2021年中考优等生培优竞赛专题第24讲轨迹问题之圆弧轨迹

第24讲轨迹问题之圆弧轨迹
上一节讲的是直线轨迹问题，本章节将讲解轨迹为圆弧的情况。

模型讲解
动点尸到定点。

的距离为
d保持不变，则点尸的轨迹
为以点。

为圆心，d为半径的圆上.
NP保持不变，NP所对的边长为d保持
不变，则NP的顶点尸的轨迹为圆弧.
（简称：定边定角）
【例题讲解】
例题1、在矩形乂38中，已知,45=2cm, 5C=3cm,现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点尸在运动过程中所围成的图形的面积为cm；
【分析】我们发现在EF的运动过程中，EF始终与矩形四个顶点组成一个直角三角形，E尸作为斜边不变，所以根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可知斜边中线也不变.
【解析】连接8尸
：.BP=-EF=1
・•・此时图中点尸的运动轨迹为以点B为圆心，1cm为半径的圆弧上同理，.••点尸在各个角上均作弧线运动
...轨迹围成的图形为一个矩形减去四个四分之一圆
易求的围成面积为6—兀
例题2、在正方形J5CD中，4。

=2, E, F分别为边。

C, 上的点，且始终保持。

E=CF,连接
HE和。

尸交于点尸，则线段C尸的最小值为.
【解析】解：如佟I，在和△QCF
中，
AD = DC
, ZADE = /DCF
DE = CF
:•&3E24DCF (SASy
：.ZDAE=ZCDF
V NZUE+4®=90°
：.ZCDF+ZJED=90° , A ZDP£=Z.4PD=90°
.NAPD=900保持不变
.•.点P的轨迹为以，山为直径的一段弧上
.,•取JD中点Q,连接CQ,与该圆瓠交点即为点尸，此时CP值最小在RtZkCQD中,CQ=小
：.CP=CO-PQ=j5 -1
【巩固训练】
1、如图，在ZU3C中，.43=3, ,4。

=2,当N3最大时，8C的长是.
2.如图，一根木棒.铝的长为2m斜靠在与地面垂直的墙上，与地而的倾斜角乙48。

为60。

，当木棒沿墙壁
向下滑动至4，四，B端沿地面向右滑动至点k
(1)木棒中点尸运动的轨迹是—(填“线段”或者“圆弧”).
(2)木棒中点从P随之运动至产所经过的路径长为.
3、如图，O的半径为2,弦乂8=2,点尸为优弧.铝上一动点，，4CL4尸交直线尸3于点C,则zUBC的最大面积是.
4
第3题图
4、如图，在平行四边形48 中，NBCD=30°, BC=4, 8=3/，M是边的中点，N是,48边上的一动点，将△区WV 沿所在直线翻折得到4处数，连接,4C则,49长度的最小值是.
第4题图
5、如图，半径为2cm,圆心角为90。

的扇形。

必的A8上有一运动的点尸从点尸向半径Q4引垂线PH交 04于点H,设△。

产H的内心为，当点尸在A8上从点乂运动到点8 时，内心/所经过的路径长为.
6、如图，以/0,1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于£3两点，与y釉交于C、。

两点，点E为0G上一动点,CF A-AE于尸，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为.
7、如图，以正方形乂38的边3C为一边向内部做一等腰△BCE, CE=CB,过E救EHLBC,点、P是A BEC的内心，连接HP,若AB=2,则的最小值为.
第7题图
8、如图，矩形4CD中，4=2, JD=3,点E、尸分别为。

边上的点，且EF=2,点G为石尸的中点，点尸为3。

上一动点，则P4SG的最小值为.
9、如图，矩形。

43c的边。

4、0C分别在x轴、y轴上，点8的坐标为（7,3 ）,点E在边
.43上，且J£=l,已知点尸为》轴上一动点，连接HR过点。

作直线E尸的垂线段，垂足为点H，在点尸
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从点尸（0,二）运动到原点。

的过程中，点H的运动路径长为
4
10.如图,RtA48C中BC=4,尸是△X8C内部的一个动点，且满足 NE43=NP8C,则线段CP长的最小值为.
11.在RtAlS。

中，NC=90。

，JC=10, BC=12,点。

为线段3c上一动点.以CD为。

直径，作.10交。

于点E,连BE,则BE的最小值为.
12.如图，在等腰中,NA4C=90L"三4。

方。

=4企,点D是乂。

边上一动点，连接BD,以期为直径的圆交助于点瓦则线段CE长度的最小值为.
13.如图，等边三角形,铝C中，,43=6.动点E从点8出发向点。

运动，同时动点尸从点。

出发向点工运动，点£; F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段乂£; BF相交于点、P,点、H 是线段8c上的中点，则线段PH的最小值为.
14.等腰直角△J5C中，ZC=90°, AC=BC=4,。

为线段乂。

上一动点，连接3D,过点。

作CHLB。

于H 连接则的最小值为.
15.如图A43C、△EFG均是边长为4的等边三角形，点。

是边8C、E尸的中点，直线1G、尸。

相交于点M当△EFG绕点D旋转时，则线段AW长的最大值是.
a
第15题图
16、直线j=x+4分别与x轴、j，轴相交与点M、N,边长为2的正方形。

43。

一个顶点。

，在坐标系的原点，直线4V与MC相交与点P,若正方形绕着点。

旋转一周，则点P到点（0,2）长度的最小值是.
参考答案
1.【解答】解：以.4为圆心，.4C为半径作。

，当8。

为。

的切线时，即8cLXC时，N8最大, 此时BC气
/_砂=如2 1后
故答案是《亏.
2.解:（1）圆弧.
（2）—71
12
3.答案：小
4.答案：5
5.答案：叵cm
2
6.答案：叵
3
7.答案：\/\0 -y/2
8.答案：4
9.答案：咨
4
10.答案：工巨
4
11.答案：2
12.答案：8
13.答案：5& -2 14.答案：&?一20 15.答案：2辨-2 16.答案：耳-1 17.答案：2点一2
二次函数一题多问
如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,
顶点为D. 0A=0C=3, （1）求此函数的关系式；
(2)判断4ACD的形状，并说明理由;
求四边形ABCD的面积.
在对称轴上找一点P,使4BCP的周长最小，求出P点坐标及aBPC的周长.
在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线/〃y轴.交AC与点M,当点N坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少?
(6)在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使aCAN面积最大？最大面积是多少?
(7)在AC下方的抛物线上，是否存在一点N,使四边形ABCN面积最大，且最大面积是多少?
(8)在y轴上是否存在一点E,使AADE为直角三角形，若存在,求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

(9)在y轴上是否存在一点F,使为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。

(10)在抛物线上是否存在一点N,使S M S ZK,若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由。

(11)在抛物线上是否存在一点H,使S』S△皿，若存在,求出点H的坐标；若不存在，说明理由。

(12)在抛物线上是否存在一点Q,使S Z S AF,若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

(13)在抛物线上是否存在一点E,使BE平分△ABC的面积，若存在,求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

(14)在抛物线上找一点F,做FMLX轴，交AC与点H,使AC平分aAFM的面积?
(15)在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使A, B, K, L为顶点形成平行四边形,求出K,L点的坐标。

(16)作垂直于x轴的直线x=-l,交直线AC于点M,交抛物线于点N,以A,M,N,E为顶点作平行四边形, 求第四个顶点E的坐标。

(17)在抛物线上能不能找到一点P,使NPOC=NPCO?若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由.
(18)在线段AC上是否存在点M,使△AOM与相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
(19)点P是抛物线上一个动点，作PH^x轴于H,是否存在点P,使得△PAH与△(«(：相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
(20)若点P从点A出发向B运动，同时点Q从点0出发向C运动，当一点到达终点时，另一点也停止运设运
动的时间为t秒，aorQ的面积为s,求s与t的函数关系式，并求出s的最大值.
动,。