2020杭州市高考数学学业质量监测试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数11i
z i
+=-，则z 的虚部是（ ） A ．i
B ．i -
C ．1-
D ．1
2．函数2|sin |
2
()6
1x f x x
=-
+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．(),0F c -为双曲线2222:1x y E a b
-=的左焦点，过点F 的直线与圆22
234x y c +=交于A 、B 两点，（A
在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，且2
3100
OA OB c ⋅=-，则双曲线E 的离心率为（ ） A 5B ．
52
C 5
D ．5
4．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）
A ．7
B ．5
C ．3
D ．2
5．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )
A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+
B ．1111
4(1)35719P =-
+-+⋅⋅⋅- C ．1111
4(1)35721
P =-+-+⋅⋅⋅+
D ．1111
4(1)35721
P =-+-+⋅⋅⋅-
6．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．在满足04i i x y <<≤，i i y x
i i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成
立的正整数n 的最大值为( ) A ．5
B ．6
C ．7
D ．9
8．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）
A ．直线AD 与BC 异面
B ．过AD 只有唯一平面与B
C 平行 C ．过点
D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直
9．双曲线()221x y m c m
-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）
A ．3
B ．5
C
．
62
D ．
5 10．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ） A ．
5 B ．
5 C ．
25
D ．
35
11．已知椭圆22
22:1x y C a b
+=的短轴长为2，焦距为12
23F F ，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则12
11
PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2
B ．2,3⎡⎤⎣⎦
C ．2,4⎡⎤⎣⎦
D ．[]1,4
12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2
B ．
32
C ．3
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*
n N ∈都有n k S S ≤成立，则k 的值为__________．
14．三棱柱111ABC A B C -中， AB BC AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且三棱柱的侧面积为33.若
该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 的表面积的最小值为_____． 15．已知2a b ==，()()
22a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为 .
16．已知双曲线的一条渐近线为2y x =，且经过抛物线24y x =的焦点，则双曲线的标准方程为______. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知直线l 与抛物线2:4C x y =交于,M N 两点.
（1）当点,M N 的横坐标之和为4时，求直线l 的斜率；
（2）已知点(1,-2)P ，直线l 过点(0,1)Q ，记直线,PM PN 的斜率分别为12,
k k ，当
12
11
k k +取最大值
时，求直线l 的方程.
18．已知函数()sin 2f x x x =-，将()f x 的图象向左移()0αα>个单位，得到函数()y g x =的图象. （1）若4
π
α
=
，求()y g x =的单调区间； （2）若0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()y g x =的一条对称轴是12
x π
=
，求()y g x =在0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的值域. 19．（6分）已知函数2()x x
f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点.
（1）求实数a 的取值范围；
（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.
20．（6分）在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.
（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
21．（6分）已知函数2
()2ln 4f x x mx x =-++．
（1）当5m =时，求()f x 的单调区间．
（2）设直线l 是曲线()y f x =的切线，若l 的斜率存在最小值-2，求m 的值，并求取得最小斜率时切线l 的方程．
（3）已知()f x 分别在1x ，()212x x x ≠处取得极值，求证：()()122f x f x +<．
22．（8分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）.
（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润；
（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率.
参考公式：()()
()
1
2
1
n
i
i i n
i
i x
x y y
b x
x
==--=
-∑∑，a y bx =-.
23．（8分）设函数()f x x p =-．
（1）当2p =时，解不等式()41f x x ≥--； （2）若()1f x ≥的解集为(]
[),02,-∞+∞，()12
0,01
p m n m n +
=>>-，求证：211m n +≥． 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
化简复数，分子分母同时乘以1i +，进而求得复数z ，再求出z ，由此得到虚部. 【详解】
11i
z i i
+=
=-，z i =-，所以z 的虚部为1-.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】
用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42
f π
>排除D .故只能选A .
【详解】
因为22|sin()|
|sin |
()6
6
()x x f x f x --=== ,
所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;
因为
2
|sin |
()6
1f ππ==
1110
<-
=-=,故排除B ,
因为2|sin |
2
()()6
2
f π
π
π
==
6
6>-
4
666242=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】
本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】
过点O 作OM PF ⊥，可得出点M 为AB 的中点，由2
3100
OA OB c ⋅=-可求得cos AOB ∠的值，可计算出cos
2
AOB
∠的值，进而可得出OM ，结合FA BP =可知点M 为PF 的中点，可得出PF '，利用勾股定理求得PF （F '为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】
如下图所示，过点O 作OM PF ⊥，设该双曲线的右焦点为F '，连接PF '.
2
333cos 22100
OA OB AOB c ⋅=
⋅⋅∠=-，1cos 25AOB ∴∠=-.
1cos 23
cos
22AOB AOB ∠+∠∴==
， 3cos 25AOB OM OA c ∠∴==， FA BP =，M ∴为PF 的中点，//PF OM '∴，90FPF '∠=，625
c
PF OM '==
， ()
2
2
825
c PF c PF '∴=
-=
， 由双曲线的定义得2PF PF a '-=，即225
c
a =， 因此，该双曲线的离心率为5c
e a
==. 故选：D. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 4．B 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，表示的可行域，如图，
由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31
x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，
由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 5．B 【解析】 【分析】
执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【详解】
由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得： 第1次循环：1,2S i ==；
第2次循环：1
1,33S i =-=；
第3次循环：11
1,435
S i =-+=；
第10次循环：1111
1,11357
19
S i =-
+-+-
=，
此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719
P S ==-+-+⋅⋅⋅-， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】
由两直线垂直求得则0a =或3a =，再根据充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】
由题意，“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直” 则(1)2(2)0a a a ++⨯-=，解得0a =或3a =，
所以“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】
本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得a 的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】
由题可知：04i i x y <<≤，且i i y x
i i x y =可得
ln ln i i i i x y x y =，构造函数()()ln 04t h t t t
=<≤求导，通过导函数求出()h t 的单调性，结合图像得出min 2t =，即2i x e ≤<得出33n x e <， 从而得出n 的最大值. 【详解】
因为04i i x y <<≤，i i y x
i i x y = 则ln ln yi xi
i i x y =，即ln ln i i i i y x x y =
整理得ln ln i i
i i
x y x y =，令i i t x y ==， 设()()ln 04t
h t t t
=
<≤，
则()22
1
1ln 1ln t t
t t h t t t ⋅-⋅-'==
， 令()0h t '>,则0t e <<，令()0h t '<，则4e t <≤， 故()h t 在()0,e 上单调递增，在(),4e 上单调递减，则()1
h e e
=， 因为i i x y <，()()i i h x h y =， 由题可知：()1
ln 44
h t =
时，则min 2t =，所以2t e ≤<， 所以24i i e x y ≤<<≤，
当n x 无限接近e 时，满足条件，所以2n x e ≤<， 所以要使得121338.154n n x x x x e -++
+<<≈
故当12342x x x x ====时，可有123488.154x x x x +++=<， 故14n -≤，即5n ≤， 所以：n 最大值为5. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力. 8．D 【解析】 【分析】
根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断. 【详解】
A.假设直线AD 与BC 共面，则A ，D ，B ，C 共面，则AB ，CD 共面，与AB α⊂，CD β⊂矛盾， 故正确.
B. 根据异面直线的性质知，过AD 只有唯一平面与BC 平行，故正确.
C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.
D. 根据异面直线的性质知，过AD 不一定能作一平面与BC 垂直，故错误. 故选：D 【点睛】
本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 9．D
【解析】 【分析】
根据双曲线()2
21x y m c m
-=>的一条渐近线方程为20x y +=，列出方程，求出m 的值即可.
【详解】
∵双曲线()2
21x y m c m
-=>的一条渐近线方程为20x y +=，
1
2
=，∴4m =，
∴双曲线的离心率2
c e a ==
. 故选：D. 【点睛】
本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 10．A 【解析】 【分析】
设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，可证1//AB BD ，得到1C BD ∠（或补角）为所求的角，分别求出111,,BC AB C D ，解1C BD 即可. 【详解】
设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，
连1,BD C D ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111//,AB A B AB A B =，
11//,AB B D AB B D ∴=，四边形1ABDB 为平行四边形，
1//AB BD ∴，1C BD ∴∠（或补角）为直线1BC 与1AB 所成的角，
在1Rt BCC △中，1BC ==
在
111Rt A B C △中，11111A B B AC ==∠=
， 在11AC D 中，
22211111111112cos 420168C D A C A D A C A D B A C =+-⋅∠=+-=，
在11Rt AA B △中，113,3AB BD AB =
=∴==，
在
1BC D 中，22211115
cos 265
BC BD C D C BD BC BD +-∠=
==⋅. 故选：A.
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题. 11．D 【解析】 【分析】
先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PF PF +=，利用二次函数的性质可求1214PF PF ≤≤，
从而可得12
11
PF PF +的取值范围. 【详解】
由题设有1,3b c ==2a =，故椭圆2
2:14
x C y +=，
因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=.
又()
1212121211
1144
=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-， 因为12323PF ≤≤，故()1
1
144PF PF ≤-≤，
所以12
1114PF PF ≤
+≤. 故选：D. 【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点
P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题
属于基础题. 12．C
【解析】 【分析】
根据等差数列的求和公式即可得出． 【详解】 ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+
54
2
⨯ d=90， 解得d=1． 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．20 【解析】 【分析】
由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出n S ，利用二次函数的基本性质求出n S 的最大值及其对应的n 值，即可得解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，由14712581399931293
a a a a d a a a a d ++=+=⎧⎨
++=+=⎩，解得139
2a d =⎧⎨=-⎩，
()()()2
21139140204002
n n n d S na n n n n n n -∴=+
=--=-+=--+. 所以，当20n =时，n S 取得最大值，
对任意*n N ∈都有n k S S ≤成立，则k S 为数列{}n S 的最大值，因此，20k =. 故答案为：20. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题. 14．4π 【解析】 【分析】
分析题意可知，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心O ，
设棱柱的底面边长为a ，高为h ，
则三棱柱的侧面积为3a h ⋅=
球的半径表示为R =，
再由重要不等式即可得球O 表面积的最小值 【详解】 如下图，
∵三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱 ∴设11A C a =，1BB h = ∴三棱柱的侧面积为333a h ⋅= ∴3a h ⋅=
又外接球半径22
212233a h a h R ⎛⎫⎛⎫
=+≥⋅⋅≥ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭ ∴外接球表面积244S R ππ=≥. 故答案为：4π
【点睛】
考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目条件，画出图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题 15．60︒ 【解析】 【分析】 【详解】
根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-，去括号得：
2
2
2422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，
1
cos ,602
θθ︒⇒==
16．2
2
14
y x -=
【解析】 【分析】
设以直线2y x =±为渐近线的双曲线的方程为2
2
(0)4
y x λλ-=≠，再由双曲线经过抛物线24y x =焦点
(1,0)F ，能求出双曲线方程．
【详解】
解：设以直线2y x =±为渐近线的双曲线的方程为2
2
(0)4
y x λλ-=≠，
∵双曲线经过抛物线24y x =焦点(1,0)F ， ∴1λ=，
∴双曲线方程为2
2
14
y x -=，
故答案为：2
2
14
y x -=．
【点睛】
本题主要考查双曲线方程的求法，考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用，属于中档题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）1（2）3
12
y x =+ 【解析】 【分析】
（1）设22
1212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，根据直线的斜率公式即可求解；
（2）设直线l 的方程为()()11221,
,,,y kx M x y N x y =+，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得
12x x +，12x x ，结合直线的斜率公式得到
12
11
k k +，换元后讨论t 的符号，求最值可求解. 【详解】
（1）设22
1212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
因为124,
x x +=
212
122
124414
MN
x x x x
k x x -
+∴===-， 即直线的斜率为1.
（2）显然直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为()()11221,
,,,y kx M x y N x y =+.
联立方程组21
4y kx x y =+⎧⎨=⎩
，
可得2
440,
x kx --=
12124,4x x k x x ∴+==-
则()()1212122121212122(3)611113339
kx x k x x x x k k kx kx k x x k x x +-+---+
=+=+++++ 222
446183
8921618
k k k k k -+--==-+++， 令83k t -=，则3
8
t k +=
则21211141481268126t k k t t t t
+=-+=-+++++
当0t >
时，12111411812236k k t t
+=-+≤-=-
++；
当且仅当81t t
=，即839t k =-=时，解得3
2k 时，取“=”号，
当0t =时，
212111411
268123
t k k t t +=-+=-<-++； 当0t <时，21211141451,8126812626t k k t t t t
⎡⎫+=-+=-+∈--⎪
⎢++⎣⎭++
综上所述，当3
2k
时，1211k k +取得最大值13
-，
此时直线l 的方程是3
12
y x =+. 【点睛】
本题主要考查了直线的斜率公式，直线与抛物线的位置关系，换元法，均值不等式，考查了运算能力，属于难题.
18．（1）增区间为()5,63k k k Z ππππ⎛
⎫--∈ ⎪⎝
⎭，减区间为(),36k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝⎭
；（2）⎡-⎣. 【解析】 【分析】
（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得()y g x =的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论； （2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得α，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论． 【详解】
由题意得()2cos 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（1）()y f x =向左平移
4π个单位得到()22cos 22cos 2463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫
=++=+
⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦， 增区间：解不等式()22223k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，解得()563
k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 减区间：解不等式()22223k x k k Z ππππ≤+
≤+∈，解得()36
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈. 综上可得，()y g x =的单调增区间为()5,63k k k Z ππππ⎛
⎫
-
-∈ ⎪⎝
⎭
， 减区间为(),3
6k k k Z π
πππ⎛
⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
； （2）由题易知，()2cos 226g x x π
α⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭
， 因为()y g x =的一条对称轴是12
x π
=，
所以
26
6
k π
π
απ+
+=，k ∈Z ，解得26
k ππ
α=-，k ∈Z . 又因为0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以3
π
α=
，即()52cos 26g x x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
.
因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则5cos 21,62x π⎡
⎛⎫+∈-⎢
⎪⎝
⎭⎣
⎦，
所以()y g x =在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的值域是⎡-⎣. 【点睛】
本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题． 19．（1）10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
；（2）1λ≥. 【解析】
【分析】
（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x x a h x e
+==，计算函数单调区间得到值域，得到答案.
（2）1x ，2x 是方程
12x
x a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+--
-+< ⎪⎝
⎭
，设函数，讨论范围，计算最值得到答案. 【详解】
（1）由题可知2()(1)20x x
f x x e ae '=+-=有两个不相等的实根，
即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x x a h x e
+=
=， ()
2
(1)()x x
x x e x e x
h x e e -+-'=
=
，x ∈R ，
(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，
故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >， ∴2(0,1)a ∈，即10,
2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. （2）由（1）知，1x ，2x 是方程
1
2x x a e
+=的两根， ∴1210x x -<<<，则112200x
x x x λλ
+>⇔>->
因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<-
⎪⎝⎭，又()()21h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
即1
1
1
11
1x x x x e e
λ
λ
-
-
++<
，两边取对数，并整理得：
()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+--
-+< ⎪⎝⎭
对1(1,0)x ∈-恒成立， 设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛
⎫
=+--
-+ ⎪⎝
⎭
，(1,0)x ∈-， 1
(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x x
x x x λ
λλλλλ
++-'=
+
-+=
++--，
当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，
∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意； 当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥. 【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20．（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）10
21
【解析】 【分析】
（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出2K ，与临界值表中的数据对照后可得结论；（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求. 【详解】
（1）由题意可得：
则2
2
200(100304030)8.477 6.6351406013070
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.
（2）在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人. 采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为A 、B 、C 、D 、E ； 不经常阅读的有2人，记为X 、Y .
从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为AB ，AC ，AD ，AE ，AX ，AY ，BC ，BD ，
BE ，BX ，BY ，CD ，CE ，CX ，CY ，DE ，DX ，DY ，EX ，EY ，XY ，共21种，
被选中的2位居民都是经常阅读居民的情况有10种，
∴所求概率为10
21
P =
. 【点睛】
本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的
计算能力.对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，属于中档题.
21．（1）单调递增区间为10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，()2,+∞；单调递减区间为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（2）6m =，210x y +-=；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】
（1）由()f x '的正负可确定()f x 的单调区间；
（2）利用基本不等式可求得1x =时，()f x '取得最小值4m -，由导数的几何意义可知42m -=-，从而求得m ，求得切点坐标()()
1,1f 后，可得到切线方程；
（3）由极值点的定义可知12,x x 是2220x mx -+=的两个不等正根，由判别式大于零得到m 的取值范围，
同时得到韦达定理的形式；化简()()12f x f x +为2
64
m -+，结合m 的范围可证得结论.
【详解】
（1）由题意得：()f x 的定义域为()0,∞+， 当5m =时，()2
52ln 4f x x x x =-++，
()()
2
1222252225x x x x f x x x x x
⎛
⎫-- ⎪-+⎝
⎭
'∴=-+==， ∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
和()2,+∞时，()0f x '>；当1,22x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，
()f x ∴的单调递增区间为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭，()2,+∞；单调递减区间为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
（2）0x
，所以(
)224f x x m m m x '∴=+-≥=-（当且仅当22x x =，即1x =时取等
号），
切线l 的斜率存在最小值2-，42m ∴-=-，解得：6m =，
()16141f -+∴=-=，即切点为()1,1-，
从而切线方程():121l y x +=--，即：210x y +-=．
（3）()2222
2x mx f x x m x x
-+'=+-=，
()f x 分别在1x ，()212x x x ≠处取得极值，
1x ∴，()212x x x ≠是方程222
0x mx x
-+=，即2220x mx -+=的两个不等正根．
则2160m ∆=->，解得：216m >，且1202
m
x x +=
>，121=x x ． ()()()()
22
1212121282ln f x f x x x m x x x x ∴+=+-+++()
()()2
12121212282ln x x x x m x x x x =+--+++2
2
2182ln16224m m m m ⎛⎫
=-⨯-⨯++=-+ ⎪⎝⎭
，
2
16m >，2
624
m ∴-+<， 即不等式()()122f x f x +<成立． 【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、导数几何意义的应用、利用导数证明不等式等知识；本题中证明不等式的关键是能够通过极值点的定义将问题转变为一元二次方程根的分布问题.
22．（Ⅰ）523y x =+，该公司2020年年利润的预测值为63亿元；（Ⅱ）15
28
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求出x 和y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求得a 和b 的值，进而可求得y 关于x 的线性回归方程，然后将8x =代入回归直线方程，可得出该公司2020年年利润的估计值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归直线方程计算出从2013年至2020年这8年被评为A 级利润年的年数，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率可得出所求事件的概率. 【详解】
（Ⅰ）根据表中数据，计算可得4x =，43y =，
()()7
1
140i
i
i x x y y =--=∑，
又
()
2
1
7
28i
i x x =-=∑，()()
()
7
1
7
2
1
5i
i
i i
i x x y y b x x ==--∴=
=-∑∑，
435423a y bx =-=-⨯=，y ∴关于x 的线性回归方程为523y x =+.
将8x =代入回归方程得582363y =⨯+=（亿元），
∴该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2013年至2020年的年利润的估计值分别为28、33、38、43、48、53、58、63（单位：亿元），其中实际利润大于相应估计值的有3年.
故这8年中被评为A 级利润年的有3年，评为B 级利润年的有5年.
记“从2013年至2020年这8年的年利润中随机抽取2年，恰有1年为A 级利润年”的概率为P ，
11
53281528
C C P C ∴==.
【点睛】
本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.
23．（1）17,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
；（2）见解析.
【解析】 【分析】
（1）当2p =时，将所求不等式变形为214x x -+-≥，然后分1x ≤、12x <<、2x ≥三段解不等式214x x -+-≥，综合可得出原不等式的解集； （2）先由不等式()1f x ≥的解集求得实数1p =，可得出
1211
m n +=-，将代数式2m n +变形为()212m n +-+，将()21m n +-与
121
m n +-相乘，展开后利用基本不等式可求得()21m n +-的最小值，进而可证得结论. 【详解】
（1）当2p =时，不等式为214x x -+-≥，且23,2211,1232,1x x x x x x x -≥⎧⎪
-+-=<<⎨⎪-≤⎩
.
当1x ≤时，由214x x -+-≥得324x -≥，解得12x ≤-
，此时12
x ≤-； 当12x <<时，由214x x -+-≥得14≥，该不等式不成立，此时x ∈∅； 当2x ≥时，由214x x -+-≥得234x -≥，解得72x ≥
，此时72
x ≥. 综上所述，不等式()41f x x ≥--的解集为17,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
； （2）由()1f x ≥，得1x p -≥，即1x p ≤-或1x p ≥+， 不等式()1f x ≥的解集为(]
[
),02,-∞+∞，故1012
p p -=⎧⎨+=⎩，解得1p =，12
11m n ∴+=-， 0m >，0n > ，
()()()211
22212155911n m m n m n m n n m -⎛⎫∴+-=+-+=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭
， 当且仅当3m =，4m =时取等号，()22129211m n m n ∴+=+-+≥+=． 【点睛】
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()cos2x
f x x =的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45
B ．42
C ．25
D ．36
3．设点P 是椭圆22
21(2)4
x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =，则
12PF PF +=（ ）
A ．4
B ．8
C ．42
D ．47
4．已知数列满足
，且
，则数列
的通项公式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）
A ．2223S S ，且
B ．2223S S ，且
C ．2223S S ∈∉，且
D ．2223S S ∈∈，且
6．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()U
U A B ＝（ ）
A ．{3，5，6}
B ．{1，5，6}
C ．{2，3，4}
D ．{1，2，3，5，6}
7．设复数z 满足i
(i i
2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．
13i 22
- B ．13
i 22+ C ．13i 22
--
D ．13
i 22
-
+ 8．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}
|()0B x f x '
=≤，则A
B =（ ）
A ．[-1,0]
B ．[-1,2]
C ．[0,1]
D ．(,1][2,)-∞⋃+∞
9．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22
221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b
-=，1C 和2C 的离心率之
积为
3
2
，则2C 的渐近线方程为（ ） A ．20x y ±= B ．20x y ±=
C ．20x y ±=
D ．20x y ±=
10．复数12i
2i
+=-（ ）． A ．i
B ．1i +
C ．i -
D ．1i -
11．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是2,2⎡⎤-⎣⎦；②函数
4f x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有
()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3
π
；其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫
=⋅+
+ ⎪⎝
⎭
（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）
A ．32
π B ．
56
π C ．
76
π D ．43
π-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数2()ln()f x x x a x =++为偶函数，则a = ．
14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间[80,100]的学生人数是__________．
15．若四棱锥P ABCD -的侧面PAB 内有一动点Q ，已知Q 到底面ABCD 的距离与Q 到点P 的距离之比为正常数k ，且动点Q 的轨迹是抛物线，则当二面角P
AB C 平面角的大小为30时，
k 的值为______. 16．将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是___．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.
（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.
（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.
（i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）； （ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围. 可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=.
18．设椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知椭圆离心率为12，过点F 且
与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 斜率的取值范围.
19．（6分）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知3
cos 24
C =-. （1）求sin C 的值；
（2）当2c a =，且37b =时，求ABC 的面积. 20．（6分）如图，在AOB 中，已知2
AOB π
∠=
，6
∠=
BAO π
，4AB =，D 为线段AB 的中点，AOC
△是由AOB 绕直线AO 旋转而成，记二面角B AO C --的大小为θ.
（1）当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值； （2）当23
π
θ=
时，求二面角--B OD C 的余弦值. 21．（6分）已知2
()2(01)f x ax x x =-≤≤，求()f x 的最小值.
22．（8分）已知()x f x e mx =-.
（1）若曲线ln y x =在点2
(,2)e 处的切线也与曲线()y f x =相切，求实数m 的值；
（2）试讨论函数()f x 零点的个数.
23．（8分）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种. 方案一：每满100元减20元；
方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别） 红球个数 3
2
1
实际付款 7折 8折 9折 原价
（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率； （2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
先根据()f x 是奇函数，排除A ，B ，再取特殊值验证求解. 【详解】
因为()()cos2
cos2x
x
f x x x f x --=-==--，
所以()f x 是奇函数，故排除A ，B ， 又()1cos20f =<， 故选：C 【点睛】
本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】
由等差数列的性质可知1928a a a a ,进而代入等差数列的前n 项和的公式即可.
【详解】 由题,192899()9()9(210)
36222
a a a a S ++⨯-+====. 故选:D 【点睛】
本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前n 项和. 3．B 【解析】
∵12F F =
∵122F F c ==∴c =
∵222c a b =-，24b = ∴4a =
∴1228PF PF a +== 故选B
点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 4．D 【解析】 试题分析：因为
，所以
，即
，所以数列
是以
为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列
的通项公式是，故选D ．
考点：数列的通项公式． 5．D 【解析】 【分析】
如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故
{}
2,22,23S =，得到答案.
【详解】
如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BC
CD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =故{}
2,22,23S =，故2S ，23S .
故选：D .。