四川省绵阳市高中级高三数学第二次诊断性考试 文

绵阳市高中2011级第二次诊断性考试数 学（文科）
本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共4页．全卷满分150分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）； 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）；
如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率：k n k k
n n P P C k P --⋅⋅=)1()(．
一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．
1．设集合I = { x ︱︱x －2︱≤2，x ∈N * }，P = { 1，2，3 }，Q = { 2，3，4 }，则 I （P ∩Q ）=
A ．{ 1，4 }
B ．{ 2，3 }
C ．{ 1 }
D ．{ 4 } 2．若向量a 、b 、c 满足 a + b + c = 0，则a 、b 、c
A ．一定能构成一个三角形
B ．一定不能构成一个三角形
C ．都是非零向量时一定能构成一个三角形
D ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 3．将直线x －3y －2 = 0绕其上一点逆时针方向旋转60︒得直线l ，则直线l 的斜率为
A ．33
B ．3
C ．不存在
D ．不确定
4．已知f (x ) = sin (x +
2
π
)，g (x ) = cos (x －
2
π
)，则下列命题中正确的是
A ．函数y = f (x ) · g (x ) 的最小正周期为2π
B ．函数y = f (x ) · g (x ) 是偶函数
C ．函数y = f (x ) + g (x ) 的最小值为－1
D ．函数y = f (x ) + g (x ) 的一个单调增区间是]4
,43[ππ-
5．为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图象，可以将函数y = cos 2x 的图象
A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向右平移3
π
个单位长度 C ．向左平移
6
π
个单位长度 D ．向左平移
3
π
个单位长度
6．直线4x －3y －12 = 0与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方
程为 A ．（x －1）2 +（y + 1）2 = 1 B ．（x －1）2 +（y －1）2 = 1
C ．（x －1）2 +（y + 1）2 =2
D ．（x －1）2 +（y + 1）2 = 2
7．设双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）的焦点是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0），两条准线
间的距离等于c ，则双曲线的离心率e 等于
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
8．已知焦点（设为F 1，F 2）在x 轴上的双曲线上有一点P (x 0，
2
3
)，直线x y 3= 是双曲线的一条渐近线，当0
21=⋅PF 时，该双曲线的一个顶点坐标是 A ．（2，0） B ．（3，0） C ．（2，0） D ．（1，0） 9．若不等式︱x －a ︱－︱x ︱＜ 2－a 2 当x ∈R 时总成立，则实数a 的取值范围是 A ．（－2，2） B ．（－2，1） C ．（－1，1） D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）
10．若抛物线y 2 = x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，焦点为F ，O 是坐标原点，
则△POF 的面积等于
A ．16
2
B ．322
C ．161
D ．321
11．已知等腰三角形的面积为2
3
，顶角的正弦值是底角正弦值的3倍，则该三角形一腰的
长为
A ．2
B ．
3 C ．2
D ．6
12．设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数t ，使得对于任意x ∈C （C ⊆ A ），有x + t ∈
A ，且f （x + t ）≤ f （x ），则称f （x ）为C 上的t 低调函数．如果定义域为 [ 0，+∞)的
函数f （x ）=－︱x －m 2︱+ m 2，且 f （x ）为 [ 0，+∞)上的10低调函数，那么实数m 的取值范围是
A ．[－5，5 ]
B ．[－5，5]
C ．[－10，10]
D ．]2
5,25[-
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
注意事项：
答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔
（蓝、黑色）写在答题卷密封线内相应的位置．答案写在答题卷上，请不要答在试题卷上．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．不等式
13
>x
的解是 ． 14．已知函数f （x ）= sin x －cos (6-
π
x )，x ∈[ 0，2π)，则满足f （x ）＞0的x 值的集合为 ． 15．设a ＞2b ＞0，则2
9()(2)a b b a b -+-的最小值是 ．
16．给出下列命题：
① “sin α－tan α＞0”是“α 是第二或第四象限角”的充要条件； ② 平面直角坐标系中有三个点A （4，5）、B （－2，2）、C （2，0），则直线AB 到直线BC
的角为4
arctan 3
；
③ 函数x
x x f 22
cos 3cos )(+=的最小值为32；
④ 设 [m ] 表示不大于m 的最大整数，若x ，y ∈R ，那么[x + y ]≥[x ] + [y ] ． 其中所有正确命题的序号是 ．（将你认为正确的结论序号都写上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）设△ABC 三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量)2,(b a =，)1,(sin A =，
且//．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若△ABC 是锐角三角形，)tan cos sin ,1(),cos ,(cos B A A n B A m -==，求n m ⋅ 的取值范围． 18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，
AB 是半圆⊙O ：x 2 + y 2 = 1（y ≥0）的直径，C 是半
圆O （除端点A 、B ）上的任意一点，在线段AC 的 延长线上取点P ，使︱PC ︱=︱BC ︱，试求动点P 的轨迹方程． 19．（本题满分12分）某幸运观众参加电视节目抽奖活动，抽奖规则是：在盒子里预先放有
大小相同的5个小球，其中一个绿球，两个红球，两个白球．该观众依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个白球就停止摸球，否则直到将盒子里的球摸完才停止．规定：在球摸停止时，只有摸出红球才获得奖金，奖金数为摸出红球个数的1000倍（单位：元）．
（Ⅰ）求该幸运观众摸三次球就停止的概率； （Ⅱ）求该幸运观众获得1000元奖金的概率．
20．（本题满分12分）已知函数1)1(6)12(3
2
)(23+--+-=x m m x m x x f ，x ∈R ．
（1）当m =－1时，求函数y = f (x ) 在 [－1，5 ] 上的单调区间和最值；
（2）设f ′(x ) 是函数y = f (x ) 的导数，当函数y = f ′(x ) 的图象在（－1，5）上与x 轴有唯一的公共点时，求实数m 的取值范围．
21．（本题满分12分）设椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为212，左焦
点到左准线的距离为73．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆C 上有不同两点P 、Q ，且OP ⊥OQ ，过P 、Q 的直线为l ，求点O 到直线l 的距离． 22．（本题满分14分）已知{ a n }是等差数列，{ b n }是等比数列，S n 是{ a n }的前n 项和，a 1 = b 1 =
1，2
212
b S =．
（Ⅰ）若b 2是a 1，a 3的等差中项，求a n 与b n 的通项公式；
（Ⅱ）若a n ∈N *
，{n a b }是公比为9的等比数列，求证：
471111321<++++n S S S S
绵阳市高中2011级第二次诊断性考试 数学（文科）参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． ADCD BACD CBAB
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．{ x ︱0＜x ＜3 } 14．（34,3ππ）或 }3
43|{π
π<<x x 15．12 16．①④
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．解 （Ⅰ）∵ )2,(b a =，)1,(sin A =，//，
∴ a －2b sin A = 0，由正弦定理得 sin A －2sin B sin A = 0． …………………… 3分
∵ 0＜A ，B ，C ＜π，∴ 21
sin =B ，得 6π=B 或56
B π=． …………………… 6分
（Ⅱ）∵ △ABC 是锐角三角形， ∴ 6
π
=
B ，)cos 3
3sin ,1(),23,
(cos A A A -==， 于是 )cos 3
3(sin 23cos A A A -+=⋅=A A sin 23
cos 21+
=)6sin(π+A ． …………………… 9分
由 65ππ=
-=+B C A 及 0＜C ＜2
π
，得 )65,3(65πππ∈-=C A ． 结合0＜A ＜
2
π
，∴
2
3
π
π
<
<A ，得
3
26
2
π
π
π
<
+
<A ，
∴
1)6
sin(23<+<πA ，即
12
3
<⋅<n m ． …………………… 12分 18．解 连结BP ，由已知
得
∠
APB
=
45︒． …………………… 2分
设P （x ，y ），则 1+=
x y
k PA ，1
-=x y k PB ，由PA 到PB 的角为45︒， 得1
111145tan +⋅-++-
-=︒x x x y x y ，化简得 x 2 +（y －1）2 = 2． …………………… 10分
由已知，y ＞0且1
+=
x y
k PA ＞0，故点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2 = 2（x ＞－1，y ＞0）． …………………… 12分
法二 连结BP ，由已知可得∠APB = 45︒，∴ 点P 在以AB 为弦，所对圆周角为45︒的圆上．
设该圆的圆心为D ，则点D 在弦AB 的中垂线上，即y 轴上，且∠ADB = 90︒，∴ D （0，1），︱DA ︱=2，圆D 的方程为x 2 +（y －1）2 = 2．
由已知，当点C 趋近于点B 时，点P 趋近于点B ；当点C 趋近于点A 时，点P 趋近于点（－1，2），所以点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2 = 2（x ＞－1，y ＞0）．
19．解 （Ⅰ）记“该幸运观众摸球三次就停止”为事件A ，则
1122323
51
()5
C C A P A A ==．
…………………… 6分
（Ⅱ）该幸运观众获得1000元奖金的概率为3
1453312123
52
21212=+=A A C C A A C C P ． …………………… 12分
答：略．
20．解 （1）当m =－1时，1123
2)(23
+-+=
x x x x f ， ∴ f ′(x ) = 2x 2
+ 2x －12 = 2（x + 3）（x －2）的两个根为x =－3 或 x = 2， 只有x = 2在 [－1，5 ] 上，所以 f (x ) 在 [－1，2 ] 上单调递减，在 [ 2，5 ] 上单调递增．又
340
)1(=-f ，
41)2(-=f ，148)5(=f ． …………………… 4分
故函数y = f （x ）在 [－1，5 ] 上的最大值为
3，最小值为3
-． …………………… 6分
（2）由已知有 f ′(x ) = 2x 2－2（2m + 1）x －6m （m －1），x ∈R ．
函数y = f ′(x ) 的图象与x 轴的公共点的横坐标就是二次方程
x 2－（2m + 1）x －3m （m －1）= 0 的实数根，解得 x 1 = 3m ，x 2 = 1－m ． ① 当x 1 = x 2 时，有 3m = 1－m ⇒ 4
1
=
m ，此时x 1 = x 2 =43∈（－1，5）为所求．
…………………… 8分
② 当x 1≠x 2 时，令H （x ）= x 2－（2m + 1）x －3m （m －1），则函数y = f ′(x ) 的图象在（－1，5）上与x 轴有唯一的公共点 ⇒ H （－1）· H （5）≤0，而 H （－1）=－3m 2 + 5m + 2，H （5）=－3m 2－7m + 20， …………………… 9分
所以（－3m 2 + 5m + 2）（－3m 2－7m + 20）≤0， 即（m －2）（3m + 1）（m + 4）（3m －5）≤0，
解
得
－
4
≤
m
≤
3
1
-
或
3
5≤m ≤
2． …………………… 10分
经检验端点，当m =－4和m = 2时，不符合条件，舍去．
综上所述，实数m 的取值范围是4
1
=
m 或－4＜m ≤31-或35≤m ＜2．
…………………… 12分
21．解 （1）设椭圆C 的方程为122
22=+b
b a x （a ＞b ＞0），
则 2122=b ，21=b ．
由 73)(2
=---c
a c ，即
73222==-c b c c a ，得 7=c ． 于是 a 2
= b 2
+ c 2
= 21 + 7 = 28，椭圆C 的方程为
121
282
2=+y x ．………………… 5分 （2）若直线l 的斜率不存在，即l ⊥x 轴时，不妨设l 与x 正半轴交于点M ，将x = y 代入
121282
2=+y x 中，得32±==y x ，则点P （32，32），Q （32，32-），于是点O 到l 的距离为
32． (7)
分
若直线l 的斜率存在，设l 的方程为y = kx + m （k ，m ∈R ），则点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）的坐标是方程组⎪
⎩⎪⎨⎧=++=121
282
2y x m kx y 的两个实数解， 消去y ，整理，得（3 + 4k 2）x 2 + 8kmx + 4m 2－84 = 0， ∴ △ =（8km ）2－4（3 + 4k 2）（4m 2－84）= 12（28k 2－m 2 + 21）＞0， ①
2
21438k km x x +-
=+，
2214384
4k
m x x +-=． ② …………………… 9分
∵ OP ⊥OQ ，∴ k OP · k OQ =－1，即
12
2
11-=⋅x y x y ，x 1x 2 + y 1y 2 = 0． 于是 x 1x 2 +（kx 1 + m ）（kx 2 + m ）=（1 + k 2）x 1x 2 + km （x 1 + x 2）+ m 2 = 0． ③
将 x 1 + x 2，x 1x 2 代入上式，得 043843844)1(2222
2
=++-+-⋅+m k
km km k m k ， ∴（k 2 + 1）（4m 2－84）－8k 2m 2 + m 2（4k 2 + 3）= 0， 化简，得 m 2 =
12（
k 2
+
1
）．
④
④代入①满足，因此原点O 到直线l 的距离 32121
||2
==+-=
k m d ．
…………………… 12分
22．解 设等差数列{ a n }的公差为d ，等比数列{ b n }公比为q ． （Ⅰ）∵ 2212
b S =
，∴ q
b d a a 11112=++，而 a 1 = b 1 = 1，则 q （2 + d ）= 12．① 又 ∵ b 2是a 1，a 3的等差中项，
∴ a 1 + a 3 = 2b 2，得 1 + 1 + 2d = 2q ，即 1 + d = q ． ②
联立①，②，解得 ⎩⎨⎧==,3,
2q d 或 ⎩
⎨⎧-=-=.4,
5q d …………………… 4分 所以 a n = 1 +（n －1）·
2 = 2n －1，b n = 3n －1； 或 a n = 1 +（n －1）·（－5）= 6－5n ，b n =（－4）n －1
． …………………… 6分
（Ⅱ） ∵ a n ∈N *
，d n d n a a q q q
b b n n )1(1)1(11
1---+-===，
∴ 9)1(1===
-+d d
n nd a a q q q b b n
n ，即 q d = 32
．
① …………………… 8分
由（Ⅰ）知 q ( 2 + d ) = 12，得 d
q +=
212
． ② ∵ a 1 = 1，a n ∈N *
，∴ d 为正整数，从而根据①②知q ＞1且q 也为正整数，
∴ d 可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d = 2，q = 3， ∴
a n
=
2n
－
1
，
22
)
121(n n n S n =-+=
． …………………… 10分
∴ )1
111(21)1)(1(1112+--=+-<=n n n n n S n （n ≥2）． 当n ≥2时， )1
111(21)5131(21)4121(21)3111(21111121+--++-+-+-+<+++n n S S S n )]11
11()5131()4121()3111[(211+--++-+-+-+=n n
)111211(211+--++=n n 11147+--=n n 4
7<．
显然，当n = 1时，不等式成立．故n ∈N *
，
4
7
11121<+++n S S S ． …………………… 14分
思路2 或者利用n
n n n n S n 1
11)1(1112--=-<=（n ≥2）从第三项开始放缩。