高中物理 第3章 动能的变化与机械功章末总结教学案 沪科版必修2

第3章 动能的变化与机械功
章末总结
一、功和功率的计算 1.功的计算方法
(1)利用W ＝Fs cos α求功，此时F 是恒力. (2)利用动能定理或功能关系求功. (3)利用W ＝Pt 求功. 2.功率的计算方法
(1)P ＝W t
：此式是功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，但常用于求解某段时间内的
平均功率.
(2)P ＝Fv cos α：此式一般计算瞬时功率，但当速度为平均速度时，功率为平均功率.
例1 质量为m ＝20 kg 的物体，在大小恒定的水平外力F 的作用下，沿水平面做直线运动.0～2 s 内F 与运动方向相反，2～4 s 内F 与运动方向相同，物体的v －t 图像如图1所示，g 取10 m/s 2
，则( )
图1
A.拉力F 的大小为100 N
B.物体在4 s 时拉力的瞬时功率为120 W
C.4 s 内拉力所做的功为480 J
D.4 s 内物体克服摩擦力做的功为320 J 答案 B
解析 由图像可得：0～2 s 内物体做匀减速直线运动，加速度大小为：a 1＝Δv Δt ＝102 m/s 2＝5
m/s 2，匀减速过程有F ＋f ＝ma 1.匀加速过程加速度大小为a 2＝Δv ′Δt ′＝22 m/s 2＝1 m/s 2
，有F
－f ＝ma 2，解得f ＝40 N ，F ＝60 N ，故A 错误.物体在4 s 时拉力的瞬时功率为P ＝Fv ＝60×2 W ＝120 W ，故B 正确.4 s 内物体通过的位移为s ＝(12×2×10－1
2
×2×2)m＝8 m ，拉力做功为
W ＝－Fs ＝－480 J ，故C 错误.4 s 内物体通过的路程为x ＝(1
2×2×10＋12
×2×2) m＝12 m ，
摩擦力做功为W f ＝－fx ＝－40×12 J＝－480 J ，故D 错误.
针对训练 1 如图2所示，两个完全相同的小球A 、B ，在同一高度处以相同大小的初速度v 0分别水平抛出和竖直向上抛出，不计空气阻力，则( )
图2
A.两小球落地时速度相同
B.两小球落地时重力的功率相等
C.从开始运动至落地，重力对两小球做功相同
D.从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相等 答案 C
解析 由机械能守恒定律可得两球落地时速度大小相等，但落地时的速度方向不相同，故速度不相同，A 项错误.重力在落地时的瞬时功率P ＝mgv cos α，α为重力与速度方向的夹角，由于α不相等，故两小球落地时重力的功率不相等，B 项错误.重力做功取决于下降的高度h ，从开始运动至落地h 相等，故重力对两小球做功相同，C 项正确.重力做功的平均功率P ＝W
t
，两球运动的时间不相等，故重力对两小球做功的平均功率不相等，D 项错误.
针对训练2 (多选)如图3所示，一质量为1.2 kg 的物体从倾角为30°、长度为10 m 的光滑斜面顶端由静止开始下滑.g ＝10 m/s 2
，则( )
图3
A.物体滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是60 W
B.物体滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是120 W
C.整个过程中重力做功的平均功率是30 W
D.整个过程中重力做功的平均功率是60 W 答案 AC
解析 由动能定理得mgs sin 30°＝12mv 2
，所以物体滑到斜面底端时的速度为10 m/s ，此时
重力做功的瞬时功率为P ＝mgv cos α＝mgv cos 60°＝1.2×10×10×1
2 W ＝60 W ，故A 对，B
错.物体下滑时做匀加速直线运动，其受力情况如图所示.由牛顿第二定律得物体的加速度a ＝
mg sin 30°m ＝10×12 m/s 2＝5 m/s 2
；物体下滑的时间t ＝v a ＝105
s ＝2 s ；物体下滑过程中重力做的功为W ＝mgs ·sin θ＝mgs ·sin 30°＝1.2×10×10×1
2
J ＝60 J ；重力做功的平均
功率P ＝W t ＝60
2
W ＝30 W.故C 对，D 错.
二、对动能定理的理解及在多过程问题中的应用
动能定理一般应用于单个物体，研究过程可以是直线运动，也可以是曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功；既适用于各个力同时作用在物体上，也适用于不同的力分阶段
作用在物体上，凡涉及力对物体做功过程中动能的变化问题几乎都可以使用，但使用时应注意以下几点：
1.明确研究对象和研究过程，确定初、末状态的速度情况.
2.对物体进行正确的受力分析(包括重力、弹力等)，弄清各力做功大小及功的正、负情况.
3.有些力在运动过程中不是始终存在，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待，正确表示出总功.
4.若物体运动过程中包含几个不同的子过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一个整体过程考虑，列出动能定理方程求解.
例2 一列火车由机车牵引沿水平轨道行驶，经过时间t ，其速度由0增大到v .已知列车总质量为M ，机车功率P 保持不变，列车所受阻力f 为恒力.求这段时间内列车通过的路程.
答案
Pt －12
Mv 2
f
解析 以列车为研究对象，列车水平方向受牵引力和阻力.设列车通过的路程为x .据动能定理W F －W f ＝12Mv 2－0，因为列车功率一定，据P ＝W t 可知牵引力的功W F ＝Pt ，Pt －fx ＝12
Mv 2
，解
得x ＝
Pt －12
Mv 2
f
.
针对训练3 如图4所示，光滑斜面AB 的倾角θ＝53°，BC 为水平面，BC 长度l BC ＝1.1 m ，
CD 为光滑的1
4
圆弧，半径R ＝0.6 m.一个质量m ＝2 kg 的物体，从斜面上A 点由静止开始下滑，
物体与水平面BC 间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道在B 、C 两点光滑连接.当物体到达D 点时，继续竖直向上运动，最高点距离D 点的高度h ＝0.2 m.sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.g 取10 m/s 2
.求：
图4
(1)物体运动到C 点时的速度大小v C ； (2)A 点距离水平面的高度H ；
(3)物体最终停止的位置到C 点的距离x . 答案 (1)4 m/s (2)1.02 m (3)0.4 m
解析 (1)物体由C 点运动到最高点，根据动能定理得：－mg (h ＋R )＝0－12mv 2
C
代入数据解得：v C ＝4 m/s
(2)物体由A 点运动到C 点，根据动能定理得：mgH －μmgl BC ＝12mv 2
C －0
代入数据解得：H ＝1.02 m
(3)从物体开始下滑到停下，根据动能定理得：mgH －μmgx 1＝0 代入数据，解得x 1＝5.1 m 由于x 1＝4l BC ＋0.7 m
所以，物体最终停止的位置到C 点的距离为：x ＝0.4 m.
例3 滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来.如图5是滑板运动的轨道，BC 和DE 是两段光滑圆弧形轨道，BC 段的圆心为O 点，圆心角为60°，半径
OC 与水平轨道CD 垂直，水平轨道CD 段粗糙且长8 m.某运动员从轨道上的A 点以3 m/s 的速
度水平滑出，在B 点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC ，经CD 轨道后冲上DE 轨道，到达E 点时速度减为零，然后返回.已知运动员和滑板的总质量为60 kg ，B 、E 两点到水平轨道CD 的竖直高度分别为h 和H ，且h ＝2 m ，H ＝2.8 m ，g 取10 m/s 2
.求：
图5
(1)运动员从A 点运动到达B 点时的速度大小v B ； (2)轨道CD 段的动摩擦因数μ；
(3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B 点？如能，请求出回到B 点时速度的大小；如不能，则最后停在何处？
答案 (1)6 m/s (2)0.125 (3)不能回到B 处，最后停在D 点左侧6.4 m 处或C 点右侧1.6 m 处
解析 (1)由题意可知：v B ＝v 0
cos 60°
解得：v B ＝6 m/s.
(2)从B 点到E 点，由动能定理可得：
mgh －μmgx CD －mgH ＝0－12
mv 2B
代入数据可得：μ＝0.125.
(3)设运动员能到达左侧的最大高度为h ′，从B 到第一次返回左侧最高处，根据动能定理得：
mgh －mgh ′－μmg ·2x CD ＝0－1
2
mv 2B
解得h ′＝1.8 m<h ＝2 m
所以第一次返回时，运动员不能回到B 点
设运动员从B 点运动到停止，在CD 段的总路程为x ，由动能定理可得：
mgh －μmgx ＝0－1
2
mv 2
B
④
解得：x ＝30.4 m
因为x ＝3x CD ＋6.4 m ，所以运动员最后停在D 点左侧6.4 m 处或C 点右侧1.6 m 处. 三、动能定理与平抛运动、圆周运动的结合
动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：
(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量.
(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：
①有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为v min ＝0. ②没有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为v min ＝gR . 例4 如图6所示，一可以看成质点的质量m ＝2 kg 的小球以初速度v 0沿光滑的水平桌面飞出后，恰好从A 点沿切线方向进入圆弧轨道，其中B 为轨道的最低点，C 为最高点且与水平桌面等高，圆弧AB 对应的圆心角θ＝53°，轨道半径R ＝0.5 m.已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，g 取10 m/s 2
.
图6
(1)求小球的初速度v 0的大小；
(2)若小球恰好能通过最高点C ，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功. 答案 (1)3 m/s (2)－4 J
解析 (1)在A 点由平抛运动规律得：
v A ＝
v 0
cos 53°＝5
3
v 0.
①
小球由桌面到A 点的过程中，由动能定理得
mg (R ＋R cos θ)＝1
2mv 2A －12
mv 2
②
由①②得：v 0＝3 m/s.
(2)在最高点C 处有mg ＝mv 2C R ，小球从桌面到C 点，由动能定理得W f ＝12mv 2C －12
mv 2
0，代入数
据解得W f ＝－4 J.
针对训练4 如图7所示，在某电视台的“冲关大挑战”节目中，参赛选手沿固定的倾斜滑
道AB 下滑，通过光滑圆弧轨道BC 后从C 点飞出，落到水池中的水平浮台DE 上才可以进入下一关.某次比赛中，选手从A 点由静止开始下滑，恰好落在浮台左端点D .已知滑道AB 与圆弧
BC 在B 点相切，C 点切线水平，AB 长L ＝5 m ，圆弧半径R ＝2 m ，∠BOC ＝37°，C 点距浮台
面的竖直高度h ＝2.45 m ，水平距离L 1＝2.8 m ，浮台宽L 2＝2.1 m ，选手质量m ＝50 kg ，不计空气阻力.求：
图7
(1)选手运动到C 点时的速度大小； (2)在圆弧C 点，选手对轨道压力大小；
(3)若要进入下一关，选手在A 点沿滑道下滑的初速度最大是多少？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 答案 见解析
解析 (1)选手从C 点飞出后做平抛运动，所以：
h ＝12
gt 2 L 1＝v C t
代入数据得：v C ＝4 m/s
(2)设在C 点选手受到的支持力大小为N ，则在C 点：
N －mg ＝m v
2
C R
代入数据得：N ＝900 N
根据牛顿第三定律，在C 点，选手对轨道的压力大小为900 N. (3)由功能关系，选手从A 运动到C 过程中，满足：
mg (L sin 37°＋R －R cos 37°)－W f ＝1
2
mv 2
C
若要进入下一关，选手最远运动到E 点，设此时选手运动到达C 点时的速度大小为v C ′，根据题目条件得：v C ′＝7 m/s
设最大初速度为v m ，根据功能关系得：
mg (L sin 37°＋R －R cos 37°)－W f ＝1
2mv C ′2－12
mv 2
m
联立表达式，代入数据得：v m ＝33 m/s。