2022-2023学年高二下学期期中数学试题(解析版)

f x ，进而求解.
【详解】由题意，函数 f x ae2x a 2 ex x ，
可得 f x 2ae2x a 2 ex 1 (2ex 1)(aex 1) ，
当 a 0 时， f x 0 ，函数 f x 在 R 上单调递减，
此时函数 f x 最多有一个零点，不满足题意，舍去；
学生数学成绩在 120 分以上的人数为（ ）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由 P 100 110 0.35 ,根据对称性得出 P 110 120 0.35 ，由此求得该班学生数
学成绩在 120 分以上的概率，问题得解．
【详解】因为数学成绩 ~ N 110, 2 ，
3
2
2
6
A
(
， ) ， A
(
，
2
) ， sin( A
)(
3 ，1] ，
62
63 3
62
a b 的取值范围为 (6 ， 4 3] ．
故选： D ． 【点睛】本题考查解三角形中正弦定理与余弦定理的综合应用，还涉及三角函数的图象与性质，以及三
角恒等变换的基础公式，并运用到了角化边的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档
（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有 C42 6 种选法；
（2）之后就相当于三个元素的一个全排；
（3）利用分步乘法计数原理求得结果.
5. 随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们也不可避免地与我们每个人产生密切的关联，
3
逐渐改变着每个人的生活．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过 500 次的概率为 ，超过 1000 次的
A. 6, 2 3
B. 0, 4 3
C. 2 3, 4 3
D. 6, 4 3
【答案】D
【解析】
【分析】由 3 sin C cos C 2sin(C ) 2 ，可得 C ；再结合正弦定理余弦定理，将
6
3
cos A cosC sin B sin C 中的角化边，化简整理后可求得 c 2 3 ；根据锐角 ABC 和 C ，可
定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前
后左右位置关系不作考虑)（ ）
A. 18 种
B. 24 种
C. 36 种
D. 72 种
【答案】C
【解析】
【分析】
分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地
方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.
4
概率为 1 ，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过 500 次，则其能够循环充电超过 1000 次的概率是
2
（）
3 A.
8
2 B.
3
C.
1 2
1
D.
3
【答案】B
【解析】
【分析】利用条件概率的计算公式计算即可得到结果.
【详解】记事件 A 为“该充电宝循环充电超过 500 次”，则 P A 3 ，记事件 B 为“该充电宝循环充电超
题．
7. “冰墩墩”是 2022 年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包装上标注隐藏
1
款抽中的 概率为 ，出厂时每箱装有 6 个盲盒．小明买了一箱该款盲盒，他抽中 k(0≤k≤6，k∈N)个隐藏
6
款的概率最大，则 k 的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】B
【解析】
又由 x 时， f x ， x 时， f x ，
所以满足函数 f x 有两个零点，所以实数 a 的取值范围是( 0, 1) .
故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，以及函数与方程的综合应用，着重 考查了分类讨论，以及推理与运算能力.
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
所以由 P(100„ „ 110) 0.35 可得： P 110 120 0.35 ，
所以该班学生数学成绩在 120 分以上的概率为： P 120 1 1 0.35 0.35 0.15 ，
2
所以估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为： 0.15 60 9 （人） 故答案 为 ：9.
最大；③展开式中第 6 项和第 7 项的二项式系数最大.确定每种情况下展开式的项数，进而可求得 n 的值.
【详解】分以下三种情况讨论：
①展开式中第 5 项和第 6 项的二项式系数最大，则展开式共10 项，可得 n 1 10 ，得 n 9 ；
②展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式共11项，可得 n 1 11，得 n 10 ； ③展开式中第 6 项和第 7 项的二项式系数最大，则展开式共12 项，可得 n 1 12 ，得 n 11 . 因此， n 的可能值为 9 、10 、11.
2 ，得 C
2k
，k
Z，
6
62
C (0, ) ，C ．
2
3
由正弦定理知， sin B b ， sin A a
由余弦定理知， cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos A cosC sin B sin C ，
a
c
3sin A
1
b2 c2 a2 1 2 b 3 ，化简整理得， b(2 3 c) 0 ，
2022—2023 学年度第二学期高二年级期中考试 数学试卷
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.
U
已如集合
1, 2,3, 4,5, 6 ，
A 2, 4,5 ， B
1,3 ，则 A ðU B （
）
A. 6
B. 2, 4, 6
C6k 56k 66
，其中
0k
6, k N ，要使得 C6k 56k 66
最大，只需要 C6k
56k 最大，则 CC66kk
56k 56k
C6k 1 57k C6k 1 55k
，即
1
k
6
5 7
5 k
k k
1 1
，则
1 6
k
7 6
，又因为
0
k
6,
k
N
，则
k
1，
故选：B.
8. 若函数 f x ae2x a 2 ex x ， a 0 ，若 f x 有两个零点，则 a 的取值范围为（ ）
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：对二项式中的项的求解方法：
（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项 Tr Cnr anrbr 的特点，一般需要建立方程求得 r 的值，
A. 0,1
B. 0,1
C.
1 e
,
e
D.
1 e
,
e
【答案】A
【解析】
【分析】由于 f x 有两个零点，可得 f ( ln a) 1 1 ln a 0 ，令 u a 1 1 ln a ， u 1 0 ，
a
a
利用导数研究其单调性，即可求出 a 的范围，又由 x 时， f x ， x 时，
C. 2, 4,5
D. 2, 4,5, 6
【答案】C 【解析】
【分析】根据交集和补集的定义可求 A ðU B . 【详解】 ðU B 2, 4,5, 6 ，故 A ðU B 2, 4,5 ，
故选：C.
2. 已知复数 z a 1 ai a R ，则 a 1是 z 1的（ ）
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】A 【解析】
4
1
过
1
000
次”，则
PB
1 2
，易知 P AB
PB
1 2
，所以 P B
A
P AB P A
2 3
1 2
4 3
2 3
.
4
故选：B.
6. 在锐角 ABC 中，若 cos A cosC sin B sin C ，且 3 sin C cosC 2 ，则 a b 的取值范围是
a
c
3sin A
（）
当 a 0 ，令 f x 0 ，即 (2ex 1)(aex 1) 0 ，可得 ex 1 ，解得 x ln a ，
a
所以当 x (, ln a) 时， f x 0 ，函数 f x 在 (, ln a) 上单调递减；
当 x ( ln a, ) 时， f ¢( x) > 0 ，函数 f x 在 ( ln a, ) 上单调递增， 所以当 x ln a 时，函数 f x 取得极小值，
【分析】由 z 1求出 a 即可得出.
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【详解】由 z 1，可得 a 12 a2 1，解得 a 1或 0，
所以 a 1 是 z 1的充分不必要条件.
故选：A.
3. 某班有 60 名学生，一次考试后数学成绩 ~ N 110, 2 ，若 P 100 110 0.35 ，则估计该班
故选：ABD.
【点睛】本题考查相关系数与线性相关性之间关系的判断，考查推理能力，属于基础题.
10.
若
2x
1 x
n
的展开式中第
6
项的二项式系数最大，则
n
的可能值为（
）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
【答案】ABC
【解析】
【分析】
分三种情况讨论：①展开式中第 5 项和第 6 项的二项式系数最大；②展开式中只有第 6 项的二项式系数
因为 f x 有两个零点，所以 f ( ln a) a 1 (a 2) 1 ln a 1 1 ln a 0 ，
a2
a u 1 0 ，则 ua 1 1 0 ，
a
a2 a
所以函数 u x 在 (0, ) 上单调递增，所以 0 a 1 ，
【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩 的 概率分布关于 110 对称，利用对称写出要用的一段分数的概率，题目得解．
4. 2020 年 12 月 1 日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃
圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固
合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 为了对变量 x 与 y 的线性相关性进行检验，由样本点 x1, y1 、 x2, y 2 、L 、 x10 , y10 求得两个变
量的样本相关系数为 r ，那么下面说法中错误的有
A. 若所有样本点都在直线 y 2x 1上，则 r 1
a
c
3sin A
3
推出
A
(
，
)
，再根据可得
a
4 sin
A，b
4 sin
B
，于是
62
a b 4(sin A sin B) 4[sin A sin( 2 A)] ，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图 3
象与性质即可得解．
【详解】由
3 sin C
cos C
2 sin(C
)
【分析】由题意可得小明抽中 k
个隐藏款的概率为 C6k
1 k 6
1
1 6k 6
C6k 56k 66
，进而可得
CC66kk
56k 56k
C6k 1 57k C6k 1 55k
，解不等式组即可求出结果.
【详解】由题意可得小明抽中 k
个隐藏款的概率为 C6k
1 k 6
1
1 6k 6
B. 若所有样本点都在直线 y 2x 1上，则 r 2 C. 若 r 越大，则变量 x 与 y 的线性相关性越强
D. 若 r 越小，则变量 x 与 y 的线性相关性越强
【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相关系数与变量 x 与 y 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误.
【详解】若所有样本点都在直线 y 2x 1上，且直线斜率为负数，则 r 1 ，A、B 选项均错误； 若 r 越大，则变量 x 与 y 的线性相关性越强，C 选项正确，D 选项错误.
【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，
先选出两个垃圾桶，有 C42 6 种选法，
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有 A33 种放法；
所以不同的摆放方法共有 C42 A33 6 6 36 种，
故选：C.
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：
2bc
a c 3a 2
b 0 ，c 2 3 ，
a 由正弦定理，有 sin A
b sin B
c sin C
2
3 3
4 ，a
4 sin
A，b
4 sin
B
，
2
锐角 ABC ，且 C
， A (0, ) ， B
2
A
(0,
)
，解得
A
(
， )，
3
2
3
2
62
a b 4(sin A sin B) 4[sin A sin( 2 A)] 4(sin A 3 cos A 1 sin A) 4 3 sin( A ) ，