高教社2024高等数学第五版教学课件-10.2 线性方程组解的判定

2 − 3 = 2
3 − 4 = 3
4 − 5 = 4
5 − 1 = 5
有解的充要条件是1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 0．在有
解的情况下，求出它的全部解。
证明 由矩阵的行初等变换化简增广矩阵
1
0
= 0
0
−1
−1 0
0
0 1
1 −1 0
0 2
0
1 −1 0 3
将后 − 个未知量项移至等号的右侧，有
11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1 − 1,+1 +1 − ⋯ − 1
22 2 + ⋯ + 2 = 2 − 2,+1 +1 − ⋯ − 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
= − ,+1 +1 − ⋯ −
程组无解；
（2）当 = 1时， = = 1 < 3，线性方程
组有无穷多解，即
1 = 1 − 2 − 3 ，这里2 , 3 是自由未知量；
（3）当 ≠ 1且 ≠ −2时， = = 3，线性
方程组有唯一解，即
+1
1 =
+2
1
2 =
+2
( + 1)2
0
0
0
−1
−5
−1 2 + 3 + 4
−1
3 + 4
−1
4
0
0
于是线性方程组在σ5=1 = 0下的解为
1 = 5 − 5
2 = 5 + 2 + 3 + 4
3 = 5 + 3 + 4
4 = 5 + 4
其中5 为自由未知量.
3. 讨论下面的线性方程组解的情况：
第十章 线性方程组
第二节 线性方程组解的判定
上一节，我们讨论了用Gauss消元法求解线性方程组，
并且知道，线性方程组解的情况有三种：唯一解、无穷
多解和无解．归纳求解过程，就相当于对方程组(1)的增
广矩阵


| =
⋮

进行初等行变换.


⋮

⋯
⋯
⋯
⋮
⋯
再用回代的方法，自下而上依次求出 , −1 , ⋯ , 1 ，
其中+1 , ⋯ , 为自由未知量．此时，每给出+1 , ⋯ ,
的一组值，就得到一组解，于是方程组(1)有无穷多解．
定理10.2（线性方程组相容性定理）设非齐次线性方程
组(1)的系数矩阵为，增广矩阵为 | ，则：
1 + 2 + 3 = 1
൞ 1 + 2 + 3 =
1 + 2 + 3 = 2
解 对增广矩阵进行行初等变换
1
| = 1
1 1
−1
+
1 1
1
2
3 −1
1 ↔2
+
2
1
1
1 1
1

0 1 − 2
0 1−
1
1 1
2
1
1−
6
0
0
1 0
0 1
0 0
0 0
5
39
1
7
7
4
6
−
−1 −
7
7
0
0
0
0
0
0
由于 () = (|) = 2 < 4 ，所以方程组有无穷多解，
一般解为
1 =
൞
2 =
5
39
− 3 − 4 +
7
7
，其中3 , 4 为自由未知量。
4
6
+ 3 −
7 2
7
例2 证明方程组
1 − 2 = 1
所以齐次线性方程组总是相容的，即一定有解．并且有
定理10.3 对于齐次线性方程组（10.2）的系数矩阵：
(1) 当() = 时，齐次线性方程组只有零解；
(2)当() < 时，齐次线性方程组有非零解，且其解中含有
− ()个自由未知量．
特别地，在齐次线性方程组（10.2）中，当方程个数少于未
0
0
1 −1 4
0
0
0
1 5

+
5 i=1,2,3,4
1 −1 00 1 −10 0源自10 00
0
0
−1
1
0
0
0
−1
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
෍
=1
由定理9.2知，线性方程组 = 有解的充要条件是() =
(|)，即σ5=1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 0。当σ5=1 = 0
3
4
21 − 2 + 23 + 34 = 12
1 − 32 − 63 + 54 = 0
31 + 22 + 3 + 4 = 15
解 (1)根据定理10.2，利用矩阵的行初等变换化简增广矩阵
5 −1 2
1 7
= 2 1
4 −2 1
1 −3 −6 5 0
1 ↔3
1 −3 −6 5 0
与方程组(1)是同解方程组，据此，可以得出线性方程组
的解的结论：
(1) 当+1 ≠ 0时，阶梯形矩阵(6)或(7)所表示的方程组
中的第 + 1个方程“0 = +1 ”是一个矛盾方程．
(2) 当+1 = 0时，方程组(1)有解，其解有两种情况．
① 若 = ，则阶梯形矩阵（8.9）表示的方程组为：
−1

1 − 2
2 −
−(1+)3
3
2
+
1
0
0
2
1

0
0
0 1−

1−
0
1
(1 − )( + 2)
−1

(1 − )( + 1)2
2 −
1

−1
2 −
(1 − )( + 2) (1 − )( + 1)2
由此可见：
（1）当 = −2时， = 2， = 3，线性方
知量个数（ < ）时，必有() < ．此时方程组（10.2）
必有非零解．
例1 判别下列方程组解的情况．
1 + 32 − 3 − 24 = 3
51 − 2 + 23 + 4 = 7
1 − 42 + 33 + 54 = 9
2
+

+
4
−
2
=
1
(1) ቐ 1
(2)
2
11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1
22 2 + ⋯ + 2 = 2
⋯⋯⋯⋯⋯
=
用回代的方法，自下而上依次求出 , −1 , ⋯ , 1 ．此时，
方程组(1)有唯一解．读者不难用克莱姆法则加以检验。
② 若 < ，则阶梯形矩阵(6)表示的方程组为：：
(1) 当() = (|)时，方程组相容，即有解：
① 若() = (|) = ，则方程组有唯一确定的解；
② 若() = (|) < ，方程组有无穷多解，且其解
中含有 − ()个自由未知量．
(2) 当() < (|)时，方程组不相容，即无解．
对于齐次线性方程组（10.2），因为总有() = (|)，


⋮

将其化成阶梯形矩阵：
11 12 ⋯ 1 1,+1 ⋯ 1
1
0 22 ⋯ 2 2,+1 ⋯ 2
2
⋮
⋮
⋯ ⋮
⋮
⋯
⋮
⋮
0
0 ⋯ ,+1 ⋯

0
0 ⋯ 0
0
⋯ 0 +1
⋮
⋮
⋯ ⋮
⋮
⋯
⋮
⋮
0
0 ⋯ 0
0
⋯ 0
0
其中 ≠ 0( = 1,2, ⋯ , )，
2 −1 2
3
3 2
1
1
−1
+
−2
2 −21
+
3 −2
+
3
2
1
7
1
+
+
3 −31
4
0
0 −7
0 0
0 0
3
9
12
15
+
4
1
0
0
0
3
−7
−7
−7
1 3 −1 −2
0 −7 4
7
0 0
0
0
0 0
0
0
5
7
4
0
0
1
7
0
0
39
7
6
0
0
1
− 2
7
−1 −2 3
4
7 6
4
7 6
4
7 6
3
11 ⋯ 1,−1 1 ⋯ 1,−1 1 ⋯ 1
0 ⋯
0
2 ⋯ 2,−1 2 ⋯ 2
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0 ⋯
0
0 ⋯
0
⋯
0 ⋯
0
0 ⋯
0
0 ⋯ 0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0 ⋯
0
0 ⋯
0
0 ⋯ 0
(6)
1
2
⋮

+1
⋮
0
(7)
由定理10.1可知，阶梯形矩阵(6)或(7)所表示的方程组
2 1
4 −2 1
5 −1 2
1 7
−21
+
2 −51
−22
+
+
3
3
1
0
0
−3
7
0
−6
5
16 −12
0 −24
0
1
7
1
0
0
−3
7
0
−6
5
16 −12
0
0
0
1
5
显然() = 2， = 3，() ≠ (|)，所以，原
方程组无解。
1 3 −1 −2
1 −4 3
5
解(2) =
11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 + 1,+1 +1 + ⋯ + 1 = 1
22 2 + ⋯ + 2 + 2,+1 +1 + ⋯ + 2 = 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
+ ,+1 +1 + ⋯ + =
3 =
+2
通过以上例题的学习可知，线性方程组(1)是否有解，关
键在于其增广矩阵 A|B 化成梯形矩阵后非零行的行数与系数
矩阵A化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等，即要判定是
否有 R(A) = R(A|B) ．这也是我们求解线性方程组的黄金钥匙。
时，继续化简上述的增广矩阵
1
0
0
0
0

−1
1
0
0
0
+
0
0
0
−1 0
0
1 −1 0
0
1 −1
0
0
0
+
1
2
3
4
෍

2 ,=3,4
1 ,=2,3,4
+
4
3
5
1
0
= 0
0

0
=1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
−1
1
0
0
0
0
−1
1
0
0
0
0 1
0
0 2
−1 0 3
1 −1 4