北师大版八年级数学下册课件--2 图形的旋转
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2 图形的旋转
旋转的有关概念 1.下列运动形式属于旋转的是( C ) (A)在空中上升的氢气球 (B)飞驰的火车 (C)时钟上钟摆的摆动 (D)运动员掷出的标枪 2.(2019益阳)在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点 都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A′B′C′,使各顶点仍 在格点上,则其旋转角的度数是 90° .
(2)由旋转性质可知△ABP≌△ACP′,所以 AP′=AP,∠CAP′=∠BAP. 又因为∠BAP+∠PAC=90°,所以∠P′AC+∠PAC=90°, 所以△PAP′为等腰直角三角形. 在 Rt△ABC 和 Rt△PAP′中,BC= 42 42 =4 2 ,PP′= 32 32 =3 2 .
(A)AC=AD
(B)AB⊥EB
(C)BC=DE
(D)∠A=∠EBC
3.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC 绕点 C 按逆时针 方向旋转得到△A′B′C,此时点 A′恰好在 AB 边上,则点 B′与点 B 之间的距 离为( D ) (A)12 (B)6 (C)6 2 (D)6 3
所以三角板绕点 O 的最短运动时间为 240 =16(秒). 15
6.(2019淮安)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点A,B都 在格点上(两条网格线的交点叫格点). (1)将线段AB向上平移两个单位长度,点A的对应点为点A1,点B的对应点为点B1, 请画出平移后的线段A1B1; (2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°,点B1的对应点 为点B2,请画出旋转后的线段A1B2; (3)连接AB2,BB2,求△ABB2的面积.
4.(2019海南)如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得 到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF.若AB=3, AC=2,且α+β=∠B,则EF= 13 .
5.如图,在△ABC中,∠CAB=65°,在同一平面内,将△ABC绕点A逆时针旋转到 △AB′C′的位置,使得C′C∥AB,则∠B′AB等于 50° .
解:(1)因为∠C=90°,BC=8,AC=6,
所以 AB= AC 2 BC 2 =10, 因为把 Rt△ABC 绕着点 B 逆时针旋转,得到 Rt△DBE, 所以 DE=AC=6,
所以 S = △ABD 1 AB·DE= 1 ×10×6=30.
2
2
(2)设∠BDA=x°,求∠BAC的度数(用含x的式子表示).
解:(2)因为把Rt△ABC绕着点B逆时针旋转,得到Rt△DBE, 所以∠ABD=∠ABC,DB=AB, 所以∠BDA=∠BAD=x°, 因为∠ABD=180°-∠BDA-∠BAD, 所以∠ABC=∠ABD=180°-2x°, 因为∠BAC=90°-∠ABC, 所以∠BAC=90°-(180°-2x°)=(2x-90)°.
3.如图,将△ABC绕点B按顺时针方向旋转后得到△A′BC′. (1)找出旋转中心,指出旋转角; (2)指出对应顶点和对应边.
解:(1)旋转中心是点B; 旋转角是∠ABA′或∠CBC′. (2)对应顶点:A与A′,B与B,C与C′; 对应边:AB与A′B,AC与A′C′,BC与BC′.
旋转的性质及作图 4.如图,△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD,若 ∠A=110°,∠D=40°,则∠α的度数为( A ) (A)55° (B)75° (C)85° (D)90° 5.如图,已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得,其中点D在射线AC上,设旋 转角为α,直线BC与直线DE交于点F,那么下列结论不正确的是(D ) (A)∠BAC=α (B)∠DAE=α (C)∠CFD=α (D)∠FDC=α
解:(1)依题意知,旋转角是∠MON,且∠MON=90°,即ON旋转了90°.
(2)继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置,使得OM在
∠BOC的内部,则∠BON-∠COM=
°;
解:(2)因为∠AOC∶∠BOC=2∶1, 所以∠AOC=120°,∠BOC=60°, 因为∠BON=90°-∠BOM,∠COM=60°-∠BOM, 所以∠BON-∠COM=90°-∠BOM-60°+∠BOM=30°.
6.如图,点F是等边△ABC内一点,将△ABF绕点B按顺时针方向旋转60°得 △CBG,连接FG,则△BFG的形状是 等边三角形 .
7.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,P是△ABC 内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ACP′, (1)画出旋转后的△ACP′; (2)连接PP′,若AP=3,AB=4,求BC,PP′的长. 解:(1)如图所示,△ACP′即为旋转后的三角形.
(3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中,若三角板绕点O按每
秒钟15°的速度旋转,当OM恰为∠BOC的平分线时,此时,三角板绕点O的最短
运动时间为
秒,简要说明理由.
解:(3)16 秒.理由如下: 如图,由(2)知,∠AOC=120°,∠BOC=60°. 因为 OM′,恰为∠BOC 的平分线,所以∠COM′=30°. 所以∠AOM+∠AOC+∠COM′=240°. 因为三角板绕点 O 按每秒钟 15°的速度旋转,
(拓展探究题)如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC∶∠BOC= 2∶1,将一含30°角的直角三角板的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上, 另一边OM在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置,使得OM落在射线
OA上,此时ON旋转的角度为
°;Байду номын сангаас
1.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上, 则∠BAD的度数是( D ) (A)65° (B)70° (C)80° (D)90°
2.(2019天津)如图,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点A的对应点D恰好
落在边AB上,点B的对应点为E,连接BE.下列结论一定正确的是( D )
解:(1)线段A1B1如图所示. (2)线段A1B2如图所示.
(3)
SABB2
=4×4-
1 2
×2×2-
1 2
×2×4-
1 2
×2×4=6.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,把Rt△ABC绕着点B逆时针旋转,得到Rt△DBE, 点E在AB上,连接AD. (1)若BC=8,AC=6,求△ABD的面积;
旋转的有关概念 1.下列运动形式属于旋转的是( C ) (A)在空中上升的氢气球 (B)飞驰的火车 (C)时钟上钟摆的摆动 (D)运动员掷出的标枪 2.(2019益阳)在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点 都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A′B′C′,使各顶点仍 在格点上,则其旋转角的度数是 90° .
(2)由旋转性质可知△ABP≌△ACP′,所以 AP′=AP,∠CAP′=∠BAP. 又因为∠BAP+∠PAC=90°,所以∠P′AC+∠PAC=90°, 所以△PAP′为等腰直角三角形. 在 Rt△ABC 和 Rt△PAP′中,BC= 42 42 =4 2 ,PP′= 32 32 =3 2 .
(A)AC=AD
(B)AB⊥EB
(C)BC=DE
(D)∠A=∠EBC
3.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC 绕点 C 按逆时针 方向旋转得到△A′B′C,此时点 A′恰好在 AB 边上,则点 B′与点 B 之间的距 离为( D ) (A)12 (B)6 (C)6 2 (D)6 3
所以三角板绕点 O 的最短运动时间为 240 =16(秒). 15
6.(2019淮安)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点A,B都 在格点上(两条网格线的交点叫格点). (1)将线段AB向上平移两个单位长度,点A的对应点为点A1,点B的对应点为点B1, 请画出平移后的线段A1B1; (2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°,点B1的对应点 为点B2,请画出旋转后的线段A1B2; (3)连接AB2,BB2,求△ABB2的面积.
4.(2019海南)如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得 到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF.若AB=3, AC=2,且α+β=∠B,则EF= 13 .
5.如图,在△ABC中,∠CAB=65°,在同一平面内,将△ABC绕点A逆时针旋转到 △AB′C′的位置,使得C′C∥AB,则∠B′AB等于 50° .
解:(1)因为∠C=90°,BC=8,AC=6,
所以 AB= AC 2 BC 2 =10, 因为把 Rt△ABC 绕着点 B 逆时针旋转,得到 Rt△DBE, 所以 DE=AC=6,
所以 S = △ABD 1 AB·DE= 1 ×10×6=30.
2
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(2)设∠BDA=x°,求∠BAC的度数(用含x的式子表示).
解:(2)因为把Rt△ABC绕着点B逆时针旋转,得到Rt△DBE, 所以∠ABD=∠ABC,DB=AB, 所以∠BDA=∠BAD=x°, 因为∠ABD=180°-∠BDA-∠BAD, 所以∠ABC=∠ABD=180°-2x°, 因为∠BAC=90°-∠ABC, 所以∠BAC=90°-(180°-2x°)=(2x-90)°.
3.如图,将△ABC绕点B按顺时针方向旋转后得到△A′BC′. (1)找出旋转中心,指出旋转角; (2)指出对应顶点和对应边.
解:(1)旋转中心是点B; 旋转角是∠ABA′或∠CBC′. (2)对应顶点:A与A′,B与B,C与C′; 对应边:AB与A′B,AC与A′C′,BC与BC′.
旋转的性质及作图 4.如图,△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD,若 ∠A=110°,∠D=40°,则∠α的度数为( A ) (A)55° (B)75° (C)85° (D)90° 5.如图,已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得,其中点D在射线AC上,设旋 转角为α,直线BC与直线DE交于点F,那么下列结论不正确的是(D ) (A)∠BAC=α (B)∠DAE=α (C)∠CFD=α (D)∠FDC=α
解:(1)依题意知,旋转角是∠MON,且∠MON=90°,即ON旋转了90°.
(2)继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置,使得OM在
∠BOC的内部,则∠BON-∠COM=
°;
解:(2)因为∠AOC∶∠BOC=2∶1, 所以∠AOC=120°,∠BOC=60°, 因为∠BON=90°-∠BOM,∠COM=60°-∠BOM, 所以∠BON-∠COM=90°-∠BOM-60°+∠BOM=30°.
6.如图,点F是等边△ABC内一点,将△ABF绕点B按顺时针方向旋转60°得 △CBG,连接FG,则△BFG的形状是 等边三角形 .
7.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,P是△ABC 内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ACP′, (1)画出旋转后的△ACP′; (2)连接PP′,若AP=3,AB=4,求BC,PP′的长. 解:(1)如图所示,△ACP′即为旋转后的三角形.
(3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中,若三角板绕点O按每
秒钟15°的速度旋转,当OM恰为∠BOC的平分线时,此时,三角板绕点O的最短
运动时间为
秒,简要说明理由.
解:(3)16 秒.理由如下: 如图,由(2)知,∠AOC=120°,∠BOC=60°. 因为 OM′,恰为∠BOC 的平分线,所以∠COM′=30°. 所以∠AOM+∠AOC+∠COM′=240°. 因为三角板绕点 O 按每秒钟 15°的速度旋转,
(拓展探究题)如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC∶∠BOC= 2∶1,将一含30°角的直角三角板的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上, 另一边OM在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置,使得OM落在射线
OA上,此时ON旋转的角度为
°;Байду номын сангаас
1.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上, 则∠BAD的度数是( D ) (A)65° (B)70° (C)80° (D)90°
2.(2019天津)如图,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点A的对应点D恰好
落在边AB上,点B的对应点为E,连接BE.下列结论一定正确的是( D )
解:(1)线段A1B1如图所示. (2)线段A1B2如图所示.
(3)
SABB2
=4×4-
1 2
×2×2-
1 2
×2×4-
1 2
×2×4=6.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,把Rt△ABC绕着点B逆时针旋转,得到Rt△DBE, 点E在AB上,连接AD. (1)若BC=8,AC=6,求△ABD的面积;