第六章非线性模型

6.17
第二节 直接代换法估计非线性模型
一、实验要求
• 掌握直接代换法，能对多项式模型、双曲线模型进行线性化，并可以利用 软件对此类模型进行参数估计。
二、实验数据
• 表6-1 1990—2015年中国SO2与FDI数据
• 年份 SO2（吨）FDI（亿美元）
• 1990 1495 • 1991 1622 • 1992 1685 34.87 43.66 110.08
（三）幂函数、指数函数、对数函数
1.幂函数
Q AL K e
6.5
6.5是一个典型的以C-D函数为基础构建的反映投入与产出关系的经济计量模型。 该模型具于较强的普适性，所以应用极为广泛。
2 2Q 一是较为合理的反映了投入产出关系。 Q , Q 0; Q , 0 2 2
so2 0 1 fdi 2 fdi2
6.19
• 由此可见，一个一元二次方程便转化为一个二元一次方程。6.19是一个线性 模型，可以直接用OLS进行估计。
• EViews提供了方便的变量代换命令，如本例中，可以在命令区输入命令： genr fdi2=fdi^2或者genr fdi2=fdi*fdi，便完成了变量代换。
L
L
L
L
，说明
边际产量为正，但又反映了规模报酬递减规律； 二是反映了弹性。对6.5两边取自然对数便得到双对数模型，对模型求偏微分可 得，
Q Q Q Q , L L K K
，由此可知分别为劳动和资本的产出弹性，即劳动、
资本分别增加1%，产出分别增加 %, % 。
三是可以用来测得技术进步。在取对数后，对时间t求全导，可以得到
42.99
43.9 45.89 46.99
187318.9
219438.5 270232.3 319515.3
• 1996
• 1997 • 1998 • 1999
30.48
31.91 33.35 34.78
71813.6
dQ Q dA A dL L dK K dt dt dt dt
6.6
6.6式中，第一项为产出增长率，右端第2、3项分别为劳动增长率、资 本增长率，由此可以看出，投入增加不能完全解释产出的增长，所以右端第 一项称为索洛余值，常常用来衡量技术进步。将产出增长、技术进步、劳动 , A , L , K ，6.6可以简洁地表示为： 增长、资本增长分别记为 Q
第三节 间接代换法估对数函数的模型进行参数估计的基本变量代换方法。能够识别 可以线性化的对数函数模型，并对对数函数形式进行相应转化。
二、实验数据
• 表6-2 1990——2015年我国城镇化与GDP数据
• 年份 城镇人口比重（%） 元）
• 1990 • 1991 26.41 26.94 18872.9 22005.6
四、实验步骤
图6-1
so2与fdi散点图
• 由散点图可以较为清晰地观察到，随着fdi增加，so2排放先增加， 到达一个顶点后，逐步下降，呈现出倒U型的特征，故拟建立二次 多项式模型：
•
so2 0 1 fdi 2 fdi2
6.18
（四）对模型代换
• 令fdi2=fdi2，带入6.13，模型变为线性模型： •
（三）迭代法 如果用以上两种方法都不能线性化，那么可以用迭代法进行 估计。其基本思路是，通过泰勒级数展开先使非线性方程在某一 组初始参数估计值附件线性化，然后用OLS法，得出一组新的估 计值。再利用估计参数值附近线性化，并OLS估计，得出新的估 计值，不断重复，直至参数估计值收敛时为止。
EViews中提供了迭代法估计非线性模型的命令“nls”。实际应 用中也比较少见，这里对其操作简单做以介绍：nls 回归方程表达 式。如果表达式较长，可以先输入“nls”命令，执行命令后，在弹 2 bx1 c 出的窗口中输入具体的表达式。其规范表示为：第一个参数用 c(1) y a dx 2 e 表示，依次类推。如对如下模型：
y * 1 y , x * 1 x ，带入原模型可变为6.14：
6.14
y * x *
6.14成为一个线性模型，可用OLS直接估计
（二）间接代换法
在非线性模型中，如果参数和被解释变量之间是非线性的，如幂函数、 指数函数、成长曲线等等，可以通过取对数进行变换。
如对于6.5式，两端取对数后变为
6.9
随着解释变量的增加，有些变量增长非常快，常常表现为指数形式。在 实际研究中，有些变量增长范围有限，如受教育程度、工龄等等，而被解释 变量则有更大的增长空间，如收入。所以这类现象用指数函数建立模型可能 较好。如果将模型两端取自然对数，便得到线性-对数模型，又称为半对数模 型：
ln y ln x
1
（二）多项式
y 0 1 x 2 x 2
6.3
y 0 1 x 2 x 2 3 x3
6.4
多项式的种类有很多个，6.3和6.4分别为最常见的二次多项式和三次多项式。二 次多项式有着广泛的应用，如最为著名的库兹涅茨收入不平等倒U型假说，如果一次项 系数为正，二次项系数为负，函数图形正好为倒U型的抛物线，如可以用二次多项式模 型检验收入不平等假说，甚至环境污染与经济发展中是否存在倒U型假说。 二次项的另外一个含义，即可能存在一个最优区间，如农作物产量与施肥量之间 可能呈现出这种关系。当然，如果二次项系数为正，一次项系数为负，则函数呈现U型， 如离婚率与经济水平、生育率与经济水平等现象间很可能呈现出这种关系。 总成本与产量、短期总产量与劳动投入等现象间常常表现出三次多项式的特征。 如果研究此类现象可以采用三次项拟合。
y
2.龚伯兹（Gompertz）成长曲线模型
该模型最初用作控制人口增长，现在常常用作研究新技术、新产品的发 展过程。
yt Ke
be at
6.13
龚伯兹曲线与逻辑成长曲线非常类似，只是拐点位置不同，也有较多的 应用。
二、非线性模型的线性化
（一）直接代换法 在非线性模型中，如果参数和被解释变量之间是线性的，如双曲线、多 项式模型，可以用直接代换法。 如对于6.2式，令
2588.8 630.21
2468.1 747.68 2321.2 923.95 2214.4 900.33
• 1997 2346
• 1998 2091 • 1999 1857
452.57
454.63 403.19
2010
2011 2012 2013
2185
1057.35
2217.9 1160.11 2118 1117.16
• 2000 1995.1 407.15
2043.9 1175.86
• 2001 1947.8 468.78
• 2002 1926.6 527.43
• 数据来源：《中国统计年鉴》。
2014
2015
1974
1195.62
1859.1 1262.67
三、实验内容
• □ 建立工作文件 • □ 创建序列（或变量）、输入数据 • □ 构建非线性模型 • □ 对变量进行代换 • □ 模型估计
ln Q ln A ln L ln K
令 Q* ln Q, A* ln A, L* ln L, K * ln K
Q* A* L* K *
6.15 ，带入6.15有
6.16
6.16为一个两元线性模型，用最小二乘法可以方便地估计。 6.14
四、实验步骤
• （一）建立工作文件 • 用命令方式或菜单方式，创建一个范围在1990到2015年的时间序列工作文 件。（create a 1990 2015） • （二）创建序列、输入数据 • 通过命令方式创建序列组，在命令区输入命令：data so2 fdi，创建两个变 量序列，并将表中数据复制到序列组中。 • （三）构建非线性模型 • 利用软件绘制散点图，在命令区输入命令：scat fdi so2，或利用菜单方式 在序列组窗口点击【View】-【Graph】-【Scatter】，软件给出两者的散点 图（图6-1）。
年份
2003 2004 2005
SO2（吨）
2158.7 2254.9 2549.3
FDI（亿美元）
535.05
606.3 603.25
• 1993 1795
• 1994 1825 • 1995 1899 • 1996 1937
275.15
337.67 375.21 417.26
2006
2007 2008 2009
6.10

dy y dx
对6.10微分并整理可得， 单位，被解释变量平均增加
。
100 %
，其含义是，当解释变量增加一个 。
3.对数函数
y ln x
6.11
从本质上看，幂函数、指数函数都是一种对数函数，而6.11给出了另外 一种对数函数，对数-线性函数，是半对数模型的另外表现形式。 该模型的特点在于，解释变量变化范围很大，而被解释变量的变化范围 较小，如城镇化率、工业化程度、学习成绩等等。研究此类现象的影响因素 时可以考虑用对数-线性模型。 对6.11微分并整理可得， d x 被解释变量平均增加 个单位。
第六章 非线性模型
第一节 知识准备
一、非线性模型的种类及运用
现实中，变量之间的关系不一定是线性的，常常表现为复杂的非线性关系。 常见的有以下几种： （一）双曲线
y

x

或
1 x y
1 y x
在经济生活中，有些变量或倒数与其他变量或其倒数之间存在一定的关 系，如工资变化与失业率、平均固定成本与产量等等。此类模型有一个显著 的特点，随着解释变量x的无限增大，解释变量都有一个渐进的上限或下限 （ 或 ）。
GDP（亿元）
2003 2004
年份
40.53 41.76
城镇人口比重（%）
137422 161840.2
GDP（亿
• 1992
• 1993 • 1994 • 1995
27.46
27.99 28.51 29.04
27194.5
35673.2 48637.5 61339.9
2005
2006 2007 2008
dy x
，其含义是，当解释变量增加1%，
（四）成长曲线模型
成长曲线又称为增长曲线，常用于研究生物有机体的生长发育过程，现 被移植用于研究经济活动过程。主要包括逻辑成长曲线和龚伯兹成长曲线。
1.逻辑（Logistic）成长曲线模型
yt
K 1 0 e 1t
6.12
逻辑成长曲线形如S，又被称为S曲线。其特点为：一是 的最小值为0， 最大值为K： t , y 0 ；t , y K ；二是有一个拐点，在拐点之 y 的增长速度不断减小。在经济 前 y 的增长速度不断加快，在拐点之后， 生活中，一些新产品、新技术推广乃至某些产业的发展往往具有逻辑成长曲 线的特点，所以在这些领域内有着较多的应用。
A L K Q
6.7
那么技术进步贡献率v就可以表示为： A L K v 1 6.8 Q Q Q 可见，只要对上述生产函数进行估计，得到两个参数，便可很方便地计 算出相应时期内的技术进步贡献率。
2.指数函数
y e x
（五）模型估计
• 本例实际上是对6.19的估计，在完成上述变量代换后，在命令区输入命令： ls so2 c fid fdi2，软件报告出回归结果如下：
•
图6-2 so2对fdi的回归结果
• 回归结果表明，模型总体显著，fdi及其二次项均高度显著，一次项系数为 正，二次项系数为负，说明两者之间存在倒U型关系，这与我国的实际情况 较为一致，在改革开放后到本世纪初，招商引资拉动经济增长，甚至引起 地方政府之间的锦标赛，是我国经济增长的重要特征，甚至成为污染避难 所，而由此带来的环境污染问题也越来越严重。但随着经济水平的发展和 人们环境保护意识的增强，加强环境规制，重视fdi质量等问题越来越受到 重视，如实行创新驱动战略，一些有益的环境治理技术也得到了较快发展， 所以对环境保护起到了一定的有利作用。这在一定程度上反映出我国经历 了先污染后治理的发展路径。