《向量的数量积的定义》 学习任务单

《向量的数量积的定义》学习任务单
一、学习目标
1、理解向量数量积的定义。

2、掌握向量数量积的运算律。

3、能够运用向量数量积解决相关的几何问题和物理问题。

二、学习重点
1、向量数量积的定义及几何意义。

2、向量数量积的运算律及其应用。

三、学习难点
1、向量数量积定义的理解。

2、向量数量积在几何和物理问题中的应用。

四、学习方法
1、通过实例引入，直观感受向量数量积的概念。

2、结合图形，深入理解向量数量积的几何意义。

3、进行适量的练习，巩固所学知识，提高应用能力。

五、学习过程
（一）知识回顾
1、向量的概念：既有大小又有方向的量。

2、向量的加减法：三角形法则和平行四边形法则。

（二）引入新课
思考：在物理学中，我们知道力做功的计算公式为 W ＝F·s·cosθ，其中 F 是力的大小，s 是位移的大小，θ 是力与位移的夹角。

那么在数学中，如何用向量来描述这个公式呢？
（三）向量数量积的定义
如果两个非零向量\（＼vec{a}＼）和\（＼vec{b}＼），它们的夹角为\（＼theta\）（＼（0\leq\theta\leq\pi\）），那么我们把\（＼
vert\vec{a}＼vert\vert\vec{b}＼vert\cos\theta\）叫做\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）的数量积（或内积），记作\（＼vec{a}＼cdot\vec{b}＼），即\（＼vec{a}＼cdot\vec{b}＝＼vert\vec{a}＼vert\vert\vec{b}＼vert\cos\theta\）。

规定：零向量与任一向量的数量积为 0。

（四）向量数量积的几何意义
1、数量积\（＼vec{a}＼cdot\vec{b}＼）等于\（＼vec{a}＼）的长度\（＼vert\vec{a}＼vert\）与\（＼vec{b}＼）在\（＼vec{a}＼）方向上的投影\（＼vert\vec{b}＼vert\cos\theta\）的乘积。

2、向量\（＼vec{b}＼）在向量\（＼vec{a}＼）方向上的投影为\（＼vert\vec{b}＼vert\cos\theta\）。

（五）向量数量积的性质
设\（＼vec{a}＼），＼（＼vec{b}＼）为非零向量，＼（＼theta\）
为\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）的夹角。

1、＼（＼vec{a}＼perp\vec{b}＼）的充要条件是\（＼vec{a}＼
cdot\vec{b}＝0\）。

2、当\（＼theta ＝ 0\）时，＼（＼vec{a}＼cdot\vec{b}＝＼
vert\vec{a}＼vert\vert\vec{b}＼vert\）。

3、当\（＼theta ＝＼pi\）时，＼（＼vec{a}＼cdot\vec{b}＝＼
vert\vec{a}＼vert\vert\vec{b}＼vert\）。

（六）向量数量积的运算律
1、交换律：＼（＼vec{a}＼cdot\vec{b}＝＼vec{b}＼cdot\vec{a}＼）
2、分配律：＼（＼vec{a}＼cdot(＼vec{b}＋＼vec{c}）＝＼vec{a}
＼cdot\vec{b}＋＼vec{a}＼cdot\vec{c}＼）
3、数乘结合律：＼（（＼lambda\vec{a}）＼cdot\vec{b}＝＼lambda(＼vec{a}＼cdot\vec{b}）＝＼vec{a}＼cdot(＼lambda\vec{b}）＼）（其中\（＼lambda\）为实数）
（七）例题讲解
例 1：已知\（＼vert\vec{a}＼vert ＝ 3\），＼（＼vert\vec{b}＼vert
＝ 4\），＼（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）的夹角为\（60^｛＼circ}＼），求\（＼vec{a}＼cdot\vec{b}＼）。

解：＼（＼vec{a}＼cdot\vec{b}＝＼vert\vec{a}＼vert\vert\vec{b}＼vert\cos 60^｛＼circ}＝3\times 4\times\frac{1}｛2}＝6\）
例 2：已知\（＼vec{a}＼perp\vec{b}＼），＼（＼vert\vec{a}＼vert
＝2\），＼（＼vert\vec{b}＼vert ＝3\），求\（（＼vec{a}＋＼vec{b}）＼cdot(＼vec{a}＼vec{b}）＼）。

解：＼（（＼vec{a}＋＼vec{b}）＼cdot(＼vec{a}＼vec{b}）＝＼
vec{a}＾｛2}＼vec{b}＾｛2}＝＼vert\vec{a}＼vert^｛2}＼vert\vec{b}
＼vert^｛2}＝2^｛2}－3^｛2}＝－5\）
（八）课堂练习
1、已知\（＼vert\vec{a}＼vert ＝ 5\），＼（＼vert\vec{b}＼vert ＝
8\），＼（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）的夹角为\（120^｛＼circ}＼），求\（＼vec{a}＼cdot\vec{b}＼）。

2、已知\（＼vec{a}＝（1,2)＼），＼（＼vec{b}＝（2,－1)＼），
求\（＼vec{a}＼cdot\vec{b}＼）。

（九）课后作业
1、课本习题。

2、思考向量数量积在实际生活中的应用，举例说明。

六、学习反思
通过本节课的学习，我们深入理解了向量数量积的定义、几何意义、性质和运算律，并通过例题和练习巩固了所学知识。

在学习过程中，
要注重对概念的理解和应用，多做练习，提高解题能力。

同时，要善
于将数学知识与实际问题相结合，体会数学在生活中的应用价值。