2020新教材人教A版必修第二册第八章8.68.6.18.6.2第1课时课后课时精练

课疳课时精练
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1. 直线I丄平面a,直线m? a,则I与m不可能（）
A .平行
B .相交C.异面D .垂直
答案A
解析•••直线I丄平面a, 与a相交，又m? a, ：\与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知I丄m.故I与m不可能平行.
2.
直线I与平面a内的无数条直线垂直，则直线I与平面a的关系是（）
A . I和平面a相互平行B. I和平面a相互垂直
C. I在平面a内
D.不能确定
答案D
解析直线I和平面a相互平行，或直线I和平面a相互垂直，或直线I在平面a 内，或直线I与平面a相交，都有可能.
3. 将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面
体ABCD（如图2），则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（）
A. 相交且垂直
B.相交但不垂直
C.异面且垂直D .异面但不垂直
答案C
解析在题图1中，AD丄BC，故在题图2中，AD丄BD，AD丄DC,又因为
BD n DC = D，所以AD丄平面BCD, 又BC?平面BCD, D不在BC上，所以AD 丄BC,且AD与BC异面，故选C.
4. 在△ ABC 中，AB= AC= 5, BC= 6, FA丄平面ABC, FA= 8,贝U P 至U BC 的距离是（）
A. 5
B. 2 5
C. 3 .5
D. 4 5
答案D
解析 如图所示，作 PD 丄BC 于D ，连接AD.TFA 丄平面ABC ,：PA 丄CB. 又 PA G
PD = P , PA?平面 FAD , PD?平面 FAD ,：CB 丄平面 PAD ,：AD 丄BC. 又 AC = AB,AD 为 BC 中点.在△ ACD 中，AC = 5, CD = 3,：AD = 4.在 RtZPAD 中，PA = 8, AD = 4,「.PD =" 8 + 4 = 4/5.
5. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC i B i 及其边界上运动，并且 总保持AP I BD 1,则动点P 的轨迹是（
）
A .线段
B i C
B .线段B
C i
C . BB i 中点与CC i 中点连成的线段
D . BC 中点与B i C i 中点连成的线段
答案 A
解析 如图所示，易知BD i 丄平面AB i C ,故当点P 在平面AB i C 内时，总保 持AP I BD i ,又点P 在侧面BCC i B i 内，且B i C 为平面AB i C 和平面BCC i B i 的交 线，故点P 一定位于线段B i C 上.
、填空题
6. 在四面体A -BCD 中，E , F 分别是AB , CD 的中点，若BD , AC 所成的 角为60°且BD = AC = i.则EF 的长度为
_________ .
Jt)
解析如图①，取BC的中点0,连接0E, OF, ••OE//AC, OF //BD,
•••0E与OF所成的角即为AC与BD所成的角.
而AC , BD 所成的角为60 °
•••左OF = 60 或/EOF = 120 °
1
当 ZEOF = 60 时，EF = OE = OF = 2.
当ZEOF = 120时，如图②，取 EF 的中点M ，连接OM , 则OM 丄EF ，
EF = 2EM = 2X
7. 如图所示，PA 垂直于圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上 的
一点，E ，F 分别是点A 在PB , PC 上的正投影，给出下列结论：
①AF 丄PB ;②EF 丄PB ;③AF 丄BC ;④AE 丄平面PBC.
其中正确结论的序号是 ________ .
答案①②③
解析 VPA X 平面 ABC,BC?平面 ABC ，.-.FA X BC.又 AC 丄BC, FA G AC = A ，
•••BC 丄平面 PAC ,：BC 丄AF.vAF 丄PC , BC G PC = C ,：AF 丄平面 PBC ,：AF 丄 PB.又 AE X PB , AE G AF = A ,：PB 丄平面 AEF ,：PB 丄 EF ,故①②③正确.
8. ___________ 如图，四棱锥S — ABCD 的底面为正方形，SD 丄底面ABCD ，
则下列结论 中正确的有 .
■i
c 2
①AC丄SB;②AB//平面SCD;③SA与平面ABCD所成的角是/ SAD;@AB 与SC 所成的角等于DC与SC所成的角.
答案4
解析对于①AC丄BD，且SD丄平面ABCD,
•••SD丄AC，又SD n BD = D,
•••AC丄平面SBD,：AC丄SB,①正确；
对于②，：AB//CD , AB?平面SCD,
•••AB //平面SCD，②正确；
对于③，：SD丄平面ABCD,/AD是SA在平面ABCD内的射影，•/SAD是
SA与平面ABCD所成的角，③正确；
对于④AB//CD , AAB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，④正确，故正确的有4个.
三、解答题
9. 在正方体ABCD —A i B i C i D i中，E, F分别是AD, AA i的中点.
(1) 求直线AB i和CC i所成的角的大小；
(2) 求直线AB i和EF所成的角的大小.
解(i)如图，连接DC i.
vDC i //AB i.
•••DC i和CC i所成的角/ CC i D就是AB i和CC i所成的角.
'//CC i D = 45°,
•直线AB i和CC i所成的角为45 :
⑵连接DA i, A i C i.
••EF//A1D, AB1//DC1,
/•zA i DC i是直线AB i和EF所成的角.
v/A i DC i是等边三角形，
•••ZiDC i = 60 °即直线AB i和EF所成的角为60 °
B级：“四能”提升训练
i. 如图，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有()
A. 8对
B. 7对
C. 6对
D. 5对
答案B
解析依题意可知，平面FAD，平面PBD，平面PCD都垂直于平面ABCD，
平面PAD丄平面PCD，平面PAD丄平面PAB,平面PCD丄平面PBC，平面PAC 丄平面PBD，共7对.
2. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD丄底面ABCD，AD =PD，E，F分别为CD，PB的中点.
H
(i)求证：EF丄平面PAB;
⑵设AB= 2BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值.
解⑴证明：连接BE，EP.由题意知/PDE=/BCE = 90°,
因为 ED = CE , PD = AD = BC ,
所以Rt 仲DE 李心CE ，所以PE = BE.
因为F 为PB 的中点，所以EF 丄PB.
因为PD 丄底面 ABCD ，所以PD 丄AB ,因为DA 丄AB , PD A AD = D , 所以AB 丄平面PAD ，所以PA 丄AB.
在Rt △AB 中，
因为PF = BF ，所以PF = AF.
又因为 PE = BE = EA ,所以A EFP ^z EFA ,
所以EF 丄FA.
因为PB A AF = F ，所以EF 丄平面PAB.
(2)不妨设 BC = 1,贝U AD = PD = 1, AB = 2, PA = , 2, AC = , 3. 所以AFAB 为等腰直角三角形，且PB = 2.
因为F 是PB 的中点，所以BF = 1, AF 丄PB.
因为AF A EF = F ，所以PB 丄平面AEF.
设BE 交AC 于点G ,过点G 作GH //PB 交EF 于点H , 则GH 丄平面AEF.故/GAH 为AC 与平面AEF 所成的角.
1
由止GC S /BGA 可知，EG = 2GB , AG = 2CG ,
才1 2 2/3
所以 EG = 3EB , AG = 3AC = 3 .
1 1
由AEGHs/EBF ，可知 GH = §BF = 3.
A It
所以 sinZGAH GH_^3
AG 二
6，
所以AC与平面AEF所成角的正弦值为 f.。