主题12 平面向量-2019年高考数学二轮透析23题对对碰 Word版含解析

2019届透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第一篇
主题12 平面向量
【主题考法】本热点考查形式为择题或填空题，主要考查平面向量的概念与向量的线性运算、平面向量基
本定理与平面向量的数量积的概念、运算法则及性质，考查利用平面向量的知识计算向量的夹角、长度及最值或范围问题，考查分运算求解能力、数形结合思想，以向量为工具和载体与其他知识交汇命题的也是命题的一个方向，难度为基础题或中档题，分值为5分.
【主题考前回扣】 1.平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .
(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底.
2.平面向量的数量积
(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 3．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4．利用数量积求长度
(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
例3【2019届湖北省十堰市元月调研】若非零向量，满足，且
，则与的
夹角为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【分析】由
，得，设
，从而可得
，由
代入即可求解.
【解析】由，得，即，设，则
，又∵，∴，∴，又∵
，∴，故选C.
考向四向量与其他知识的交汇
【解题法宝】对向量与其他知识结合的综合问题，有两种思路，思路1:需要将题中以向量形式给出的条件利用相关公式化为代数代数条件或几何条件，结合相关知识解题；思路2：将题中平行、垂直、角、长度等问题，运用向量的相关知识，转化为向量问题去处理.
例4
【2019届河南省十所名校尖子生第二次联考】已知点，，均位于同一单位圆上，且，
若，则的取值范围为__________．
【分析】由整理可得：，即：，以圆心为原点，以BC所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由整理得：，
所以点P在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，由等价转化成，利用
整理即可求解。

【解析】由可得：,
所以，所以，即线段BC为单位圆的直径.
以圆心为原点，以BC所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图：
则，
设，则
由可得：，所以点P在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，
因为，
所以
,
又，
所以，即：.
【主题集训】
1.【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届三模】在ABC
中，若，则CP＝（）A. B.
C. D.
【解析】由题意得
=
，解得CP ＝
，选C.
2. 【2019届陕西省四校联考期末】已知向量，
，则与的夹角为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
；
；又
；与的夹角为，故
选A ．
3.【山西省平遥中学2018届3月高考适应性考试】若两个非零向量a ， b 满足
，则向量a b +与a 的夹角为（ ）
A.
6π B. 3π C. 23π D. 56
π 【答案】A
4.【2019届广东省梅州市期末】已知，，若，则实数的值等于
A ．3
B ．
C ．
或3
D ．2
【解析】
，
，
，解得
或3．故选C ． 5.【2019年宁夏银川市质检（一）】已知
是边长为的等边三角形，为
的中点，且
，则
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】由题意，设
，则
，且与的夹角为
，
又由向量的运算法则可得，所以
，故选D.
6. 【山东省聊城市2018届一模】在ABC ∆中， BC 边上的中线AD 的长为2， BC =则A
B A
C ⋅=
（ ）
A. 1
B. 2
C. -2
D. -1 【答案】C 【
解
析
】
,故选C.
7【2019届四川省泸州市二诊】在
中，
，则
在方向上的投影是
（ ） A ．4 B ．－4 C ．3 D ．－3
【答案】B
【解析】△ABC 中，∵
，∴
，∴
，
∴
，又AB ＝3，AC ＝4，∴
在
方向上的投影是
=
＝﹣4，故选B ．
8.【内蒙古包头市2018届一模】已知BC 是圆O 的直径， H 是圆O 的弦AB 上一动点， 10BC =，
8AB =，则HB HC ⋅的最小值为（ ）
A. 4-
B. 25-
C. 9-
D. 16- 【答案】D
9.．【2019届第一次全国大联考（新课标Ⅰ卷)】已知单位向量满足
，则=（）
A．3 B．2 C．9 D．4
【答案】A
【解析】∴，设
，则即
解得或（舍去），即，因此
，故选A．10.【辽宁省朝阳市2018届一模】在中，为的重心，过点的直线分别交，于，两点，
且，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为为三角形的重心，所以，
又，，所以，，所以，因
为三点共线，所以，故，故选A.
11.【2019届广东省潮州市期末】已知向量、，满足，，且，则在上的投影
为
A．B．C．D．4
【答案】C
【解析】，，
，，又，
，在上的投影为
，故选C．
11.【河南省八市学评2018届第一次测评】在中，
是的中点，是上一点，且，则
的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，
所以
,选A.
12. 【2019届安徽省合肥市二质检】在中，，若，，则（）A．B．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】因为，，，所以
，故选A.
13. 【湖北省黄冈、黄石等八市2018届3月联考】在直角坐标系
中，已知三点
若向量
与
在向量
方向上的投影相同，则
的最小值为
（ ）
A. 2
B. 4
C.
D.
【答案】D
【解析】向量
在向量
方向上的投影相同，
，
，
，
在直线上，的最小值为原点到直线距离的平方，因为
，所以
的最小值为
，故选D.
14.【2019届第一次全国大联考（新课标Ⅲ卷)】在矩形中，
，
，
与
相交于点，过
点作，垂足为，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．8
【答案】C 【解析】在矩形
中，
，
，可得
，由得，故，则，
可知，所以，故
，故选C.
15. 【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届三模】已知平面向量,,a b c 满足： 5a b ==， 0a b ⋅=，
，
，则a b -与c b -的夹角正弦值为
_____________
【
解
析
】
由
题
意
得
，即
求sin CBA ∠，如下图，所以
，
16.【2019届吉林省吉林市三调】【市级联考】已知向量
，，若
，则实数
_____．
【答案】-1 【解析】因为向量，
若
，则与共线反向，所以
m ＝-1.
17.【北京市西城35中2018届上期中】已知平面向量1a =， 2b =， a 与b 的夹角为120︒，则2a b += __________． 【答案】2
【解析】因为
，所以22a b +=．
18. 【2019届天津市和平区一质调】如图，在直角梯形中，
，.若分别是
边
上的动点，满足
，
，其中
，若
，则的值为____________.
【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：
，设
，
即
，据此可得：
，故
，同理可得
，据此可得：
，则
，整理可得：
，由于
，故
.
19.【河北省衡水中学2018届十模】若平面向量1e ， 2e 满足，则1e 在
2e 方向上投影的最大值是________．
【答案】3
-
【解析】由可得：
，
∴
∴
1
e 在
2
e 方向上投影为
20.【2019届西安市一质检】已知向量与的夹角为
，，，则
_______． 【答案】1
【解析】根据题意，设||＝t ，（t ＞0），向量与的夹角为60°，||＝3，则•，又由||，则
（
）
2
2
+2•
2
＝9+3t +t 2
＝13，解可得t ＝﹣4或1，又由t ＞0，则t ＝1。

21.【百校联盟2018届TOP202018届三月联考】在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，直线:0l x ky -=
与圆
的内接正三角形ABC 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，且
//PQ BC ，则BQ CP ⋅的值为__________．
【答案】22
3
-
22.【2019届福建省厦门市第一次质】在中，，，，动点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】如图，以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则
，设，则
，∴
，其中表示圆A上的点P与点间距离的平方，由几何图形可得
，∴
．
23.【福建厦门一中2017届上学期期中，14】如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，
且
，若
，则λμ+=____________．
【解析】如图所示， 建立直角坐标系．∵
，1=OC
．∴
，即⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛21,23，C ．∵
，∴
，即
．又()0,1B
，
．∴
，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==3
323
3
μλ．∴3=+μλ
．。