(通用版)2020高考数学一轮复习2.3函数的奇偶性与周期性讲义理

1．函数的奇偶性
奇偶性定义图象特点
偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)
＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)
＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
口诀记忆
奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心，偶函数，有对称.
2.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
并不是所有周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.
[熟记常用结论]
1．奇偶性的5个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．2．周期性的4个常用结论
设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
(3)若f(x＋a)＝
1
f x
，则函数的周期为2a；
(4)若f (x ＋a )＝－1
f x ，则函数的周期为2a .
3．对称性的3个常用结论
(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；
(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( ) (4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、选填题
1．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |
D ．y ＝2－
x
解析：选B A 中函数为奇函数，B 中函数为偶函数，C 与D 中函数均为非奇非偶函数，故选B.
2．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e x C ．y ＝|x |
D ．y ＝e x －e －
x
解析：选D A 、B 选项中的函数为非奇非偶函数；C 选项中的函数为偶函数；D 选项中的函数为奇函数，故选D.
3．若y ＝f (x )(x ∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y ＝f (x )图象上的是( ) A ．(a ，－f (a )) B ．(－a ，－f (a )) C ．(－a ，－f (－a ))
D ．(a ，f (－a ))
解析：选B 因为(a ，f (a ))是函数y ＝f (x )图象上的点，且y ＝f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以点(－a ，f (－a ))，即(－a ，－f (a ))一定在y ＝f (x )的图象上．
4．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 解析：∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.
又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1
3
.
答案：13
5．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－4x 2
＋2，－1≤x ＜0，
x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫
32＝________.
解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为2的函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－1
22＋2＝－1＋2＝1. 答案：1
考点一
[基础自学过关]
函数奇偶性的判定
[题组练透]
判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)
1－x
1＋x
； (2)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2＋2x ＋1，x >0，
x 2＋2x －1，x ＜0；
(3)f (x )＝4－x 2
x 2
；
(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x
1＋x ≥0，
所以－1＜x ≤1，
所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：定义法
当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，
－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，
－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数． 法二：图象法
作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．
(3)因为⎩
⎪⎨⎪⎧
4－x 2
≥0，
x 2≠0，所以－2≤x ≤2且x ≠0，
所以定义域关于原点对称． 又f (－x )＝
4－－x
2
－x 2
＝4－x 2x 2
，
所以f (－x )＝f (x )．故函数f (x )为偶函数． (4)函数的定义域为R ， 因为f (－x )＋f (x ) ＝log a [－x ＋
－x
2
＋1]＋log a (x ＋x 2＋1)
＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x ) ＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )] ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0.
即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．
[名师微点]
判断函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．
(2)图象法：
(3)性质法：
设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
[提醒] 分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x ＜0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
考点二
[师生共研过关]
函数奇偶性的应用
[典例精析]
(1)(2019·广州调研)已知函数f (x )＝2x
2x －1
＋a 为奇函数，则实数a ＝________.
(2)函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.
(3)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为________．
[解析] (1)易知f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2
－x
2－x －1＋a ＝－2x 2x －1－a ，所以2a ＝－2x 2x －1－2－x
2－x －1＝－2x 2x －1－11－2
x ＝－1，所以a ＝－1
2. (2)∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x >0，
f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)＝x －1， 即x ＜0时，f (x )＝x －1.
(3)由题意得，g (－x )＝f (－x －1)，
∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)， 即f (x －1)＋f (x ＋1)＝0.
∴f (2 017)＋f (2 019)＝f (2 018－1)＋f (2 018＋1)＝0. [答案] (1)－1
2
(2)x －1 (3)0
[解题技法]
与函数奇偶性有关的问题及解题策略
(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．
(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )，f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x ＝0处有定义的奇函数f (x )，可考虑列等式f (0)＝0求解．
[过关训练]
1．设f (x )－x 2＝g (x )，x ∈R ，若函数f (x )为偶函数，则g (x )的解析式可以为( ) A ．g (x )＝x 3 B ．g (x )＝cos x C ．g (x )＝1＋x
D ．g (x )＝x e x
解析：选B 因为f (x )＝x 2＋g (x )，且函数f (x )为偶函数，所以有(－x )2＋g (－x )＝x 2＋g (x )，即g (－x )＝g (x )，所以g (x )为偶函数，由选项可知，只有选项B 中的函数为偶函数，故选B.
2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 21－x ，x ＜0，g x ＋1，x >0，
若f (x )是奇函数，则g (3)的值是( )
A ．1
B ．3
C ．－3
D ．－1
解析：选C ∵函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 21－x ，x ＜0，
g x ＋1，x >0，f (x )是奇函数，∴f (－3)＝－f (3)，∴log 2(1
＋3)＝－(g (3)＋1)，则g (3)＝－3.故选C.
3．若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
4＋x
2x 2
＋cos x (t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a ＋b ＝2，则t ＝________.
解析：f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4＋x
2x 2＋cos x ＝t ＋t sin x ＋x
2x 2＋cos x
，
设g (x )＝t sin x ＋x
2x 2＋cos x ，则g (x )为奇函数，g (x )max ＝a －t ，g (x )min ＝b －t .∵g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴a
＋b －2t ＝0，即2－2t ＝0，解得t ＝1.
答案：1
考点三
[师生共研过关]
函数的周期性
[典例精析]
(1)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
21－x ，0≤x ≤1，
x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝
，
那么f 2 019(2)的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.
[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，故选C. (2)∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝2， ∵当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2， ∴f (0)＝0，f (1)＝1，
∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0， f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 019)＝1. 故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010. [答案] (1)C (2)1 010
[解题技法]
函数周期性有关问题的求解策略
(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x 轴的直线上，对称轴平行于y 轴)，那么这个函数一定具有周期性．
[口诀记忆]函数周期三类型：一类直接定义求；二类图象题中有，图象重复是破口；三类图见两对称，隐藏周期别疏忽.
[过关训练]
1．[口诀第2句]已知函数f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >1
2
时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0
D ．2
解析：选D 当x >1
2时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即周期为1，则f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2.
2．[口诀第3、4句]已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：选B 当0≤x ＜2时，令f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.
当2≤x ＜4时，0≤x －2＜2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )， 所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，
所以当2≤x ＜4时，y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 3＝2，x 4＝3. 同理可得，当4≤x ＜6时，y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 5＝4，x 6＝5. 当x 7＝6时，也符合要求． 综上可知，共有7个交点．
3．[口诀第5、6句]已知定义在R 上的奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( )
A ．f (log 27)＜f (－5)＜f (6)
B ．f (log 27)＜f (6)＜f (－5)
C．f(－5)＜f(log27)＜f(6)
D．f(－5)＜f(6)＜f(log27)
解析：选C因为奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝f(0)＝0.于是，结合题意可画出函数f(x)在[－2,4]上的大致图象，如图所示．又2＜log27＜3，所以结合图象可知－1＜f(log27)＜0，故f(－5)＜f(log27)＜f(6)，故选C.
考点四
[全析考法过关] 函数性质的综合应用
[考法全析]
考法(一)单调性与奇偶性综合
[例1](2018·石家庄质检)已知f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为()
A．{x|0＜x＜1或x>2}B．{x|x＜0或x>2}
C．{x|x＜0或x>3} D．{x|x＜－1或x>1}
[解析]因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)>0可转化为－1＜x－1＜0或x－1>1，解得0＜x＜1或x>2，故选A.
[答案] A
考法(二)奇偶性与周期性综合
[例2](2019·赣州月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为()
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
[解析]∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，
∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．
又∵函数f(x)是偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1，
∴a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.
[答案] D
考法(三)单调性、奇偶性与周期性结合
[例3](2019·达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是()
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．a>c>b
[解析]∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8＜－0.5＜－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，∴a>c>b，故选D.
[答案] D
[规律探求]
看个性考法(一)是已知函数单调递增且为奇函数，求自变量范围，有时也比较大小，常利用奇、偶函数图象的对称性；
考法(二)是已知f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值的范围，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
考法(三)是函数周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解
找共性对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题
[过关训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()
A．－50B．0
C．2 D．50
解析：选C∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.
2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上单调递减，则f (x )在[1,3]上是( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．先增后减的函数
D ．先减后增的函数
解析：选D 根据题意，∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2.又∵f (x )在定义域R 上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，∴函数f (x )在[0,1]上是增函数，∴函数f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，∴f (x )在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.
3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －
1|)＞
f (－2)，则a 的取值范围是________．
解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2
|a －1|
)＞f (2)，∴2
|a －1|
＜2＝21
2
，
∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜3
2.
答案：⎝⎛⎭⎫
12，32
[课时跟踪检测]
一、题点全面练
1．(2018·天水一模)下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2 C ．y ＝1x
D ．y ＝x |x |
解析：选D 对于A ，y ＝x ＋1为非奇非偶函数，不满足条件．对于B ，y ＝－x 2是偶函数，不满足条件．对于C ，y ＝1
x 是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．对于D ，设f (x )＝x |x |，
则f (－x )＝－x |x |＝－f (x )，则函数为奇函数，当x >0时，y ＝x |x |＝x 2，此时为增函数，当x ≤0时，y ＝x |x |＝－x 2，此时为增函数，综上，y ＝x |x |在R 上为增函数．故选D.
2．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12
B.12
C ．2
D ．－2
解析：选B 由已知得f (－2)＝f (2)＝log 22＝1
2
.故选B.
3．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫
52的值为( ) A.12 B.14 C ．－14
D ．－12
解析：选A ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为 2.∴f ⎝⎛⎭⎫
52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋2＝f ⎝⎛⎭⎫12＝2×1
2×⎝
⎛⎭⎫1－12＝12. 4．(2018·佛山一模)已知f (x )＝2x ＋a 2x 为奇函数，g (x )＝bx －log 2(4x ＋1)为偶函数，则f (ab )＝( )
A.174
B.52 C ．－154
D ．－32
解析：选D 根据题意，f (x )＝2x
＋a 2x 为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，即⎝⎛⎭⎫2－x ＋a 2－x ＋⎝⎛⎭⎫2x ＋a 2x ＝0，解得a ＝－1.
g (x )＝bx －log 2(4x ＋1)为偶函数，则g (x )＝g (－x )， 即bx －log 2(4x ＋1)＝b (－x )－log 2(4－
x ＋1)，
解得b ＝1，则ab ＝－1，
所以f (ab )＝f (－1)＝2－
1－12
－1＝－32.
5．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2
－f x 1
x 2－x 1
＜0，
则( )
A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)
B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)
C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)
D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)
解析：选A ∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)．又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1
x 2－x 1＜0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．又∵1＜2＜3，∴f (1)>f (2)＝f (－2)>f (3)，故选
A.
6．已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x 1＋x
＋t ，若f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫
－12＝6，则实数t ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1
D ．3
解析：选D 令g (x )＝a sin x ＋b ln
1－x 1＋x
，易知g (x )为奇函数，所以g ⎝⎛⎭⎫12＋g ⎝⎛⎭⎫－12＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－12＝g ⎝⎛⎭⎫12＋g ⎝⎛⎭
⎫－1
2＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3.故选D. 7．(2019·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫
2 0192＝( )
A.3＋1
B.3－1 C ．－3－1
D ．－3＋1
解析：选D 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫
2 0192＝f ⎝⎛⎭⎫1 008＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12.又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝－3＋1.
8．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫1，5
3 B.⎝⎛⎭⎫－∞，5
3 C ．(1,3)
D.⎝⎛⎭⎫53，＋∞
解析：选A ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1＜x ＜1，f (－x )＝－f (x )，∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，即f (m －2)>f (－2m ＋3)．∵f (x )是减函数，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－1＜m －2＜1，－1＜2m －3＜1，m －2＜－2m ＋3，
∴1＜m ＜5
3
.
9．(2019·洛阳第一次统考)若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝________. 解析：法一：(定义法)∵函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ln(e －
x ＋1)－ax
＝ln(e x ＋1)＋ax ，∴2ax ＝ln(e －x ＋1)－ln(e x
＋1)＝ln e －
x ＋1e x ＋1
＝ln 1e x ＝－x ，∴2a ＝－1，解得a ＝－1
2.
法二：(取特殊值)由题意知函数f (x )的定义域为R ，由f (x )为偶函数得f (－1)＝f (1)，∴ln(e －
1＋
1)－a ＝ln(e 1＋1)＋a ，∴2a ＝ln(e －1＋1)－ln(e 1
＋1)＝ln e －
1＋1e ＋1
＝ln 1e ＝－1，∴a ＝－1
2.
答案：－1
2
10．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ＜1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭
⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.
∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0) ＝21
2－1＋20－1 ＝2－1. 答案：2－1
二、专项培优练
(一)技法专练——活用快得分
1．[巧用性质]已知函数f (x )＝2|x |＋
1＋x 3＋2
2|x |＋1
的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
解析：选C f (x )＝
2
2|x |＋1＋x 32|x |＋1＝2＋x 3
2|x |＋1
，
设g (x )＝x 3
2|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R)，
∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0.
∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ， ∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4. 2．[巧用性质]设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x 2
，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为________．
解析：由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－
11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2
在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，
两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1＜0，解得1
3＜x ＜1.
所以x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫
13，1. 答案：⎝⎛⎭⎫13，1
3．[数形结合]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋2x ，x >0，0，x ＝0，
x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x ＜0，则－x >0，
所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.
(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，作出f (x )的图象如图所示，
结合f (x )的图象知⎩
⎪⎨⎪⎧
a －2>－1，
a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．
(二)素养专练——学会更学通
4．[逻辑推理]奇函数f (x )的定义域为R.若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0
D ．1
解析：选D 由函数f (x ＋2)为偶函数可得，f (2＋x )＝f (2－x )． 又f (－x )＝－f (x )，故f (2－x )＝－f (x －2)， 所以f (2＋x )＝－f (x －2)，即f (x ＋4)＝－f (x )． 所以f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )， 故该函数是周期为8的周期函数． 又函数f (x )为奇函数，故f (0)＝0. 所以f (8)＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1.
5．[逻辑推理]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)
B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)
C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)
D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)
解析：选D ∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，
∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．
由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．
∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， ∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)＜f (0)＜f (1)， 即f (－25)＜f (80)＜f (11)．
6．[数学运算]定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值等于( )
A ．403
B ．405
C ．806
D ．809
解析：选B 定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.
7．[数学运算]设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；
(2)当－4≤x ≤4时，求函数f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，
f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，
所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．
故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．
当－4≤x ≤4时，设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.。