2021年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁)数学试题白卷(含答案解析)
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所以 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以 ，
过点 作 的垂线，垂足为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即多面体 的体积为 .
故答案为： .
【点睛】
求空间几何体的表面积与体积的求法：
（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；
【详解】
正方体中， 平面 ， 平面 ， ，
正方形 中， ， ， 平面 ，故A正确；
是正三角形，且边长为 ，当 为 中点时， 取的最小值为 ，故B正确；
正方体中， 且 ，故四边形 是平行四边形，
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可得 平面 ， ， 平面 平面 ，故C正确；
易得 ，则异面直线 与 所成角即为 与 所成角，且当 为 中点时， 与 所成角的最大值为 ，故D错误.
垃圾量
频数
4
6
7
9
11
6
4
3
（以区间中点值作为该组产生的垃圾量）
（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值；
（2）市政府决定从样本中的“超标”社区中选取4个检验分类成果，经统计，垃圾量不超过30吨/天时可回收率为28%，垃圾量在30吨/天及以上时可回收率为25%．记 为选取社区回收资源量（单位：吨），求 的分布列和数学期望（结果精确到0.01）．
A． 是偶函数B． 的图象关于 对称
C． 在 上有3个实数根D．
11．如图，正方体 的棱长为1， 是线段 上的动点，则下列结论中正确的是（）
A． 平面 B． 的最小值为
C．平面 平面 D．异面直线 与 所成角的最大值是
12．已知直线 ： 和圆 ： ，则（）
A．存在 使得直线 与直线 ： 垂直
B．直线 恒过定点
故选：ABC.
12．AC
【分析】
用直线与直线的位置关系和直线与圆的位置关系逐一判断选项即可.
【详解】
解：A：当 时，直线 ： ，即 ，斜率为 ，与直线 ： 垂直，故A正确；
B：直线 ： ，恒过 ，故B不正确；
C：圆心到直线的距离为 ， ，则 ，若 ，则直线 与圆 相交，故C正确；
D： ，则直线 被圆 截得的弦长 ，
所以 ，所以函数 一定不是偶函数，所以A不正确；
当 时， ，所以 ，
由 ，可得 ，又由 ，所以C正确.
故选：BC.
【点睛】
方法点拨：由 为偶函数，可得 的图象关于 对称，由 是奇函数，可得 的图象关于点 对称，得到 和 ，结合题设条件，逐项判定是解答的关键.
11．ABC
【分析】
根据 和 可证 平面 ；根据 是正三角形可得当 为 中点时， 取的最小值；由面面平行的判定定理可得平面 平面 ；异面直线 与 所成角即为 与 所成角，当 为 中点时， 与 所成角取得最大值.
所以 ，即 ，
解得 （小时）.
故选：D
4．A
【分析】
由 轴可得 点坐标，求出左顶点坐标，计算斜率可得 的关系，解出可求离心率.
【详解】
解：因为 轴，则 点的横坐标为 ，且点 在椭圆上，代入椭圆方程 ，解得 点坐标 ，
又椭圆左顶点坐标为 ，直线斜率为 ，所以有 ，即 ，代入 可得 ，即 解得 （舍）或 ，则离心率为 .
A． B． C． D．
2． 个数据的平均数为 ，中位数为 ，方差为 ．若将这 个数据均扩大到原来的2倍得到一组新数据，则下列关于这组新数据的说法正确的是（）
A．平均数为 B．中位数为 C．标准差为 D．方差为
3．某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度 与其采摘后时间 （小时）满足的函数关系式为 ．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（）（已知 ，结果取整数）
注意和差角公式的准确应用，以及充分不必要条件的理解，从而得参数的范围.
14．7
【分析】
由已知条件设 型机器人的个数，由此可知 型机器人的个数与机器人总个数，再套用古典概型的概率公式可直接求出 型机器人的个数.
【详解】
设 型机器人有 个，则 型机器人有 个， 型机器人与 型机器人共 个；
已知， 型机器人被选中的概率为 ，
（1）证明： 平面 ；
（2）若 为 中点，求直线 与平面 所成角的余弦值．
20．自从开始实施生活垃圾分类，这一举措对改善环境污染起到了积极的作用，但其是一个需要长期落实的过程，只有坚持落实，才能持续减少对环境的污染．为了解垃圾分类的落实情况，现某市从人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）行了调查，得到如下频数分布表，并将产生的垃圾量在28吨/天及以上的社区确定为“超标”社区：
A．42小时B．53小时C．56小时D．67小时
4．已知椭圆 ： ，过椭圆左顶点，且斜率为 的直线交椭圆 于另外一点 ，椭圆右焦点为 ， 轴，则椭圆 的离心率为（）
A． B． C． D．
5．函数 在 轴正半轴的图象大致为（）
A． B．
C． D．
6．已知函数 （ ， ， ）部分图象如图所示，则 和 的值分别为（）
C．若 ，则直线 与圆 相交
D．若 ，则直线 被圆 截得的弦长的取值范围为
三、填空题
13．已知命题 ： ，命题 ： ，若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围为______．
14．在一次机器人比赛中，有供选择的 型机器人和 型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛， 型机器人被选中的概率为 ，若 型机器人比 型机器人多4个，则 型机器人的个数为______．
【分析】
由图象可得函数的周期，继而求解出 的值，然后代入特殊点计算出 的值，即可得到结果.
【详解】
由图象可知 个周期的长度为 ，
即 ，可得 ，
，则 ；
欲求 ，选择图象上的已知点 代入即可，
得 ，
可得 ，则 ，又 ，所以 .
综上 ， .
故选：A.
7．C
【分析】
判断函数为偶函数，求出 时的最小值，由最小值大于等于 ，进而求解 的范围.
根据题意，可得函数 的定义域为 ，
由函数 为偶函数，可得函数 的图象关于 对称，
即 ，所以B正确；
由函数 是奇函数，可得函数 的图象关于点 对称，
即 ，可得 ，
则 ，即函数 是以8为周期的周期函数，
当 时， ，可得 ，
即 ，所以D不正确；
由函数 是以8为周期的周期函数，可得 ，
因为 ，令 ，可得 ，
， ，
，故A正确；
，故B错误；
，所以 ，故C正确；
由 ，则 的真子集个数是 ，故D正确.
故选：ACD
10．BC
【分析】
由 为偶函数，得到 的图象关于 对称，可判定B正确；由 是奇函数，得到函数 关于点 对称，得到 和 ，根据题意，求得 ，可判定D不正确；由 ，可判定A不正确；由 ，可判定C正确.
【详解】
21．已知双曲线 ： （ ， ）的一个焦点坐标为 ，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为 ， 为坐标原点．
（1）求双曲线 的方程；
（2）直线 与 轴正半轴相交于一点 ，与双曲线 右支相切（切点不为右顶点），且 分别交双曲线 的两条渐近线于 ， 两点，证明： 的面积为定值，并求出该定值．
22．已知函数 .
【点睛】
结论点睛：过椭圆的焦点做与 轴垂直的直线，与椭圆相交，则交点坐标为 .
5．D
【分析】
根据 ，化简函数的解析式，结合对数型函数的性质，幂函数的性质进行判断即可.
【详解】
当 时， ，
因为 ，所以 ，因此可以排除A，C，
因为当 时，函数 单调递减，所以函数 单调递减，因此可以排除B，
故选：D
6．A
2021年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）数学试题白卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数，其余都是人做的工作”，复数是由数学家在数系中规定了虚数 而得到．若复数 满足 ，则 （）
， ，则 ，所以弦长 .故D不正确；
故选：AC.
【点睛】
知识点点睛：直线与圆相交求弦长，则弦长 ，其中 为圆心到直线的距离.
13．
【分析】
由 ，利用和差角公式，可得命题p表示的范围，
因为 是 的充分不必要条件，则 ，
从而得出k的范围.
【详解】
，
，故 ，
是 的充分不必要条件，则 ，
，即 .
故答案为：
【点睛】
A．2； B．2； C． ； D． ；
7．函数 ，对 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
8．若数列 满足 ，则称 为“梦想数列”，已知正项数列 为“梦想数列”，且 ，则 （）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知全集 ，集合 ， ，则（）
A． B．
C． D． 的真子集个数是7
10．已知定义域为 的函数 满足 是奇函数， 为偶函数，当 ， ，则（）
8．B
【分析】
由“梦想数列”的定义，可推导出 ，即数列 为等比数列，由等比数列通项公式可计算 的值.
【详解】
解：若 为“梦想数列”，则有 ，即 ，即 ，且 ，所以数列 为以2为首项，以 为公比的等比数列.
则 .
故选：B.
9．ACD
【分析】
求出集合 ，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.
【详解】
【详解】
解：函数 的定义域为 ，且 ，则函数为偶函数，
则问题只需考虑 时即可.
当 时，函数 单调递增， 的最小值为 ；
当 时，函数 单调递增， 的最小值为 .
要使 ，则只需 即可，∴ .
即 的取值范围为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查分段函数不等式恒成立问题，对数函数的值域，考查运算求解能力与化归转化能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，将问题转化为函数的最小值大于等于 .
【详解】
连接 与 ，
所以多面体 被线段 ， 分为三棱锥 和四棱锥 ，
所以 ，
因为三棱柱 为直三棱柱，所以 底面 ，
又因为 底面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
又因为 为 的中点，所以 ，所以 ，
因为 ，可得
由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
15．已知 ．若 ，且 与 夹角为 ，则 ______．
16．已知直三棱柱 中， ， ，且 ，若点 为 中点，点 为 中点，且 ，平面 交底面棱 于点 ，且满足 ，则多面体 的体积为______．
四、解答题
17．在① ， ；② 且 ， ， 成等差数列；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
方差为 ，标准差为 ，故C,D错；
故选：B
【点睛】
熟悉平均数、中位数、方差、标准差的概念，特别是一组数据扩大某个倍数或增加某个数值的情况下，平均数、中位数、方差、标准差的变化.
3．D
【分析】
利用指数的运算得出 ，再利用对源自的运算即可求解.【详解】由题意可得 ，①
，②
② ①可得 ，解得 ，
所以 ，③
③ ①可得 ，
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）若函数 无零点，求实数 的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】
根据复数的除法的运算法则进行计算即可.
【详解】
由 ，
故选：C
2．B
【分析】
个 数据的平均数为 ，中位数为 ，方差为 ．
若将这 个数据均扩大到原来的2倍得到一组新数据 ，
根据平均数、中位数、方差、标准差的定义进行判断即可.
问题：记数列 的前 项和为 ，已知______，求数列 的通项公式．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上，满足 为 的平分线， 且 ，求 的长．
19．如图，已知三棱锥 中， 为等边三角形， 且 ，平面 平面 ，其中 为 中点， 为 中点， 为 上靠近 的三等分点，设平面 与平面 的交线为 ．
所以， ，解得 .
故答案为：7.
15．
【分析】
利用二倍角公式求出 以及 ，再由向量的数量积的定义即可求解.
【详解】
,
所以 ，
由 ，
解得 .
故答案为：
16．
【分析】
连接 ， ，得到 ，由 底面 ，得到 ，证得 平面 ，分别求得 ，所以 ，再由 平面 ，得到 平面 ，利用体积公式，求得 ，即可求得多面体 的体积.
【详解】
个 数据的平均数为 ，中位数为 ，方差为 ．
若将这 个数据均扩大到原来的2倍得到一组新数据 ，
则由于平均数为所有数之和除以m，故平均数变为 ，故A错；
中位数为这组数从小到大排列后中间的那个数或中间两数和的平均数，
由于每个数都变为原来2倍，所以中位数也变为原来的2倍，即 ，故B对；
方差描述的是这组数的波动情况， 的方差为 ，则 的
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以 ，
过点 作 的垂线，垂足为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即多面体 的体积为 .
故答案为： .
【点睛】
求空间几何体的表面积与体积的求法：
（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；
【详解】
正方体中， 平面 ， 平面 ， ，
正方形 中， ， ， 平面 ，故A正确；
是正三角形，且边长为 ，当 为 中点时， 取的最小值为 ，故B正确；
正方体中， 且 ，故四边形 是平行四边形，
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可得 平面 ， ， 平面 平面 ，故C正确；
易得 ，则异面直线 与 所成角即为 与 所成角，且当 为 中点时， 与 所成角的最大值为 ，故D错误.
垃圾量
频数
4
6
7
9
11
6
4
3
（以区间中点值作为该组产生的垃圾量）
（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值；
（2）市政府决定从样本中的“超标”社区中选取4个检验分类成果，经统计，垃圾量不超过30吨/天时可回收率为28%，垃圾量在30吨/天及以上时可回收率为25%．记 为选取社区回收资源量（单位：吨），求 的分布列和数学期望（结果精确到0.01）．
A． 是偶函数B． 的图象关于 对称
C． 在 上有3个实数根D．
11．如图，正方体 的棱长为1， 是线段 上的动点，则下列结论中正确的是（）
A． 平面 B． 的最小值为
C．平面 平面 D．异面直线 与 所成角的最大值是
12．已知直线 ： 和圆 ： ，则（）
A．存在 使得直线 与直线 ： 垂直
B．直线 恒过定点
故选：ABC.
12．AC
【分析】
用直线与直线的位置关系和直线与圆的位置关系逐一判断选项即可.
【详解】
解：A：当 时，直线 ： ，即 ，斜率为 ，与直线 ： 垂直，故A正确；
B：直线 ： ，恒过 ，故B不正确；
C：圆心到直线的距离为 ， ，则 ，若 ，则直线 与圆 相交，故C正确；
D： ，则直线 被圆 截得的弦长 ，
所以 ，所以函数 一定不是偶函数，所以A不正确；
当 时， ，所以 ，
由 ，可得 ，又由 ，所以C正确.
故选：BC.
【点睛】
方法点拨：由 为偶函数，可得 的图象关于 对称，由 是奇函数，可得 的图象关于点 对称，得到 和 ，结合题设条件，逐项判定是解答的关键.
11．ABC
【分析】
根据 和 可证 平面 ；根据 是正三角形可得当 为 中点时， 取的最小值；由面面平行的判定定理可得平面 平面 ；异面直线 与 所成角即为 与 所成角，当 为 中点时， 与 所成角取得最大值.
所以 ，即 ，
解得 （小时）.
故选：D
4．A
【分析】
由 轴可得 点坐标，求出左顶点坐标，计算斜率可得 的关系，解出可求离心率.
【详解】
解：因为 轴，则 点的横坐标为 ，且点 在椭圆上，代入椭圆方程 ，解得 点坐标 ，
又椭圆左顶点坐标为 ，直线斜率为 ，所以有 ，即 ，代入 可得 ，即 解得 （舍）或 ，则离心率为 .
A． B． C． D．
2． 个数据的平均数为 ，中位数为 ，方差为 ．若将这 个数据均扩大到原来的2倍得到一组新数据，则下列关于这组新数据的说法正确的是（）
A．平均数为 B．中位数为 C．标准差为 D．方差为
3．某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度 与其采摘后时间 （小时）满足的函数关系式为 ．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（）（已知 ，结果取整数）
注意和差角公式的准确应用，以及充分不必要条件的理解，从而得参数的范围.
14．7
【分析】
由已知条件设 型机器人的个数，由此可知 型机器人的个数与机器人总个数，再套用古典概型的概率公式可直接求出 型机器人的个数.
【详解】
设 型机器人有 个，则 型机器人有 个， 型机器人与 型机器人共 个；
已知， 型机器人被选中的概率为 ，
（1）证明： 平面 ；
（2）若 为 中点，求直线 与平面 所成角的余弦值．
20．自从开始实施生活垃圾分类，这一举措对改善环境污染起到了积极的作用，但其是一个需要长期落实的过程，只有坚持落实，才能持续减少对环境的污染．为了解垃圾分类的落实情况，现某市从人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）行了调查，得到如下频数分布表，并将产生的垃圾量在28吨/天及以上的社区确定为“超标”社区：
A．42小时B．53小时C．56小时D．67小时
4．已知椭圆 ： ，过椭圆左顶点，且斜率为 的直线交椭圆 于另外一点 ，椭圆右焦点为 ， 轴，则椭圆 的离心率为（）
A． B． C． D．
5．函数 在 轴正半轴的图象大致为（）
A． B．
C． D．
6．已知函数 （ ， ， ）部分图象如图所示，则 和 的值分别为（）
C．若 ，则直线 与圆 相交
D．若 ，则直线 被圆 截得的弦长的取值范围为
三、填空题
13．已知命题 ： ，命题 ： ，若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围为______．
14．在一次机器人比赛中，有供选择的 型机器人和 型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛， 型机器人被选中的概率为 ，若 型机器人比 型机器人多4个，则 型机器人的个数为______．
【分析】
由图象可得函数的周期，继而求解出 的值，然后代入特殊点计算出 的值，即可得到结果.
【详解】
由图象可知 个周期的长度为 ，
即 ，可得 ，
，则 ；
欲求 ，选择图象上的已知点 代入即可，
得 ，
可得 ，则 ，又 ，所以 .
综上 ， .
故选：A.
7．C
【分析】
判断函数为偶函数，求出 时的最小值，由最小值大于等于 ，进而求解 的范围.
根据题意，可得函数 的定义域为 ，
由函数 为偶函数，可得函数 的图象关于 对称，
即 ，所以B正确；
由函数 是奇函数，可得函数 的图象关于点 对称，
即 ，可得 ，
则 ，即函数 是以8为周期的周期函数，
当 时， ，可得 ，
即 ，所以D不正确；
由函数 是以8为周期的周期函数，可得 ，
因为 ，令 ，可得 ，
， ，
，故A正确；
，故B错误；
，所以 ，故C正确；
由 ，则 的真子集个数是 ，故D正确.
故选：ACD
10．BC
【分析】
由 为偶函数，得到 的图象关于 对称，可判定B正确；由 是奇函数，得到函数 关于点 对称，得到 和 ，根据题意，求得 ，可判定D不正确；由 ，可判定A不正确；由 ，可判定C正确.
【详解】
21．已知双曲线 ： （ ， ）的一个焦点坐标为 ，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为 ， 为坐标原点．
（1）求双曲线 的方程；
（2）直线 与 轴正半轴相交于一点 ，与双曲线 右支相切（切点不为右顶点），且 分别交双曲线 的两条渐近线于 ， 两点，证明： 的面积为定值，并求出该定值．
22．已知函数 .
【点睛】
结论点睛：过椭圆的焦点做与 轴垂直的直线，与椭圆相交，则交点坐标为 .
5．D
【分析】
根据 ，化简函数的解析式，结合对数型函数的性质，幂函数的性质进行判断即可.
【详解】
当 时， ，
因为 ，所以 ，因此可以排除A，C，
因为当 时，函数 单调递减，所以函数 单调递减，因此可以排除B，
故选：D
6．A
2021年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）数学试题白卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数，其余都是人做的工作”，复数是由数学家在数系中规定了虚数 而得到．若复数 满足 ，则 （）
， ，则 ，所以弦长 .故D不正确；
故选：AC.
【点睛】
知识点点睛：直线与圆相交求弦长，则弦长 ，其中 为圆心到直线的距离.
13．
【分析】
由 ，利用和差角公式，可得命题p表示的范围，
因为 是 的充分不必要条件，则 ，
从而得出k的范围.
【详解】
，
，故 ，
是 的充分不必要条件，则 ，
，即 .
故答案为：
【点睛】
A．2； B．2； C． ； D． ；
7．函数 ，对 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
8．若数列 满足 ，则称 为“梦想数列”，已知正项数列 为“梦想数列”，且 ，则 （）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知全集 ，集合 ， ，则（）
A． B．
C． D． 的真子集个数是7
10．已知定义域为 的函数 满足 是奇函数， 为偶函数，当 ， ，则（）
8．B
【分析】
由“梦想数列”的定义，可推导出 ，即数列 为等比数列，由等比数列通项公式可计算 的值.
【详解】
解：若 为“梦想数列”，则有 ，即 ，即 ，且 ，所以数列 为以2为首项，以 为公比的等比数列.
则 .
故选：B.
9．ACD
【分析】
求出集合 ，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.
【详解】
【详解】
解：函数 的定义域为 ，且 ，则函数为偶函数，
则问题只需考虑 时即可.
当 时，函数 单调递增， 的最小值为 ；
当 时，函数 单调递增， 的最小值为 .
要使 ，则只需 即可，∴ .
即 的取值范围为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查分段函数不等式恒成立问题，对数函数的值域，考查运算求解能力与化归转化能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，将问题转化为函数的最小值大于等于 .
【详解】
连接 与 ，
所以多面体 被线段 ， 分为三棱锥 和四棱锥 ，
所以 ，
因为三棱柱 为直三棱柱，所以 底面 ，
又因为 底面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
又因为 为 的中点，所以 ，所以 ，
因为 ，可得
由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
15．已知 ．若 ，且 与 夹角为 ，则 ______．
16．已知直三棱柱 中， ， ，且 ，若点 为 中点，点 为 中点，且 ，平面 交底面棱 于点 ，且满足 ，则多面体 的体积为______．
四、解答题
17．在① ， ；② 且 ， ， 成等差数列；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
方差为 ，标准差为 ，故C,D错；
故选：B
【点睛】
熟悉平均数、中位数、方差、标准差的概念，特别是一组数据扩大某个倍数或增加某个数值的情况下，平均数、中位数、方差、标准差的变化.
3．D
【分析】
利用指数的运算得出 ，再利用对源自的运算即可求解.【详解】由题意可得 ，①
，②
② ①可得 ，解得 ，
所以 ，③
③ ①可得 ，
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）若函数 无零点，求实数 的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】
根据复数的除法的运算法则进行计算即可.
【详解】
由 ，
故选：C
2．B
【分析】
个 数据的平均数为 ，中位数为 ，方差为 ．
若将这 个数据均扩大到原来的2倍得到一组新数据 ，
根据平均数、中位数、方差、标准差的定义进行判断即可.
问题：记数列 的前 项和为 ，已知______，求数列 的通项公式．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上，满足 为 的平分线， 且 ，求 的长．
19．如图，已知三棱锥 中， 为等边三角形， 且 ，平面 平面 ，其中 为 中点， 为 中点， 为 上靠近 的三等分点，设平面 与平面 的交线为 ．
所以， ，解得 .
故答案为：7.
15．
【分析】
利用二倍角公式求出 以及 ，再由向量的数量积的定义即可求解.
【详解】
,
所以 ，
由 ，
解得 .
故答案为：
16．
【分析】
连接 ， ，得到 ，由 底面 ，得到 ，证得 平面 ，分别求得 ，所以 ，再由 平面 ，得到 平面 ，利用体积公式，求得 ，即可求得多面体 的体积.
【详解】
个 数据的平均数为 ，中位数为 ，方差为 ．
若将这 个数据均扩大到原来的2倍得到一组新数据 ，
则由于平均数为所有数之和除以m，故平均数变为 ，故A错；
中位数为这组数从小到大排列后中间的那个数或中间两数和的平均数，
由于每个数都变为原来2倍，所以中位数也变为原来的2倍，即 ，故B对；
方差描述的是这组数的波动情况， 的方差为 ，则 的