高中物理万有引力与航天技巧和方法完整版及练习题

高中物理万有引力与航天技巧和方法完整版及练习题
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q ，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R ，万有引力常量为G ，求：
(1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的质量。

【答案】（1）02tan v g t θ=
（
2）202tan v R Gt
θ
【解析】 【分析】
平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度；根据万有引力等于重力求出星球的质量； 【详解】
(1)根据平抛运动知识可得
2
00
122gt y gt tan x v t v α===
解得02v tan g t
α
=
(2)根据万有引力等于重力，则有
2
GMm
mg R = 解得2202v R tan gR M G Gt
α
==
2．如图所示，假设某星球表面上有一倾角为θ＝37°的固定斜面，一质量为m ＝2.0 kg 的小物块从斜面底端以速度9 m/s 沿斜面向上运动，小物块运动1.5 s 时速度恰好为零.已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，该星球半径为R ＝1.2×103km.试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)该星球表面上的重力加速度g 的大小. (2)该星球的第一宇宙速度.
【答案】（1）g=7.5m/s 2 （2）3×103m/s 【解析】
【分析】 【详解】
（1）小物块沿斜面向上运动过程00v at =- 解得：26m/s a =
又有：sin cos mg mg ma θμθ+= 解得：2
7.5m/s g =
（2）设星球的第一宇宙速度为v ，根据万有引力等于重力，重力提供向心力，则有：
2
mv mg R
= 3310m/s v gR ==⨯
3．如图所示是一种测量重力加速度g 的装置。

在某星球上，将真空长直管沿竖直方向放置，管内小球以某一初速度自O 点竖直上抛，经t 时间上升到最高点，OP 间的距离为h ，已知引力常量为G ，星球的半径为R ；求：
（1）该星球表面的重力加速度g ； （2）该星球的质量M ； （3）该星球的第一宇宙速度v 1。

【答案】（1）22h
g t
= （2）222hR Gt （3）2hR t
【解析】（1）由竖直上抛运动规律得：t 上=t 下=t
由自由落体运动规律： 212
h gt = 2
2h g t =
（2）在地表附近： 2
Mm
G
mg R = 22
2
2gR hR M G Gt
== （3）由万有引力提供卫星圆周运动向心力得： 212v Mm G m R R
=
12GM
hR
v R t
=
= 点睛：本题借助于竖直上抛求解重力加速度，并利用地球表面的重力与万有引力的关系求星球的质量。

4．我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度．以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：
（1）若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动．试求出月球绕地球运动的轨道半径． （2）若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h 高处以速度v 0水平抛出一个小球，小球落回到月球表面的水平距离为s ．已知月球半径为R 月，万有引力常量为G ．试求出月球的质量M 月． 【答案】(1)223
2
4gR T r π
= (2)
22022=R h M Gs 月月 【解析】
本题考查天体运动，万有引力公式的应用，根据自由落体求出月球表面重力加速度再由黄金代换式求解
5．2019年4月，人类史上首张黑洞照片问世，如图，黑洞是一种密度极大的星球。

从黑洞出发的光子，在黑洞引力的作用下，都将被黑洞吸引回 去，使光子不能到达地球，地球上观察不到这种星体，因此把这种星球称为黑洞。

假设有一光子（其质量m 未知）恰好沿黑洞表面做周期为T 的匀速圆周运动，求：
(1)若已知此光子速度为v ，则此黑洞的半径R 为多少？ (2)此黑洞的平均密度ρ为多少？（万有引力常量为G ） 【答案】（1）R =2vT π
（2）23GT π
ρ=
【解析】 【详解】
(1)此光子速度为v ，则2vT R π= 此黑洞的半径：2vT
R π
=
(2)根据密度公式得：
343
M M V R ρπ=
=
根据万有引力提供向心力，列出等式：2224GMm R
m R T
π=
解得：23
2
4R M GT π=
代入密度公式，解得：23GT
πρ=
6．据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星．假设该行星质量约为地球质量的6倍，半径约为地球半径的2倍．若某人在地球表面能举起60kg 的物体，试求：
（1）人在这个行星表面能举起的物体的质量为多少？ （2）这个行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的多少倍？ 【答案】（1）40kg （2）3倍 【解析】 【详解】
（1）物体在星体表面的重力等于物体受到的万有引力，又有同一个人在两个星体表面能举起的物体重力相同，故有：
22
GM m GM m
mg m g R R ''行地地行
地行＝＝＝； 所以，2221
260406
R M m m kg kg M R '⋅⋅⨯行地行地＝
＝＝； （2）第一宇宙速度即近地卫星的速度，故有：2
2 GMm mv R R ＝
所以，GM
v R
=
；所以，1 632v M R v M R 行行地地地行＝＝＝⋅⨯；
7．已知某行星半径为，以其第一宇宙速度运行的卫星的绕行周期为，该行星上发射的同步卫星的运行速度为.求
（1）同步卫星距行星表面的高度为多少？ （2）该行星的自转周期为多少？ 【答案】（1） （2）
．
【解析】 【分析】 【详解】
（1）设同步卫星距地面高度为 ，则： ，以第一宇宙速度运行的卫星其
轨道半径就是R ，则
联立解得：
．
（2）行星自转周期等于同步卫星的运转周期
．
8．“场”是除实物以外物质存在的另一种形式，是物质的一种形态．可以从力的角度和能量的角度来描述场．反映场力性质的物理量是场强．
（1）真空中一个孤立的点电荷，电荷量为+Q ，静电力常量为k ，推导距离点电荷r 处的电场强度E 的表达式．
（2）地球周围存在引力场，假设地球是一个密度均匀的球体，质量为M ，半径为R ，引力常量为G ．
a ．请参考电场强度的定义，推导距离地心r 处（其中r ≥R ）的引力场强度E 引的表达式．
b ．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．推导距离地心r 处（其中r ＜R ）的引力场强度E 引的表达式． 【答案】（1）2kQ
E r =（2）a ． 2GM E r =引 b ． 3
GM E r R
=引 【解析】 【详解】 （1）由F E q =
，2qQ F k r
= ，得 2kQ
E r = （2）a ．类比电场强度定义，
F E m
=万引，由2GMm
F r =万，
得 2
GM
E r =
引 b ．由于质量分布均匀的球壳对其内部的物体的引力为0，当r ＜R 时，距地心r 处的引力场强是由半径为r 的“地球”产生的．设半径为r 的“地球”质量为M r ，
3
3334433
r M r M r M
R R
ππ=⨯=． 得23r GM GM
E r r R
=
=引
9．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，经时间t 落地，落地时速度与水平地面间的夹角为α，已知该星球半径为R ，万有引力常量为G ，求：
（1）该星球表面的重力加速 （2）该星球的第一宇宙速度v ； 【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据平抛运动知识：
，解得
．
（2）物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：
又因为
，联立解得
．
考点：万有引力定律及其应用、平抛运动
【名师点睛】处理平抛运动的思路就是分解．重力加速度a 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．
10．高空遥感探测卫星在距离地球表面h 的轨道上绕地球转动，已知地球质量为M ，地球半径为R ，万有引力常量为G ，求： (1)人造卫星的角速度； (2)人造卫星绕地球转动的周期； (3)人造卫星的向心加速度． 【答案】（1）()
GM R h R h ＝ω++（2）2R h T R h GM
π+=+（）3）()2 GM a R h =+ 【解析】 【分析】
根据万有引力提供向心力2
2222()Mm v G m r m m r ma r T r
πω====求解角速度、周期、向
心加速度等。

【详解】
（1）设卫星的角速度为ω，根据万有引力定律和牛顿第二定律有： G
()
2
mM
R h +＝m ω2(R +h )，
解得卫星角速度R h ω+
故人造卫星的角速度R h ω+
（2）由()
2
2
24Mm
G
m R h T R h π=++（）
得周期2T R h π=+（
故人造卫星绕地球运行的周期为2T R h π=+（ （3）由于G
()
2 mM
R h +=m a 可解得，向心加速度a=
()
2
GM
R h +
故人造卫星的向心加速度为()
2
GM
R h +．
【点睛】
解决本题的关键知道人造卫星绕地球运行靠万有引力提供向心力，即
2
2222()Mm v G m r m m r ma r T r πω====.。