2016-2017学年湖北省武汉市华中师大一附中高二(上)期末数学试卷(理科)

2016-2017学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1. 设，，，若命题，，则其否定为（）
A.，
B.，
C.，
D.，
2. 在华中师大一附中首届数学节的演讲比赛中，七位评委为某参赛教师打出的分数的茎叶图如图所示，去掉最高分和最低分后，这位老师得分的方差为（）
A.
B.
C.
D.
3. 对于给定的样本点所建立的模型和模型，它们的残差平方和分别是的值分别为，，下列说法正确的是（）
A.若，则，的拟合效果更好
B.若，则，的拟合效果更好
C.若，则，的拟合效果更好
D.若，则，的拟合效果更好
4. 圆，以为中点的弦所在的直线方程为（）
A.
B.
C.
D.
5. 如图的程序运行后输出的结果是（）
A.
B.
C.
D. 6. 如图，在正方体中，过点作平面的垂线，垂足为点，给出以下命题：①是的垂心；②垂直于平面；③的延长线过点；④直线和所成角的大小为，其中正确的命题个数为（）
A.
B.
C.
D.
7. 甲乙丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，若开始时球在甲手中，则经过三次传球后，球传回甲手中的概率为（）
A.
B.
C.
D.
8. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A.
B.
C.
D.
9. 执行如图所示的程序框图，输入，，那么输出的各个数的和等于（）
A. B.
C. D.
10. 若，则方程有两个负根的概率为（）
A.
B.
C.
D.
11. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）
A.
B.
C.
D.
12. 已知的边长为，，，定义它的等腰判别式为，则“”是为等腰三角形的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
1. 李明和李华同时到公交站等路车和路车回家，若李明的路车分钟一班，李华的路车分钟一班，则李明先李华上车的概率为________．
2. 在把化为十进制数的程序框图，判断框内应填入的内容为________．
3. 设，是圆：上的动点，垂直平分线交于，则动点的轨迹方程是________．
4. 给出以下命题：
①若方程有实根，则；
②若双曲线的一条渐近线斜率为，则其离心率为；
③在锐角中，一定成立；
④秦九韶算法的特点在于把求一个次多项式的值转化为求个一次多项式的值；
⑤随机模拟方法的奠基人是蒙特卡罗．
其中正确的命题序号为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
1. 某城市户居民的月平均用水量（单位：吨），按，，，，，，，分组的频率分布直方图如图．
（1）求月平均用水量的众数和中位数；
（2）在月平均用水量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民参加用水价格听证会，则月平均用水量在的用户中应抽取多少户？
2. 同时投掷两个骰子，记向上的点数分别为，，设函数．
（1）求为偶函数的概率；
（2）求在上单调递增的概率．
3. 设，，是抛物线上的动点．
（1）求周长的最小值；
（2）若位于直线左上方，求面积的最大值．
4. 如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的大小为，求三棱柱的高．
5. 设命题，命题：当．
当时，分别判断命题和的真假；
如果为假命题，为真命题，求实数的取值范围．
6. 已知圆的任意一条切线与椭圆都有两个不同的交点，．
（1）求圆半径的取值范围；
（2）是否存在圆，满足恒成立？若存在，求出圆的方程及的最大值；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2016-2017学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.
【答案】
A
【考点】
命题的否定
【解析】
根据已知，结合全称命题否定的定义，可得答案．
【解答】
解：命题，的否定应为：，，
故选
2.
【答案】
B
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
去掉最高分和最低分后，这位老师得分为，，，，，先求出平均分，由此能求出方差．
【解答】
解：去掉最高分和最低分后，这位老师得分为，，，，，
平均分为，
∴方差为．
故选：．
3.
【答案】
C
【考点】
回归分析
【解析】
比较两个模型的拟合效果时，如果模型残差平方和越小，则相应的相关指数越大，该模型拟合的效果越好，即可得出结论．
【解答】
解：比较两个模型的拟合效果时，如果模型残差平方和越小，
则相应的相关指数越大，该模型拟合的效果越好．
故选．
4.
【答案】
D
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】
求出，即可求出以点为中点的弦所在直线方程．
【解答】
解：的圆心为，则，
∴以点为中点的弦所在直线方程为，即．
故选．
5.
【答案】
C
【考点】
循环结构
【解析】
经过观察为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．
【解答】
解：经过分析，本题为直到型循环结构，执行如下：
当时，不满足循环条件，跳出，输出．
故选：．
6.
【答案】
C
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】
首先，判断三棱锥为正三棱锥，然后，得到为正三角形，得到为在平面内的射影，然后，根据平面平面，得到②正确，最后，结合线面角和对称性求解．
【解答】
解：∵，，
∴三棱锥为正三棱锥，
∴点是的垂心，故①为真命题；
∵平面与平面平行，
∵平面，
∵平面平面，
∴垂直平面，故②为真命题；
根据正方体的对称性得到的延长线经过，故③为真命题
∵，∴就是直线和所成角，
在直角三角形中，
∵，，
∴，故④为假命题；
故选：．
7.
【答案】
A
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
画出树状图或列表，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．
【解答】
解：根据题意画出树状图如下：
∵一共有种情况，最后球传回到甲手中的情况有种，
∴（球传回到甲手中）．
故选：．
8.
【答案】
C
【考点】
由三视图求面积、体积
【解析】
由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．
【解答】
解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱
由于圆柱的底面半径为，其高为，故其体积为
棱锥底面是对角线为的正方形，故其边长为，其底面积为，又母线长为，
故其高为
由此知其体积为
故组合体的体积为
故选
9.
【答案】
A
【考点】
程序框图
【解析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，当时，满足条件，结束．计算可得输出的各个数的和等于．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
，
满足条件，，输出的值为，
不满足条件，，
满足条件，，输出的值为，
不满足条件，，
满足条件，，输出的值为，
不满足条件，，
满足条件，，输出的值为，
不满足条件，，
不满足条件，满足条件，，输出的值为，
不满足条件，，
不满足条件，满足条件，，输出的值为，
不满足条件，，
不满足条件，不满足条件，，输出的值为，
不满足条件，，
不满足条件，不满足条件，，输出的值为，
不满足条件，，
不满足条件，不满足条件，，输出的值为，
满足条件，结束．
综上，输出的各个数的和等于．
故选：．
10.
【答案】
D
【考点】
几何概型
【解析】
首先求出满足方程有两个负根的的范围，然后利用区间长度比求概率．
【解答】
解：方程有两个负根的等价条件为
解得，
在条件下的的范围为，
由几何概型的公式得到在，
方程有两个负根的概率为；
故选：
11.
【答案】
B
【考点】
双曲线的性质
椭圆的性质
【解析】
先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找，，之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用，表示出，，在中根据余弦定理可得到：，利用基本不等式可得结论．
【解答】
解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
，
，
∴，，
设，，则：
在中由余弦定理得，
∴化简可变成：，
∴
∴，
故选．
12.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
“”，不妨设，则，或，因此一定为等腰三角形．若为等腰三角形，不妨设，则与中的必然有一个为最大值，
另一个为最小值，可得．即可得出结论．
【解答】
解：“”，不妨设，则，
或，则，或，则一定为等腰三角形．
若为等腰三角形，不妨设，则与中的必然有一个为最大值，另一个为最小值，则．
∴ “”是为等腰三角形的必要充分条件．
故选：．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
1.
【答案】
【考点】
几何概型
【解析】
设李明、李华等车时间分别为，，则，，面积为，李明先李华上车为，求出对应区域面积，利用面积比求概率．【解答】
解：设李明、李华等车时间分别为，，则，，区域面积为，李明先李华上车为，对应区域面积为，
几何概型的公式得到李明先李华上车的概率为；
故答案为：．
2.
【答案】
【考点】
程序框图
【解析】
根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】
解：由已知中程序的功能是将二进制数化为十进制数
结合循环体中，及二进制数共有位
可得循环体要重复执行次
又由于循环变量初值为，步长为，故循环终值为，
即时，继续循环，时，退出循环，
故答案为：
3.
【答案】
【考点】
轨迹方程
【解析】
利用椭圆的定义判断点的轨迹是以、为焦点的椭圆，求出、的值，即得椭圆的方程．
【解答】
解：由题意得圆心，半径等于，，
∴半径，
故点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
，，∴，
∴椭圆的方程为．
故答案为：．
4.
【答案】
①②③④
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
①，若方程有实根，则；
②，若双曲线的一条渐近线斜率为，则，其离心率为；
③，在锐角中，成立；
④，秦九韶算法的特点在于把求一个次多项式的值转化为求个一次多项式的值；
⑤，随机模拟方法的奠基人是冯•诺伊曼，故错.
【解答】
解：对于①，若方程有实根，则，故正确；
对于②，若双曲线的一条渐近线斜率为，则，其离心率为，故正确；
对于③，在锐角中，成立，故正确；
对于④，秦九韶算法的特点在于把求一个次多项式的值转化为求个一次多项式的值，正确；
对于⑤，随机模拟方法的奠基人是冯•诺伊曼，故错
.
故答案为：①②③④.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
1.
【答案】
解：（1）根据频率分布直方图，计算月平均用水量的众数是
（吨），
因为，
所以月均用水量的中位数在内，
设中位数为，则，
，
所以月平均用水量的中位数是；
（2）月平均用水量为内的用户有户，
月平均用水在内的用户有户，
月平均用水量在内的用户有户，
用分层抽样的方法抽取户，抽取比例为，
所以月平均用水量在的用户中应抽取户．
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
【解析】
（1）根据频率分布直方图，计算众数和中位数即可；
（2）求出月平均用水量为、和内的用户，计算分层抽样抽取比例，
即可求出月平均用水量在的用户中应抽取的户数．
【解答】
解：（1）根据频率分布直方图，计算月平均用水量的众数是
（吨），
因为，
所以月均用水量的中位数在内，
设中位数为，则，
，
所以月平均用水量的中位数是；
（2）月平均用水量为内的用户有户，
月平均用水在内的用户有户，
月平均用水量在内的用户有户，
用分层抽样的方法抽取户，抽取比例为，
所以月平均用水量在的用户中应抽取户．
2.
【答案】
解：（1）若为偶函数，则，
而不可能是，
故为偶函数是不可能事件，
∴（是偶函数）；
（2）同时投掷两个骰子，产生的对数共有个，
在上递增的必要条件是，
若，则，在递增，此时满足条件的数对有个，若，要使在递增，
则推出，故，
此时满足要求的数对有，，，，
，，，，共个，
故使得在递增的数对是个，
根据古典概型公式得：在上单调递增）．
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
几何概型
【解析】
（1）根据不是，得到为偶函数是不可能事件，求出概率即可；
（2）根据函数的单调性得到，求出使得在递增的数对是个，从而求出满足条件的概率即可．
【解答】
解：（1）若为偶函数，则，
而不可能是，
故为偶函数是不可能事件，
∴（是偶函数）；
（2）同时投掷两个骰子，产生的对数共有个，
在上递增的必要条件是，
若，则，在递增，此时满足条件的数对有个，
若，要使在递增，
则推出，故，
此时满足要求的数对有，，，，
，，，，共个，
故使得在递增的数对是个，
根据古典概型公式得：在上单调递增）．
3.
【答案】
解：（1）到准线的距离为，则，
∵为常数，
∴，，共线时，周长最小，
∵，∴周长的最小值为；
（2）设与平行的直线，
由题意，当与抛物线相切时，切点满足面积最大，此时平行线间距离就是边上的高，
由得，令得，
∴，
∴，
∴面积的最大值．
【考点】
抛物线的性质
【解析】
（1）到准线的距离为，则，，，共线时，周长最小，即可求周长的最小值；
（2）设与平行的直线，由题意，当与抛物线相切时，切点满足面积最大，此时平行线间距离就是边上的高，求出，即可求面积的最大值．
【解答】
解：（1）到准线的距离为，则，
∵为常数，
∴，，共线时，周长最小，∵，∴周长的最小值为；（2）设与平行的直线，
由题意，当与抛物线相切时，切点满足面积最大，此时平行线间距离就是边上的高，
由得，令得，
∴，
∴，
∴面积的最大值．
4.
【答案】
（1）证明：设的中点为，连接、…
∵、分别是棱、的中点
∴，且，，且，
∴，…
∴是平行四边形，∴ …
∵平面，平面，
∴平面…
（2）解：以为原点，建立空间直角坐标系，得，，，
设，则，，，，
设平面的法向量，则．
取，
设平面的一个法向量是，则，取
∴，，
∴，
∴．
【考点】
直线与平面平行的判定
棱柱的结构特征
【解析】
（I）设的中点为，连接、，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，利用线面平行的判定，可得平面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的大小为，建立方程，即可求三棱柱的高．
【解答】
（1）证明：设的中点为，连接、…
∵、分别是棱、的中点
∴，且，，且，
∴，…
∴是平行四边形，∴ …
∵平面，平面，
∴平面…（2）解：以为原点，建立空间直角坐标系，得，，，
设，则，，，，
设平面的法向量，则．
取，
设平面的一个法向量是，则，取
∴，，
∴，
∴．
5.
【答案】
解：当时，
命题，
即恒成立，
故命题为真命题；
命题：当，
即，，
，，故命题为假命题.
若命题为真，
即恒成立，
即恒成立，
即，
解得：，
若命题：当为真，
即，
即，
令，，
则，
如果为假命题，为真命题，
则命题，一真一假.
当真假时，，
当假真时，，
综上可得：．
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
当时，命题，即，可判断其真假；
命题：当，即，，可判断其真假；
如果为假命题，为真命题，则命题，一真一假，进而得到实数的取值范围．【解答】
解：当时，
命题，
即恒成立，
故命题为真命题；
命题：当，
即，，
，，故命题为假命题.
若命题为真，
即恒成立，
即恒成立，
即，
解得：，
若命题：当为真，
即，
即，
令，，
则，
如果为假命题，为真命题，
则命题，一真一假.
当真假时，，
当假真时，，
综上可得：．
6.
【答案】
解：（1）要使圆的任意一条切线与椭圆都有两个不同的交点，
则圆必在椭圆的内部，∴．
（2）设圆的切线方程，由，得．
设，，，．
．
∵，∴，…①
∵与圆相切，∴ …②
由①②得，此时圆的方程为：，
当切线的斜率不存在时，切线方程为
，或，满足条件
∴圆的方程为：
∵，
当直线的斜率不存在或为时，．
∴
∵，∴，
的最大值．
【考点】
椭圆的性质
【解析】
（1）要使圆的任意一条切线与椭圆都有两个不同的交点，则圆必在椭圆的内部即可．
（2）设出切线的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件，化简整理，即可得到半径的值．由，即，可得的最大值．
【解答】
解：（1）要使圆的任意一条切线与椭圆都有两个不同的交点，
则圆必在椭圆的内部，∴．（2）设圆的切线方程，由，得．设，，，．
．
∵，∴，…①
∵与圆相切，∴ …②
由①②得，此时圆的方程为：，
当切线的斜率不存在时，切线方程为，或，满足条件
∴圆的方程为：
∵，
当直线的斜率不存在或为时，．
∴
∵，∴，
的最大值．。