4.3 齐次线性方程组解的结构

1 2 3
1 2 3 1 2 0
解：
A
3
2
6 5
10
初等行变换
0
7
0
1 0
1 1
0 0
1 0
0 1
1
2
4
0
0
0
0 0 0
1 0 0
0 0
1 0
0 1
0 0 0
r A 3 n,
所以只有零解。
例2 求齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0, 2 x1 5 x2 3 x3 2 x4 0, 7 x1 7 x2 3 x3 x4 0 的基础解系与通解.
其通解为
x k11 k22 knrnr .
其中k1 ,k2 , ,knr是任意常数 .
3.若rA n,则dim N A 0,即N A 0,仅有
零解.Ax 0有非零解 RA n
例1 求下列齐次方程组的基础解系及通解。
(1)2
x1 x1
2 x2 4 x2
4 x3 8 x3
定 理 4 .4: 设m n型齐次线性方程组AX 0的系数矩
阵的秩为rA,则AX 0的解空间N A的维数
dim N A n rA
证 : 设齐次线性方程组的系数矩阵为 A，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A可化为
1
0
b11
b1,n r
A
~
0
0
1
br1
br ,n r
A k1, B k2, C k1 2 , D k1 2 ,
2、 要使1 1 0 2T ,2 0 1 1T 是齐次线性
方程组AX 0的基础解系，则系数矩阵A可取为
0 1 1
A 02
0 1
11,
B 4
0
2 1
2, 1
C 01
0 1
21, D 2
0
1
下面证明1,2 ,,nr是齐次线性方程组解间的一个基
(1)证明 1,2,,n 线性无关.
1 0
0
由于n
r个n
r维向量
0
,
1
,
,
0
0 0
1
线性无关
所以n r个n维向量1,2 ,,nr也线性无关
(2)证明解空间的任一解都可由 1 ,2 ,,nr
线性表示.
设x 1 r r1 n T 为上述
当m=n时,AX=0有非零解的充要条件 是|A|=0. 推论3. 当m=n时,AX=0只有零解的充要条件 是|A|≠0.
二、齐次线性方程组解的性质
定理4.3: 设X1, X2是齐次线性方程组AX 0的两个解,
则X1和X2的线性组合k1 X1 k2 X2也是AX 0的解
证 : 已知AX1
0,
AX 2
第4.3节 齐次线性方程 组解的结构
主要内容
一、齐次线性方程组非零解的存在性 二、齐次线性方程组解的性质 三、基础解系及其求法 四、思考与练习
一、齐次线性方程组非零解的存在性
定理1. AX=0有非零解的充要条件是 系数矩阵A的秩r(A)<n 推论1. AX=0只有零解的充要条件 是r(A)=n 推论2. 方程个数m小于未知量个数n时,AX=0必有非零解;
x2 x3 x4
c1
57 1 0
c
2
47 0 1
,
(c1
,
c2
R).
2 7 3 7
即得基础解系 1
57 1
,
2
47 0
,
0
1
例3 证明R( AT A) R( A). 证: 设A为m n矩阵, x为n维列向量.
若x满足Ax 0,则有AT ( Ax) 0,即( AT A)x 0;
x4 0 1
x2 5 7 4 7
2 7 3 7
即得基础解系
1
57 1
,
2
47 0
,
0
1
则通解为 x k11 k22 (k1 , k2为任意常数）
x1 x2
2
7 5
7
x3 x3
3
7 4
7
x4 , x4 .
法2：先求通解，再求基础解系
并由此得到通解
x1 2 7 3 7
x4 0 2x4 0
3 x1 6 x2 2 x3 0
解： 1 2 4 1
A 2 4 8 2
3 6 2 0
1
2
0
1 2 4 1
初等行变换
0 0
0 0
10 0
3 0
0 0
0 0
1 0
1 5
3
10
0
行最简形矩阵对应的方程组为
x1
2 x2
1 5
x4
0
x3
3 10
1
1,
3、 设n阶方阵A的各行元素之和均为零，且rA n 1，
则线性方程组AX 0的通解为
答案： 1、D ；2、D；3、k[1,1,...,1]T
三、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
1,2,,t称为齐次线性方程组Ax 0的 基础解系,
如果
11 ,2 , ,t是Ax 0的一组解 ; 21 ,2 ,,t是线性无关 的; 3Ax 0的任一解都可由1,2 ,,t线性表出.
即
X k11 k22 ktt (＊)
(*)式称为方程组的通解公式
若x满足( AT A)x 0,则xT ( AT A)x 0,即 ( Ax)T ( Ax) 0, 从而推知Ax 0.
综上可知方程组Ax 0与( AT A)x 0同解,
因此 R( AT A) R( A).
例4 设B是一个三阶非零矩阵，它的每一列是 齐次线性方程组
x1 2x2 2x3 0
b11
,
b12
,
,
b1 ,n r
.
xr br1 br 2
br
,n r
从而求得原方程组的n-r个解
b11
br 1
1 1 ,
0
0
b12
b1 ,n r
br
2
2 0 ,
, nr
br
,n r
0 .
1
0
0
0 0
1
0
b11
b1,nr
x1 x2
Ax 0
0
0
1 br1
br
,nr
0
0
0 0 xn
x1 b11 xr1 b1,nr xn
xr
br1 xr1
br ,nr xn
x1 b11 xr1 b1,nr xn
1时
A
1 2
2 1
2 1
3 1 1
当 1 时, rA 2,dim N A 3 2 1
所以方程组的基础解系只有一个解向量, 从而B的三个列向量线性相关,得 B 0
四、思考与练习
1、 设A为n阶方阵，r
A
n
1，又1
,
是齐次线
2
性
方程组AX 0的两个不同解，则AX 0的通解是：
r2
n
c 1
c r
r1
r2
n
1 c1 ,,r cr .
故 . 即 r11 r22 nnr .
所以 1 ,,nr是齐次线性方程组解空间的一个基.
注: １．解空间的基不是唯一的．任意n-r(A) 个线性无 关的解都是基础解系
2． 若 1 ,2 ,,nr 是 Ax 0 的基础解系，则
方程组的一个解. 再作 1 ,2 ,,nr 的线性组合 , r11 r22 nnr
由于1,2 ,,nr是AX 0的解, 故也是AX 0的解
下面来证明 .
r11 r22 nnr
b11
b12
b1,nr
c1
br
1
r1 1
br
2
r2 0
x4
0
即
x1
x3
2 x2 3
10 x4
1 5
x4
x2 , x4
是自由 未知量。
法1：先求通解，再求基础解系
令 x2 c1 , x4 c2
x1
2c1
1 5
c2
则
x2
x3
c1
即
3
10 c2
x4
c2
1
x1 x2 x3 x4
c1
2 1 0 0
解 对系数矩阵A作初等行变换，变为行标准形，有
1 A 2
1 5
1 3
1 2
~
1 0
0 1
2 7 5 7
3 7 4 7,
7 7 3 1 0 0 0
0
便得
x1 x2
2
7 5
7
x3 x3
3
7 4
7
x4 , x4 .
法1：先求基础解系，再求通解。
令 x3 1及 0, 对应有 x1 2 7及 3 7,
c2
5 0
3 10 1
c1 , c2 为任意常数。
2
1
1 0
0
1
5
2
0 3
10 1
是基础解系
则通解为 x k11 k22 (k1 , k2为任意常数）
法2：先求基础解系，再求通解。
2
令
x2 x4
1
0
得
1
1 0 0
由
x1
2x1 x2 x3 0
3x1 x2 x3 0
的 解, 求的 值 和B 解: B 0, B的列向量是齐次方程组的解，
则 该 方 程 组 有 非 零 解 。 所以该方程组
的系数矩阵A的秩rA 3, 故
1 2 2
A 2 1 5 5 0
3 1 1
即 1
x3
2 x2
1 5
x4
3 10
x4
1
5
令
x2
x4
0 1
得
2
0
3
10 1
则通解为
x k11 k22
(k1 , k2为任意常数）
x1 2 x2 3 x3 0
(
2)
3 2
x1 x1
6 x2 5 x2
10 x3 7 x3
0 0
x1 2 x2 4 x3 0
xr
br1 xr1
br ,nr xn
现对xr1, xn取下列n r组数
xr1 1
xr2
0
,
xn 0
0
0
1
,
,
0 .
0
1
分别
代入
x1 b11 xr1 b1,nr xn
xr br1 xr1 br ,nr xn
依次得
x1
0.对X
1和X
的任意线性组合
2
k1 X1 k2 X 2 ,有
A(k1 X1 k2 X 2 ) k1 AX1 k2 AX 2 ＝k10 k2 0 0
故k1 X1 k2 X2是AX 0的解.
注:
AX 0 的所有解向量的集合，对加法和数乘
都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次
线性方程组的解空间。
n
br ,n 0
r
cr
r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 b11 xr1 b1,nr x1
br ,nr xn
所以与都是此方程组的解 ,
1
r
由
r 1