河北省衡水中学高三上学期期中考试——数学文数学文

河北省衡水中学
2017届高三上学期期中考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序
号填涂在答题卡上）
1.复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.已知集合，{}
,,B z z x y x A y A ==+∈∈，则的子集个数为（ ）
A ．8
B ．3
C ．4
D ．7
3.已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.将函数()cos f x x x =-的图象向左平移个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.已知等比数列中，，则的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
6.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7.如图，偶函数的图象如字母，奇函数的图象如字母，若方程，的实根个数分别为、，则（ ）
A ．12
B ．18
C ．16
D ．14
8.函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9.三棱锥中，平面,,1,ABC AC BC AC BC PA ⊥=== ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）
A ．3024
B ．1007
C ．2015
D ．2016
11.已知函数的极大值为m ，极小值为n ，则
m+n=( )
A.0
B.2
C.-4
D.-2
12.某实验室至少需要某种化学药品10，现在市场上出售的该药品有
两种包装，一种是每袋3，价格为12元；另一种是每袋2，价格为10元.但由于保质期的限制，每
一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为（ ）元
A ．56
B ．42
C ．44
D ．54
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13.与直线垂直的直线的倾斜角为
14.若函数(21)1()1a x f x x x
++=++为奇函数，则________． 15．已知22:12,:210,(0)p x q x x a a -≤-+-≥>，若是的充分不必要条件，则实数的取值范
围是 ．
16．如图，在三棱锥中，BC DC AB AD ===，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点
（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
17.(本小题满分12分）如图，在中，，，是边上一点．
（I ）求的面积的最大值；
（Ⅱ）若的面积为4，为锐角，求的长．
18．(本小题满分12分）已知数列中，，，记为的前项的和，，．
（1）判断数列是否为等比数列，并求出；
（2）求.
19. (本小题满分12分）
如图所示，在多面体中，是边长为2的等边三角形，为的中点，//,EF AO EA EC EF ===
（1）求证：；
（2）若，求点到平面的距离．
20．(本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为矩形，，，点在底面上的射影在上，，分别是的中点.
（I）证明：平面；
（II）在边上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
设函数.
（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．请在答题卡上将所做的题号后面的方框涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知直线:（t 为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，
曲线的极坐标方程为,直线和曲线的交点为．
（Ⅰ）求直线和曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）求．
23．已知函数，
（Ⅰ）解关于的不等式；
（Ⅱ）若函数的图像恒在函数图像的上方，求实数的取值范围．
高三期中考试文科数学参考答案
1-5.BADAB 6-10.BADA B 11. D 12. C
13. 14.-1 15. 16.
17. （1）因为在中，030,B AC D ∠==是边上一点，
所以由余弦定理得：
(
22222AC 20AB BC 2AB BCcos ABC AB BC BC 2AB BC ==+-⋅∠=+⋅≥⋅
所以(202
AB BC ⋅≤=+
所以(ABC 1S AB BCsinB 522=⋅≤+ 所以的面积的最大值为
（2）设，在中，
因为的面积为，为锐角，
所以ABC 11S AC CDsin 2sin 422
=⋅θ=⨯θ=
所以sin θθ==，
由余弦定理，得，222AD AC CD 2AC CD cos 204816=+-⋅θ=+-= 所以，
由正弦定理，得，所以，所以，
此时，所以．所以的长为
18. （1），，
，即 2分
， 22112221221221111222
n n n n n n n n n n a a b a a b a a a a -+++--++===++ 所以是公比为的等比数列. 5分
，，
1313()222
n n n b -∴=⨯= 6分 （2）由（1）可知，所以是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公比的等比数列 10分
21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++
1111()[1()]322231121122
n n n --=+=--- 12分
19.
（1）取的中点，连接，因为，所以，
因为为等边三角形，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以
（2）
因为在中，2EA EC AC ===，
所以，
因为为等边三角形，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以平面，
又因为，所以
133E BCA V -==， 因为，所以,
因为，四边形为平行四边形，，
所以01120,22AOF AOF S ∆∠=== 设点到平面的距离为，
由
12B AFO F BCA V V --==，得，解得
20. （I ）在矩形中，，且是的中点，
∴∠=∠,
∴∠=∠,
∵∠∠,∴∠∠,即⊥.
由题可知面面，且交线为，∴面.
（II ）作的中点，的中点，连结、.
∵∥，且 ∴四边形为平行四边形，∴∥
∵是的中点，是的中点，∴∥，∴∥.
作作∥交于，连结，
∵∥,∥，∴平面∥平面，∴∥平面.
由∥可知：∴
21. （1）函数定义域为：，对函数求导：，
若函数在上为减函数，则0ln 1ln )(2≤--=
'a x
x x f 在恒成立 所以： ………2分
由a x a x
x x f -+--=--='41)21ln 1(ln 1ln )(22，故当，即时， 所以：，所以的最小值是………………5分
（2）若存在，使成立，则问题等价为：
当时，
由（1）知：在的最大值为，所以
所以问题转化为：………………7分
（ⅰ）当时，由（1）知：在是减函数， 所以的最小值是412)(222
≤-=ae e e f ，解得： （ⅱ）当时，a x x f -+--='4
1)21ln 1()(2在的值域是 ①当，即时，在是增函数，于是： 41)()(min >
≥-==e ae e e f x f ，矛盾 ②当，即时，由的单调性和值域知：存在唯一的，使得 且当时，，为减函数；当时，，为增函数 所以：的最小值为4
1ln )(0000≤-=ax x x x f ， 即：4
1412141ln 141ln 1200>-=->-≥e e e x x a ，矛盾 综上有：
22．解：（1）直线的普通方程是：，曲线C 的普通方程是：……4分
（2）将直线的标准参数方程是：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 222221（t 为参数）代入曲线可得 ，所以26||||||||2121=+=+=+t t t t PB PA ………………10分
23.（Ⅰ）；（Ⅱ）． 解：（Ⅰ）由得，242,26x x ∴-<-<∴<<，
故不等式的解集为 （5分）
（Ⅱ）∵函数的图象恒在函数图象的上方 ∴恒成立，即恒成立 ∵()444x x x x -+≥--=， ∴的取值范围为． （10分）。