，测量点之间的统计关系）的统计模型。
因此，地统计⽅法不仅具有产⽣预测表⾯的功能，⽽且能够对预测的确定性或准确性提供某种度量。
克⾥⾦法假定采样点之间的距离或⽅向可以反映可⽤于说明表⾯变化的空间相关性。
克⾥⾦法⼯具可将数学函数与指定数量的点或指定半径内的所有点进⾏拟合以确定每个位置的输出值。
克⾥⾦法是⼀个多步过程；它包括数据的探索性统计分析、变异函数建模和创建表⾯，还包括研究⽅差表⾯。
当您了解数据中存在空间相关距离或⽅向偏差后，便会认为克⾥⾦法是最适合的⽅法。
该⽅法通常⽤在⼟壤科学和地质中。
克⾥⾦法公式由于克⾥⾦法可对周围的测量值进⾏加权以得出未测量位置的预测，因此它与反距离权重法类似。
这两种插值器的常⽤公式均由数据的加权总和组成：其中：Z(s i) = 第i个位置处的测量值λi = 第i个位置处的测量值的未知权重s0 = 预测位置N = 测量值数在反距离权重法中，权重λi仅取决于预测位置的距离。
但是，使⽤克⾥⾦⽅法时，权重不仅取决于测量点之间的距离、预测位置，还取决于基于测量点的整体空间排列。
要在权重中使⽤空间排列，必须量化空间⾃相关。
因此，在普通克⾥⾦法中，权重λi取决于测量点、预测位置的距离和预测位置周围的测量值之间空间关系的拟合模型。
以下部分将讨论如何使⽤常⽤克⾥⾦法公式创建预测表⾯地图和预测准确性地图。
使⽤克⾥⾦法创建预测表⾯地图要使⽤克⾥⾦法插值⽅法进⾏预测，有两个任务是必需的：找到依存规则。
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Graduated Symbols，在 Value 中选择 STATION，
将符号大小的变化范围 Symbol Size from…to…里 改为 4 到 16，如图 11 所示，单击应用，再单击确定。
层面属性设置
图 11
（17）将内插生成的层面与 jyg 叠加显示，如图 12 所示：
图 12
（18）右击 Universal Kriging 图层，然后点击 Save as a Layer File...命令将图层保存，最后点击菜 单 File 下的 Save 命令保存此地图文档，命名为 chp10.mxd。 （见图13）
图3
南北方向（蓝线）不存在趋势， 而东西方向上（绿线）有明显的 东高西低的趋势出现，因此需要 用一次曲面拟合，在后续剔出趋 势的操作中选择 First。
（8）单击 Geostatistical Analyst 模块的下拉箭头 点击 Geostatistical Wizard 命令。 （9）在弹出的对话框中，在 Dataset1 选择训练数据 jyg_training 及其属性 STATION，在 Validation 中 选择检验数据 jyg_test 及其属性 STATION，在 Methods 中选择Kriging 内插方法，最后点击 Next
按钮。 （见图 4）
Kriging方法
训练数据的选择
检验数据的选择
图4
（10）在弹出的对话框中，展开泛克里格Universal Kriging，在下面的选项中点击预测图（Prediction Map），在 DataSet1 选项卡中的 Transformation 里选择 None变换方式，在 Order of Trend 里选择 First，点击 Next 按钮（见图 5）
图 13
转换成栅格数 据的参数设置
精品课件！
精品课件！
6. 结论：
由图上可以看出，原始数据点层按高程值的大小
以符号大小来表示，预测表面也是按高程值的大 小以颜色深浅来表示。两个层面都表现出东高西
低的趋势，与前面趋势分析的结果也一致。在图
幅的中心位置，数据点的值相差不大，在预测表
面上也以同一颜色表示。而在图幅的右上角，两
Normal QQPlot 命令，生成如下结果（图 2）。由图
上可知，数据分布符合正态分布的假设，不需要进行
数据变换。
数据直方图
数据正态QQPlot图
图2
（7） 点击 Geostatistical Analyst 模块的下拉箭头 选择 Explore Data 并点击 Trend Analysis 命令，查 看数据是否存在趋势，如 图3 所示。
意的是，在设置分组数时，尽量保证每组中的样点对
数大于 10。最后点击 Next 按钮。
半变异/协方差 建模参数设置
图7
（13） 在弹出的 Searching Neighborhood 对话框 中，点击 Next 按钮。 （图 8）
图8
（14） 在弹出的 Cross Validation 对话框中，显示 了对模型的精度的评价，如图 9 所示。在对不同参数 得到模型的比较中，可参考 Prediction Error 中的几 个指标。符合以下标准的模型是最优的：标准平均值
生成2个数据子集
图1
（6）单击选中 jyg_training 层面，随后点击
Geostatistical Analyst模块的下拉箭头选择 Explore
Data 并点击 Histogram 命令，或点击Geostatistical
Analyst 模块的下拉箭头选择 Explore Data 并点击
（Mean Standardized）最接近于 0，均方根预测误
差（Root-Mean-Square）最小，平均标准误 （Average Mean Error）最接近于均方根预测误差 （Root-Mean-Square），标准均方根预测误差 （Root-Mean-Square Standardized）最接近于 1。
侧的数据点比中间的数据点高程值略大，在预测 表面上也表现出这一特点。通过以上分析可以看
出，对于此例，利用泛克里格方法进行内插是适
合的。
内插方法的选择
图5
（11） 在弹出的 Detrending 对话框中，点击 Next 按钮。（如图 6）
图6
剔除趋势示意图
（12） 在弹出的Semivariogram/Covariance
Modeling 对话框中（图 7），先按照默认参数进行 操作，在得到对模型精度评定的结果后，发现结果误 差太大，返回更改该对话框中的参数，经比较发现， 将分组数 Number of 设为 10 得到的结果较好。需注
最后点击 Next 按钮。
交叉验证结果
图9
（15 ） 在弹出的 Validation 对话框中，点击 Finish 泛克里格内插生成预测图 按钮。泛克立格法内插结果如图 10所示。
图 10
（16） 双击 jyg 层面，在弹出的属性对话框中，选
择 Symbology 选项卡，展开 Quantities列表，选中
5.
操作步骤：
（1） 在 ArcMap 中加载 jyg.shp。 （2） 启动地理统计模块 Geostatistical Analyst。 （3） 单击 Geostatistical Analyst 模块的下拉箭 头点击 Create Subsets 命令。 （4） 在弹出的对话框中，Input 选项中选择需要 生成子集的数据jyg，点击 Next 按钮。 （5） 在弹出的对话框中，通过滑块设置训练子集 与检验子集的比例，在 Output Personal Geodatabase 中设置子集的输出路径及名称，点 击完成按钮（图1）。
1. 背景： 现有某地区一系列高程采样点，需要通过 内插生成该地区的高程层面，为后续研究提供合理的 数据层面信息。 2. 目的：通过练习熟练掌握并理解每种克里格方法 的原理及实现过程，体会他们在具体应用中的适应性。 3. 要求：根据数据特征，至少选用一种克里格方法 内插生成高程表面，并分析对于此例，该方法的的适 用性。（有能力的同学可选用多种克里格方法进行插 值，并比较对于此例不同方法的优劣） 4. 数据：某地区的高程采样点（jyg.shp）；数据存 放于Chp10\ex1。