B7-数学3-分数指数幂、实数的运算-教师-徐进、刘慧

初中数学备课组教师：班级：学生：
日期：上课时间：
学生情况：
主课题：分数指数幂、实数的运算
教学目标：
1、学习将无理数用数轴上的点表示，理解实数与数轴上的点的对应关系；
2、会求无理数的绝对值、相反数，会对实数进行大小比较；
3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点—一对应；
4、理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质。

教学重点：
1、理解数轴为实数轴，并掌握实数的大小比较方法，理解实数的绝对值、相反数的意义；
2、了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值；
3、理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质。

教学难点：
1、探索同一数轴上两点的距离；
2、了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。

考点及考试要求：
基本内容 分数指数幂、实数的运算
知识精要 一、分数指数幂
1、整数指数幂运算性质 根式运算性质 (1)a m ·a n =a m +n (m ,n ∈Z )
(2)(a m )n =a m ·n (m ,n ∈Z )
n
n a ＝⎩⎨
⎧为偶数
为奇数n a n a |,|;,
(3)(a ·b )n =a n ·b n (n ∈Z ) 2、分数指数幂
)
0(1 )0(>=≥=-a a
a
a a a
n
m
n
m
n
m n
m
（其中m 、n 为整数，1>n ）
上面规定中的n
m
a 和n
m a -叫做分数指数幂，a 是底数。

3、有理数指数幂：整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂。

有理数指数幂的运算性质：
设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么
（ⅰ）q p q p a a a +=⋅，q
p q p a a a -=÷ （ⅱ）pq q p a a =)(
（ⅲ）p
p
p
b a ab =)(，p p
p b
a b a =)(
二、实数的运算 1）用数轴的点表示实数
1、一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

2、绝对值相等符号相反的两个数叫做互为相反数。

3、实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝 对值大的数较小.从数轴上看，右边的数总比左边的数大。

4、设a>0,b>0,可知ab b a b a =⋅=⋅2
22)()()(根据平方根的意义，得
b a ab ⋅=
同理
b
a
b a =
2）实数的运算
4、实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减. 如果遇到括号，则先进行括号里的
运算。

5、实数的六种运算关系：加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算。

6、近似值：对一个近似值，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都称为这 个近似值的有效数字。

例如Λ1415926.3=π的近似值中，1.3有两个有效数字，
用科学记数法表示1220000，将其保留两位有效数字6
102.1⨯，它精确到万位6
1022.1⨯
单元知识网络：
热身练习
一、填空题：
1、化简223）（-＝__32-_____；－2)25.1(-＝_-1.25___
2、4)2(-的 平方根是__2±____；2
)3(--的平方根是_31±
____；若5333n =，则n= 10
3
3、在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是 2
4、28⨯= 4 ；
28-= 2
5、16的算术平方根的平方根是 2±
6、地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，用科学记数法表示（保留2个有效数字）约为
8
105.1⨯ 千米。

7、甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a 的相反数就是它本身，乙说一个数b 的倒数也等于它本身，请你猜一猜|a-b|=__1____。

8、因为22
11121,11112321==，所以76543211234567898= 111111111
二、选择题
1、如图，数轴上点P 表示的数可能是（ B ） Ａ.7
Ｂ.7-
Ｃ. 3.2-
Ｄ.10-
2、在数轴上，如果点A 表示3，点B 表示-2，那么表示 -10/7的点C 在（ C ） A.线段OA 上
B.线段OB 上
C.线段AB 延长线上
D.线段BA 的延长线上
3、数轴上表示25，的对应点分别为C 、B ，点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是（ C ） A.5- B.25-
C.45-
D.52-
4、28 cm 最接近于（ C ） A ．珠穆朗玛峰的高度
B ．三层楼的高度
C ．姚明的身高
D ．一张纸的厚度
5、下列计算中正确的是（ D ）
A ．325+=
B ．321-=
C .3333=+
D ．822-=
6、下列运算错误的是 ( A )
A. 2＋3＝ 5
B. 2•3＝ 6
C. 6÷3＝ 2
D. 2(2)-＝2
三、判断对错：(对的在括号填“√”，错的在括号填“×”)，有错的，请你改正或举一反例： (1) 正实数包括正有理数和正无理数。

( √ )
(2) 两个无理数的和仍是无理数。

( × ) ⑻4＝ 2。

( √ ) (3) 无限小数都是无理数。

( × ) ⑼7-
是7的平方根。

( √ )
(4) 无理数都是无限小数。

( √ ) ⑽ 3.14是无理数。

( × ) (5) 8的平方根是±4。

( × ) ⑾16的平方根是2。

( × ) (6) a 2的正平方根是a 。

( × ) ⑿任何实数都可以开方。

( × )
3- 2- 1-
0 1 2 3 P
A C B
2 5
(7) 3
1＝0.333…是无理数。

( × ) ⒀负数没有方根。

( × )
四、简答题
1、已知数轴上的四点A 、B 、C 、D 所对应的实数依次是
2、24
3
-
、22、2-，求：（1）在数轴上描出点A 、B 、C 、D ；（2）线段AB 、BC 、CD 、AC 的长度。

参考答案：(1)略（2）线段AB 、BC 、CD 、AC 的长度分别为2,23,24
11
,245 2、计算：
（1）()
()2
2011
3
1313272π-⎛⎫
-+-⨯--+ ⎪
⎝⎭
（2）423423-++
参考答案：（1）3 （2）23
精解名题
例1、计算：
（1）342221(2)(1)(12)[()]20.254[13(2)]-⨯---÷-⨯+-⨯- （2）23320)5.1(9216.01221---++-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+
参考答案：（1）2 （2）3
2
25
例2、比较下列每组数的大小：
(1)与
；
(2)与
；
(3)与
；(4)a与
(a≠0)
思路点拨：(1)有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小.因此比较
和的大小，可将其通分，转化成同分母分数比较大小；(2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较；(3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较(4)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况。

解：(1)，
，，所以
(2)
因为所以
；
(3)，
，而
与可以很容易进行比较得到
，所以
；
(4)当a<-1或O<a<1时，a<；当-1<a<0或a>1时，
a>
； 当a=1或-1时，a=1/a.
例3、求下列各式的值：
(1)252
3 ； （2）（49
36）23
； （3）
2222；
（4）（4
25）2
3
-； （5）432
981⨯； （6）23×35.1×612
解：(1)2
32
2
3
)5(25=＝53＝125 (2)343
21676)76()76(])76[()4936(33323
223223=====⨯
(3)
2
16
15
(4)125
852)52()25()25(])25[()425(333
323223223======-⨯--
(5)4
1324
4
3
2
4
4
2
12324
4
2
1322
44
3
2)33(333
3])3[(39
81⨯=⨯=⨯=⨯=⨯⨯⨯
=66
14
13
24
14
3333)3()3(=⨯=⨯
(6)23×3
5.1×6
12＝2×32
1×（2
3）31
×（3×22）61＝2×32
1
×331×231×361×231＝（2×231-×231）×
（321
×331×361）＝23
1311+-×3
6
1
3121++＝2×3＝6
备选例题
例1、计算：
思路点拨：近年来，为了突出考察学生创造思维的水平，中考命题时不仅考查运算的熟练，准确，更注重考查算理的运用和灵活处理运算问题的能力，使运算更加合理简便的能力、我们从复习数开始，就要加强含字母的式子变形技能的训练及能力的提高.
解：设n=2001，则原式=
(把n2+3n看作一个整体)
=
=n2+3n+1=n(n+3)+1
=2001×2004+1=4010005
例2、若表示不超过
的最大整数（如
等），则
___2000__。

点拨：
=,
= 1，
= , =
1，… …
=
= 1，
原式=2000个1相加=2000
例3、若1
3a a -+=，求下列各式的值：
（1）112
2
a a
-+； （2）2
2
a a -+； （3）3322
a a
-+； （4）
332
2112
2
a a a a
--
--
（1）5 （2）7 （3）25 （4）4
巩固练习
一、填空题：
1、2008 (保留三个有效数字)：__3
1001.2⨯_； 0.0001256 (保留两个有效数字)：_4
103.1-⨯__
2、计算：（1）()()
1222322--⨯++-=_323-_; (2)3222311
--⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=_23-_
3、366
3
94
94(
)(
)a a ⋅=__4a ___
4、在五环图案内，分别填写五个数a ，b ，c ，d ，e ，如图，，
其中a ，b ，c 是三个连续
偶数(a<b)，d ，e 是两个连续奇数(d<e)，且满足a+b+c=d+e ，例如
.请你在0到20
之间选择另一组符合条件的数填入下图：。

参考答案：
5、废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量).某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为_____600×50=30000=3×104____立方米。

6、近似数0.030万精确到__十____位，有__2___个有效数字，用科学记数法表示记作
________万。

二、选择题：
1、下面计算正确的是（ B ）
A.3333=+
B.3327=÷
C.532=⋅
D.24±=
2、下列运算中，正确的个数是（ A ） ()
3
2
3
5
26023215x x x x x +==⨯-=①，②，③，
④538--+=，⑤1
1212
÷=·． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3、下列运算正确的是（ C ） A ．(1)1x x --+=+ B ．954-= C ．3223-=- D ．222()a b a b -=-
4、下列计算不正确的是（ A ）
A.31222-+=-
B.2
11
39
⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C.33-= D.1223=
5、下列计算：①3838-=-；②9494+=+；③2
2223=-其中正确的有( B )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6、由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ C ）
A ．精确到十分位，有2个有效数字
B ．精确到个位，有2个有效数字
C ．精确到百位，有2个有效数字
D ．精确到千位，有4个有效数字
7、根据统计，某市2008年财政总收入达到105.5亿元.用科学记数法(保留三位有效数字)表示105.5亿元约为( B )
A ．1.055×1010元
B ．1.06×1010元
C ．1.06×1011元
D ．1.05×1011元
8、我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了“河图”的部分点图，请你推算出P 处所对应的点图是( C )
三、计算题：
1、（1）21
1511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； （2）8
3184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
解（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =()()211115326236
263a b +-+-⨯-÷-⎡⎤⎣⎦
=044ab a =； （2） 8
3184m n -⎛⎫= ⎪⎝⎭8
8
3184m n -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
23
3m m n n -=
2、计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
(1)(xy 2·
21
x ·21-y )31·2
1)(xy ； (2)236
9)(
a ·26
3
9)(a
解：(1)原式=3
1x 3
2
y ·
6
1x ·6
1
-
y ·21x ·2
1y =xy (2)原式=[·])[(2
316
9
a [2
613
9])(a ]=a 1·a 1=a 2
自我测试
一、填空题：
1、计算 2
116＝_4___，3
227
-＝_
91_，3
1
833-
⎪⎭
⎫
⎝⎛-＝_32-_ 2、如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三
层每边有三个点，依次类推，如果层六边形点阵的总
点数为331，则等于_11_。

3、用数学式子表示：
⑴ 64的正平方根是 8。

_864=_ ⑵ 49除以25的商的21次幂。

_2
1
2549⎪⎭
⎫ ⎝⎛_
⑶－2的绝对值的平方根。

__2-±
_ ⑷ 3的平方根的绝对值。

_3±_
⑸－64的三次方根的相反数是4。

_4643=--_ 4、写成方根的形式： 7
3
6＝__73
6_， 2
35＝_
()3
5_
5、近似数1. 23万 是精确到_百_位；近似数1. 230×108是精确到_十万_位。

6、近似数1. 2×10
－2
是精确到__千分_位；近似数6.407 有_四__个有效数字。

7、已知： 1
12
2
5x x -
-=，则1x x -+= 27
二、选择题
1、填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是( D )
A ．38
B ．52
C ．66
D ．74
2、下列说法正确的是（ A ）
A.32- 的倒数是32+
B.222
(32)(3)(2)321-=-=-=
C.32-的相反数是32+
D.
3
3
是分数。

3、由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ C ）
A ．精确到十分位，有2个有效数字
B ．精确到个位，有2个有效数字
C ．精确到百位，有2个有效数字
D ．精确到千位，有4个有效数 4、估计1
832
⨯
+的运算结果应在（ C ） A ．1到2之间 B ．2到3之间
C ．3到4之间
D ．4到5之间
三、解答题：
1、计算下列各式（式中字母都是正数）
8
834
16
56
13
12
12
13
2))(2( );3()6)(2)(1(n m b a b a b a -÷- 4332
25)12525)(4( );0()
3(÷->a a a a
（5）1
2
10
3
18397227532753833--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--⎪
⎭
⎫ ⎝⎛- （6）3
12227174)5(13⎪⎭⎫
⎝⎛---- 解：a ab b
a b a b a b a 44)]3()6(2[)3()6)(2)(1(06
531216
121326
56
13
12
1
2
13
2==-÷-⨯=-÷-++++
323
33
838
418
834
1)()())(2(n
m n
m n m n m =⋅==--
（5）6 （6）3
213
四、（1）已知1122
3x x
-+=，求332
2
2232x x x x -
-+-+-的值；（2） 已知221x
a =-，求33x x x x
a a a a
--++的值。

解：（1）1
1
2
2
2()9x x
-
+=，∴117x x -+=，又112()49x x -+=，2247x x -+=，又
3311112
2
2
2
()(1)18x x
x x x x -
-
-+=++-=，∴原式1831
4723
-=
=-
（2）21
(21)21x
a --=-=+，33221221x x x x
x x
a a a a a a
---+=+-=-+
65
6
53
22122
32
1232
2)
3(a a a
a
a a a a a ===⋅=
⋅--41254
512
54
1234
1324
12
34
13
24
12
332435
55555
555555)55(5)12525)(4(-=-=-=÷-÷=÷-=÷---。