概率论与数理统计第4章：数字特征总复习题

第4章总复习题
()()1.15 选择题：小题，每小题4分，共20分.下列每小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的.
()(
)()()()221
1,,.
x x X f x E X D X -+-=
已知连续型随机变量的概率密度为则分
别为()10,.
2
A (
)1,
.B ()11,
.2C ()11,
.4
D ()1.
C 答案为()()()()()(
)22,1,32.X Y E X E Y D X E X X Y ===+-=⎡⎤⎣⎦设随机变量和不相关，，则()3.A ()4.B ()5.
C ()2.
D ()2.
C 答案为()()()()()3,.
X Y D X Y D X Y +=-设随机变量,满足则必有().A X Y 与相互独立().B X Y 与不相关().
C X Y 与不相互独立()()().
D D X D Y =0,=0()3.
B 答案为()()4.
m 将长度为1的木棍随机地截成两段，两段长度的相关系数为()1.
A ()1.2
B ()1
.2
C -
() 1.
D -
()4.
D 答案为()()()()()1212125,cov ,1,cov ,3,cov 2,.
X X Y X Y X Y X X Y =-=+=设,均为随机变量，已知则()2.A ()1.B ()4.
C ()5.
D ()5.
D 答案为()()2.610.
填空题小题，每题4分，共20分()()60,121.
X N Y X =- 已知随机变量,则随机变量的方差为
()()6 4.
D Y =答案:()()()()271,3,23.
X E X D X E X =-=-=设为随机变量，且则()()2723 5.
E X -=答案：()()()()()()222
80,2,
.
X Y E X E Y E X E Y E X Y ====⎡⎤+=
⎣⎦
设随机变量和的相关系数为0.5，则()(
)2
8 6.
E X Y ⎡⎤+=⎣⎦
()()()912.
X E X
X λλ--=⎡⎤⎣⎦=
设随机变量服从参数为的泊松分布，且1，则
()9 1.
λ=()100.9,0.4,.
X Y Z X Y Z =-设随机变量和的相关系数为若则与的相关
系数为
()100.9.
YZ
ρ=
()()3.11141560.
解答题：小题，每小题分，共分()()()()211,01,0,.3
,.
5
X a bx x f x E X D X ⎧+<<=⎨
⎩
=设二维随机变量的概率密度为
其它已知求()()()()()()()()()()1201202
2
2
2
1
3
33,311
5241236
555
32.
525I f x dx a bx dx a a b E X xf x dx a bx dx a b
a b a b f x D X E X
E X x f x dx +∞
-∞+∞-∞+∞
-∞
==+=++====+=++===⎛⎫
-=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
⎰
⎰⎰⎰⎰
解:由得由
得2,解得,,
代入的表达式中并通过计算可得
=-=()12一批零件中有9个合格品、3个次品，从这批零件中任取一个，如果每次取
出的次品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的次品数的期望、方差和标准差.
.
X 解设次品数为，则其分布律如下X 0
123P
34
9449
220
1220
()()()()3
32
2
220
0.3,0.30.319,
0.565.
k k k
k k k E X x p D X E X E X x
p =====-=-=⎡⎤⎣⎦=∑∑
()()13,.
X Y 设随机变量的联合概率分布如下()1
.,.
2
XY E Y a b ρ=已知求：①常数；②()()()(
)()(
)()()()()3311
1,.
4828
913911
,,,,
826442
1cov ,,16XY a b E Y b a b E X E Y D X D Y E XY X Y E XY E X E Y ρ++==+=========-=-=-解①利用分布律的性质得又得②()()()()()()14,1
,02,02,
,8
0,,,.
XY X Y x y x y f x y E X E Y ρ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩
设随机变量的联合概率密度函数为
其他，求()()()()()()()()(
)()()()()()2
2
0022002
2
2
2
2
2
001
7
14.8
61771
cov ,,
86636
1
711
8636
11
36.
111136
XY E X dx x x y dy E Y X Y E XY E X E Y dx xy x y dy D X E X E X dx x x y dy D Y ρ=⋅+=
==-=⋅+-⨯=-⎛⎫=-=⋅+-
=
=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:，
()()()()()2215130,4,1,.
232
..
XY XZ X Y N N X Y X Y
Z Z E Z D Z X Z ρρ=-=+已知随机变量和分别服从正态分布，和且与的相关系数设①求的数学期望和方差②求与的相关系数()()()()()()()()()()()
22211115,323
111
2cov ,1423
326
11cov ,cov ,cov ,cov ,32321113220
XZ E Z E X E Y D Z D X D Y X Y X Y X Z X X X X Y ρ=
+==++⨯=+-=⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭⎛⎫
=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭
=
=解：①②3+340所以
()164, 1.5,.
;425.
X g g X g T g 假设某种化学产品在任一批次中所含特定杂质的量为随机变量，其数
学期望为标准差为各批次之间相互独立①随机检查50批次，求杂质的平均值在3.5 3.8之间的概率②随机检查100批次，求杂质的总量不超过的概率(){}
()()()2122
100
2
11
1,,
1.54,4,0.02121503.84 3.543.5 3.80.21210.21210.94
2.360.1645.
,,4n
i i n
i i
i i X X N n n X N N P X X N n n T X N σμμσ
===⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭
--⎛⎫⎛⎫
≤≤≈Φ-Φ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=Φ--Φ-==∑∑∑解:①由列维-林德伯格定理，=近似服从即近似服从,则
②由列维-林德伯格定理，近似服从即近似
服从正态分布(){}()200,15425400425 1.670.9525
15P T -⎛⎫
≤≈Φ=Φ= ⎪⎝⎭
，则。