2015年高考数学(四川专用,理)一轮复习配套讲义：第11篇 第4讲 离散型随机变量及其分布列

第4讲离散型随机变量及其分布列
[最新考纲]
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.
知识梳理
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则表
称为离散型随机变量X的概率分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为
，其中p＝P(X＝1)
(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则
P(X＝k)＝C k M C n－k
N－M
C n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，
N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.
辨析感悟
1．离散型随机变量
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(√)
(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)
2．分布列的性质及两个特殊的概率分布
(4)如果随机变量X的分布列由下表给出：
(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(√)
(6)(教材习题改编)已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝
i
2a(i＝1,2,3,4)，则P(2<X≤4)＝
0.7.(√)
[感悟·提升]
1．离散型随机变量的特点
一是在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；二是在大量重复试验中能按一定统计规律取值的变量，即存在统计规律性，如(1)、(3)．
2．分布列的两条性质
离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各值的概率，如(6)；要理解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布，如(4)、(5)；并善于灵活运用两性质：一是p i≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋p n＝1检验分布列的正误，如(2)．
考点一离散型随机变量分布列的性质
【例1】 设离散型随机变量X 的分布列为
求随机变量Y ＝|X －1|解 由分布列的性质，知
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 列表
∴P (Y ＝1)＝P (X ＝0)＋P (X P (Y ＝0)＝P (X ＝1)＝0.1， P (Y ＝2)＝0.3，P (Y ＝3)＝0.3. 因此Y ＝|X －1|的分布列为：
规律方法 (1)个概率值均为非负数．
(2)若X 是随机变量，则Y ＝|X －1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求Y 取各值的概率，进而写出分布列． 【训练1】 随机变量X 的分布列如下：
其中a ，b ，c 成等差数列，则P 解析 由题意知⎩⎨⎧
2b ＝a ＋c ，
a ＋
b ＋
c ＝1，
则2b ＝1－b ，则b ＝13，a ＋c ＝2
3，
所以P (|X |＝1)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝1)＝a ＋c ＝2
3. 答案 23
考点二离散型随机变量的分布列
【例2】(2013·天津卷)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
审题路线(1)编号为3的卡片来源有两类，利用古典概型求事件的概率．(2)根据任取4张卡片的不同情况确定X的所有可能取值，然后求出相应的概率，进而确定分布列、计算数学期望．
解(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝C12C35＋C22C25
C47
＝6 7.
所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为6 7.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝C33
C47＝
1
35，P(X＝2)＝
C34
C47＝
4
35，
P(X＝3)＝C35
C47＝
2
7，P(X＝4)＝
C36
C47＝
4
7.
所以随机变量X的分布列是
随机变量X的数学期望E(X)＝1×1
35＋2×
4
35＋3×
2
7＋4×
4
7＝
17
5.
规律方法(1)
量服从何种概率分布；②求每一个随机变量取值的概率；③列成表格．
(2)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．
【训练2】(2014·青岛质检)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个
球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望E(X)．
解(1)由题意得X取3,4,5,6，
且P(X＝3)＝C35
C39＝
5
42，P(X＝4)＝
C14·C25
C39＝
10
21，
P(X＝5)＝C24·C15
C39＝
5
14，P(X＝6)＝
C34
C39＝
1
21.
所以X的分布列为
(2)由(1)知E(X)＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝13 3.
考点三超几何分布问题
【例3】(2014·哈尔滨调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据．记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X 的分布列．
审题路线(1)由频数分布表，知10天中仅有3天空气质量达到一级，利用古典概型可求第(1)问中的概率．(2)超标的天数X服从超几何分布．利用超几何分布的概率公式代入求解．
解(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则
P(A)＝C13·C27
C310＝
21
40.
(2)依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝C k3·C3－k
7
C310(k＝0,1,2,3)，
∴P(X＝0)＝C03C37
C310＝
7
24，
P(X＝1)＝C13C27
C310＝
21
40，
P(X＝2)＝C23C17
C310＝
7
40，
P(X＝3)＝C33C07
C310＝
1
120，
因此X的分布列为
规律方法(1)X 服从超几何分布．
(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
【训练3】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至
少得到1个白球的概率是7 9.
(1)求白球的个数；
(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．
解(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，
则P(A)＝1－C210－x
C210＝
7
9，
得到x＝5.故白球有5个．
(2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，
其中P(X＝k)＝C k5C3－k
5
C310，k＝0,1,2,3.
于是可得其分布列为
1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误．
2．注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误．
3．求概率分布的常见类型
(1)根据统计数表求离散型随机变量的分布列；
(2)由古典概型求离散型随机变量的分布列；
(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
思想方法11——分类讨论思想在概率中的应用
【典例】在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.
(1)求随机变量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；
(2)求随机变量X的分布列．
解(1)∵x，y可能的取值为1,2,3，
∴|x－2|≤1，|y－x|≤2，
∴X≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，X＝3.
因此，随机变量X的最大值为3.
∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，
∴P(X＝3)＝2 9.
故随机变量X的最大值为3，事件“X取得最大值”的概率为2 9.
(2)X的所有取值为0,1,2,3.
∵X＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，
X＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况，X＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况．
∴P(X＝0)＝1
9，P(X＝1)＝
4
9，P(X＝2)＝
2
9.
则随机变量X的分布列为
[反思感悟] (1)
(2)随机变量X的值是x，y的函数，所以要对x，y的取值进行分类讨论．
(3)分类不全面或计算错误是本题易错点．
【自主体验】
(2012·江苏卷)设X为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，X＝0；当两条棱平行时，X的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，X ＝1.求随机变量X的分布列．
解若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C23对相交棱，
因此P(X＝0)＝8C23
C212＝
4
11，
若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，
故P(X＝2)＝
6
C212＝
1
11，
于是P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－4
11－
1
11＝
6
11，
所以随机变量X的分布列是
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2014·武汉模拟)从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是 ( )． A.435 B.635 C.1235
D.36343
解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，
故所求概率为P ＝C 23C 14C 37
＝12
35.
答案 C
2．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：
则q 等于 A ．1 B ．1±2
2 C ．1－2
2
D ．1＋2
2
解析 由分布列的性质得：
⎩⎨⎧
0≤1－2q ＜1，
0≤q 2
＜1，
0.5＋1－2q ＋q 2＝1
⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
0＜q ≤12，q ＝1±2
2.
∴q ＝1－2
2.
答案 C
3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于 ( )．
A ．0 B.12 C.13 D.2
3 解析 由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，
由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝1
3.
答案 C
4．在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村
庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68
C 1015
的是
( )．
A ．P (X ＝2)
B ．P (X ≤2)
C ．P (X ＝4)
D ．P (X ≤4)
解析 X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8
C 1015
，k ＝4.
答案 C
5．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a
n (n ＋1)
(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则
P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2<X <52的值为 ( )．
A.23
B.34
C.45
D.56
解析 因为P (X ＝n )＝
a
n (n ＋1)
(n ＝1,2,3,4)，
所以a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5
＝a ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45a . ∴4a 5＝1，则a ＝54.则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 2＋a 6＝23a ＝56.
答案 D
二、填空题
6．(2014·西安质检)已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________． 解析 设X 取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，
则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝1
3，
由⎩⎪⎨⎪⎧
13－d ≥0，13＋d ≥0，
得－13≤d ≤1
3.
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－13，13
7．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________. 解析 由于随机变量X 等可能取1,2,3，…，n . 所以取到每个数的概率均为1n .
∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3
n ＝0.3，∴n ＝10.
答案 10
8．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为________． 解析 X 的取值为3,4,5.
又P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 2
3C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝3
5
.
∴随机变量X 的分布列为
答案
三、解答题
9．(2014·长沙调研)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后(3
件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 解 (1)P (当天商店不进货)
＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝3
10.
(2)由题意知，X 的可能取值为2,3.
P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝1
4；
P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售
量为3件)＝120＋920＋520＝3
4.
所以X 的分布列为
10.(2013·重庆卷)在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与数学期望E (X )．
解 设A i (i ＝0,1,2,3)表示摸到i 个红球，B j (j ＝0,1)表示摸到j 个蓝球，则A i 与B j 独立．
(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 2
4C 37
＝18
35.
(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，且
P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1
105；
P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2
105，
P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝4
35
，
P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝6
7.
综上知，获奖金额X 的分布列为
从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1
105＝4(元)．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·兰州模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，则P (X ≤1)等于 ( )．
A.15
B.25
C.35
D.45
解 P (X ≤1)＝1－P (X ＝2)＝1－C 14C 22C 36
＝4
5.
答案 D
2．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：
F (x )＝P (X ≤x )，则当x ( )．
A.13
B.16
C.12
D.56
解 ∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝1
2. ∵x ∈[1,2)，
∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝5
6.
答案 D
二、填空题
3．(2014·青岛调研)为质检某产品的质量，现抽取5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X的分布列为________．解析5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝C23
C25＝0.3，
P(X＝1)＝C13·C12
C25＝0.6，
P(X＝2)＝C22
C25＝0.1.
∴优等品数X的分布列为
答案
三、解答题
4．(2014·广州质检)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为X，求X的分布列与数学期望．
解(1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.
(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为
(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.
因此X可能取0,1,2三个值．
P(X＝0)＝C29
C212＝
6
11，P(X＝1)＝
C19·C13
C212＝
9
22，
P(X＝2)＝C23
C212＝
1
22.
X的分布列为
故E(X)＝0×6
11＋1×
9
22＋2×
1
22＝
1
2.。