运筹学教学资料运筹学第2章第7节

4 2
0 0
1 C1 3
B表
Cj
C1
1
0
0
0
CB
基
解
X1
X2
X3
X4
X5
0
X3 15/2 0
0
1
5/4
-15/2
C1
X1
7/2
1
0
0
1/4
-1/2
1
X2
3/2
0
1
0
-1/4
3/2
检验数j
0
0
0 1/4-C1/4 C1/2-3/2
-21-
运筹学
灵敏度分析
因此：
当CN（非基变量的目标函数系数）中某个Cj发生变化时， 只影响到非基变量xj的检验数
max Z 4 x1 3 x2 2 y1
2 x1 3 x2 y1 24
s.t.3x1 2x2 2 y1 26
x1
,
x2
0
用单纯形法求得其最优表为：
(材料约束) (工时约束)
cj
4
320
0
CB
XB
b
3
x2
4
4
x1
6
Z
36
x1
x2
y1
x3
x4
0
1 -1/5 3/5 -2/5
1
0 4/5 -2/5 3/5
-7-
运筹学
b
XB
B-1b
Z
C BB-1b
b变化的时候，仅对B-1b有影响
灵敏度分析
X B-1A C-C BB-1A
仅关心B-1b≥0?
若新的B-1b不满足≥0，最优基发生 变化，此时需用对偶单纯形法进行 计算，调整可行性可能
当B-1b≥0时，最优基不变（即 生产产品的品种不变，但数量 及最优值会变化），此时可以 简单求出新最优解。
5/4 1/4 1/ 4
15 / 215 15 1/ 2 30 5 0 3 / 2 5 0
最优基不变，最优解变为（5，0，15，0，0）。
-11-
运筹学
灵敏度分析
I表
Cj
2
1
0
0
0
CB
基
解
X1
X2
X3
X4
X5
0
X3
15
0
5
1
0
0
0
X4
24
6
2
0
1
0
0
X5
5
1
1
0
0
1
检验数j
B -1 - CB B -1
-5-
运筹学
灵敏度分析
灵敏度分析的方法： 灵敏度分析方法的关键是从单纯形法对应的 I 表中参
数的变化来分析B 表中对应参数的变化情况来回答决策者 所关心问题。
灵敏度分析的方法是在目前最优基B下进行的。即当 参数A、b、c中的某一个或几个发生变化时，考察是否影 响以下两式的成立？
0
0 -3/5 -1/5 -6/5
-23-
运筹学
灵敏度分析
解：因为y1为非基变量，其目标函数系数c3的变化只会影响到
y1的检验数，因此为使最优解不变，只需 3 0
即
C3 2 3 / 5 13 / 5
若C3=3，则
3
2 5
代入最优单纯形表中相应位置
cj
4
320
0
CB
XB
b
x1
x2
y1
x3
x4
j (CB B 1Pj ) (C j C j ) j C j
j 0
C j j 最优解不变（最小值）
j 0 最优解改变，需要用单纯形法重新进行迭代，以
求得新的最优解。
-22-
运筹学
灵敏度分析
对于下列线性规划模型,为使最优解不变，讨论非基变量
y1的目标函数系数c3的变化范围。
模型。
-19-
运筹学
灵敏度分析
max z = 2x1 + x2 5x2 ≤15
s.t. 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1 ，x2 ≥ 0
I表
Cj
2
1
0
0
0
CB
基
解
X1
X2
X3
X4
X5
0
X3
15
0
5
1
0
0
0
X4
24
6
2
0
1
0
0
X5
5
1
1
0
0
1
检验数j
2
1
0
0
0
-20-
运筹学
结论或继续计算的步骤
问题的最优解或最优基不变 可以用单纯形法继续迭代求最优解 可以用对偶单纯形法继续迭代求最优解 引进人工变量，编制新的单纯形表重新计算
I 表（初始表）
基 解X
XS
XS b A
I
j C
0
B 表（最终表）
基 解 XB
XN
XS
XB B -1b I
j
0
B -1N CN – CB B -1N
1 0
3
/5 2/
5
2 3
/ /
5 5
4
C1
3
0
0
4 C1
3
12 5 5 C1
6 5
3 5
C1
4
C1
3
0
0
-26-
运筹学
灵敏度分析
0
0
12 5 5 C1
6 5
3 5
C1
0
1 5
2 5
C1
0
6
5
3 5
C1
0
1 2 C1 2
即
2 C1 4.5
若C1 5,则CB B1 A C 0
cj
CB
XB
b
3
x2
3
0
x3
15
Z
9
4
3
x1
x2
3/2
1
-5/2
0
1/2
0
0
0
x3
x4
0
1/2
1
-3/2
0
3/2
得到新的最优解为：x1=0，x2=3; max z=9
-18-
运筹学
灵敏度分析
2.对价值系数Cj变化的分析(1)
基 解 XB XS b B j CB
基解 XB B -1b
j
I表
XN
XS
-3-
运筹学
灵敏度分析
线性规划问题 I 表与 B 表的关系 对给定符合典式的线性规划问题中，初始基矩阵为 I ，基变量为 XS ，即松 弛变量。其对应的初始单纯形表如下：
I 表（初始表）
基解
X
XS b
A
j
C
XS
I
0
对初始单纯形表进行迭代之后得到 B 为最优基矩阵，最终典式所对应的单
纯形表：
B 表（最终表）
基
解
XB
B -1b
j
XB
XN
I
B -1N
0
CN – CB B -1N
XS B -1 - CB B -1
-4-
运筹学
灵敏度分析
线性规划原问题单纯形法对应的 I 表中参数的变化将引起B 表中对应 参数的变化情况如下：
原问题 对偶问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
可行解 非可行解 可行解 非可行解
2 / 524 12
3/
5
6
6
0
CB B1b 3 4126 12
将上述数字替换最优单纯形表中相应位置的数据得：
cj
CB
XB
b
3
x2
12
4
x1
-6
Z
12
4
3
0
0
x1
x2
x3
x4
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
0
0
1/5
6/5
-17-
运筹学
灵敏度分析
用对偶单纯形法迭代，求出的最优单纯形表如下：
0
1 5
N
I
C'N
0
当 Cj 是非基变量 X 的价值系数 时，若要保持最优解（或基）
不变，则必须满足： C'N – CB B -1N ≤0
B表 XB I
XN B -1N
XS
B -1
0
C'N – CB B -1N - CB B -1
当 Cj 变化使得非基变 量的Cj– Zj ≥ 0，即最 优解（或基）发生变
化，则在原单纯形B表 的基础上，继续求解
所以，b的变化只影响最优解的变化和最优值的变化。
-8-
运筹学
灵敏度分析
若B-1b≥0，其是一个不等式组，从中可以解得b的变化范围
（此时，需保证当前最优基变化后仍为最优基）
B 1b 0
C
CBB 1 A 0
若B-1b中有小于0的分量，则需用对偶单纯形法迭代，以求出 新的最优方案。（此时，基变量不变，因为基变量只需要相应的B可
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
4
x1
6
Z
36
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
0
0
1/5
6/5
-15-
运筹学
灵敏度分析
从矩阵形式的单纯形表中可知，b2的变化只影响解的可行性 B-1b≥0，因此，为使最优解不变，只需变化以后的B-1b≥0即可。
B 1b
3/ 2
5 /5
2 / 5
3
/
5
-2-
运筹学
灵敏度分析的任务：
灵敏度分析
1.当系数A、b、C中的某个发生变化时,目前的最优基是否仍 最优（即目前的最优生产方案是否要变化）?(称为模型参数的 灵敏度分析)
2.增加一个变量或增加一个约束条件时，目前的最优基是否仍 最优（即目前的最优生产方案是否要变化）？(称为模型结构 的灵敏度分析)
24
b2
7542585253bb2 2
0
当数据量十分 大的时候，十 分麻烦
由
7542585253bb2 200
解得： 16 b2 36
写为B-1(24,26)+B-1⊿b
-16-
运筹学
灵敏度分析
若b2变化超过范围，则需用对偶单纯形法进行求解。如b2=6， 则
B 1b
3/ 2
5 /5
灵敏度分析
B表
Cj
2
1
0
0
0
CB
基
解
X1
X2
X3
X4
X5
0 X3 15/2 0
0
1 5/4 -15/2
2 X1 7/2 1
0
0 1/4 -1/2
1 X2 3/2 0
1
0 -1/4 3/2
检验数j
0
0
0 -1/4 -1/2
若要使最优解保持不变，求x1的价值系数变化范围。
(1 (C1
C1 ) 3)
/ /
-25-
运筹学
灵敏度分析
因此：
当CB（基变量的目标函数系数）中某个Cj发生变化时，会影响
到所有变量的检验数，解不等式组 C - CB B1 A 0
就
可
得
到C
的
j
范
围
在上题中，设基变量x1的系数C1变化为C1+⊿C1 ，在最优性不 变的条件下，试确定⊿C1的范围 解：
CB B1 A C 3
4 C1 10
0
-2
-14-
运筹学
灵敏度分析
已知某生产计划问题的数学模型，为使最优方案不变，
试讨论第二个约束条件b2的变化范围。
解：生产计划问题的数学模型和最优单纯形表为：
max Z 4 x1 3x2
2x1 3x2 24
s.t.3x1 2x2 26
x1 ,
x2
0
(材料约束) (工时约束)
cj
4
3
0
2
1
0
0
0
B表
Cj
2
1
0
0
0
CB
基
解
X1
X2
X3
X4
X5
0
X3 15/2
0
0
1
5/4 -15/2
2
X1
7/2
1
0
0
1/4 -1/2
1
X2
3/2
0
1
0 -1/4 3/2
检验数j
0
0
0 -1/4 -1/2
-12-
运筹学
灵敏度分析
若b2增加到32，最优解如何变化？
1 B1 0 0
5/4 1/4 1/ 4
运筹学
灵敏度分析
灵敏度分析=对于市场的变化，我们的决策究竟怎样变化 （不需要将它当成一个新问题）
灵敏度分析的重要性在于： 1. 向决策者提供线性规划问题的最优解所能适应的环境 条件变化的范围； 2. 环境条件变化时可能对经营状况带来何种影响； 3. 产生影响后的解决途径。
-1-
运筹学
灵敏度分析
灵敏度分析的类型： 1. 模型中各个参数在什么范围变化时，最优基不发生改变。 2. 模型中参数变化已经超出上述范围时，如何快速确定新的最 优基和最优解——新的最优决策方案。 模型中参数变化主要指： 1. 目标函数的系数变化； 2. 约束条件右边的值变化； 3. 约束条件中aij 的变化； 4. 可决策变量增减的变化； 5. 约束条件增减的变化。
1
0
0
0
CB
基
解
X1
X2
X3
X4
X5
0
X3
35/2
0
0
1
5/4 -15/2
2
X1
11/2
1
0
0
1/4 -1/2
1
X2
-1/2
0
1
0
-1/4 3/2
检验数j
0
0
0
-1/4 -1/2
B表
Cj
2
1
0
0
0
CB
基
解
X1
X2
X3
X4
X5
0
X3
15
0
5
1
0
0
2
X1
5
1
1
0
0
1
0
X4
2
0
-4
0
1
-6
检验数j
0
-1
0
15 / 2 1/2 3 / 2
15 b 32
5
1 B1b 0 0
5/4 1/4 1/4
15 / 215 35 / 2 1/ 2 32 11/ 2 0 3 / 2 5 1 / 2
最优基发生变化，用对偶单纯形法求解。
-13-
运筹学
灵敏度分析
B表
Cj