高中人教a版数学高一必修4(45分钟课时作业与单元测试卷)：第25课时_平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角

第25课时 平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角
1.2．会用坐标运算求向量的模，并会用坐标运算判断两个向量是否垂直．
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1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2212122．若有向线段AB →，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2；若AB →＝(x ，y )，则|AB →|＝x 2＋y 2.
3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4．两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则求两向量的夹角θ的公式为
cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.
一、选择题
1．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ⊥b ，则x 的值是( )
A ．±2
B ．0
C ．－2
D ．2
答案：B
解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，即4x ＋x ＝0，解得x ＝0，故选B.
2．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( )
A. 3 B ．3
C ．－ 3
D ．－3
答案：D
解析：向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－62
＝－3.选D. 3．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 的值为( )
A ．－92
B ．0
C ．3 D.152
答案：C
解析：∵2a －3b ＝(2k －3，－6)．又(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0，即(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.
4．若A (1,2)，B (2,3)，C (－3,5)，则△ABC 为( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不等边三角形
答案：C
解析：∵A (1,2)，B (2,3)，C (－3,5)，
∴AB →＝(1,1)，AC →＝(－4,3)，
cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|
＝1×(－4)＋1×32×25＝－15 2＜0，∴∠A 为钝角，△ABC 为钝角三角形． 5．若向量a ＝(x ＋1,2) 和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b |＝( )
A.10
B.
102
C. 2
D.22
答案：C
解析：由题意得，－(x ＋1)－2×1＝0
得x ＝－3.故a ＋b ＝(－1,1)．
∴|a ＋b |＝(－1)2＋(－1)2＝ 2 6．如图，在等腰直角三角形AOB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分
点，过C 作AB 的垂线l ，设P 为垂线上任意一点，OP →＝p ，则p ·(b －a )＝( )
A ．－12 B.12
C ．－32 D.32
答案：A 解析：因为在等腰直角三角形AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OA ＝OB ＝1，所以|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0.
由题意，可设OP →＝－14(b －a )＋λ·12
(b ＋a )，λ∈R ， 所以p ·(b －a )
＝－14(b －a )·(b －a )＋λ2(b ＋a )·(b －a ) ＝－14(b －a )2＋λ2(|b |2－|a |2) ＝－14
(|a |2＋|b |2－2a ·b ) ＝－14
(1＋1－0) ＝－12
. 二、填空题
7．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a ·b ＝10，则|a －b |＝________.
答案： 5
解析：由题意，得a ·b ＝x ＋8＝10，∴x ＝2，∴a －b ＝(－1，－2)，∴|a －b |＝ 5. 8．已知点A (4,0)，B (0,3)，OC ⊥AB 于点C ，O 为坐标原点，则OA →·OC →＝________.
答案：14425
解析：设点C 的坐标为(x ，y )，因为OC ⊥AB 于点C ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
OC →·AB →＝0AC →∥AB →， 即⎩⎪⎨⎪⎧
(x ，y )·(－4，3)＝－4x ＋3y ＝03x ＋4y －12＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝3625y ＝4825，∴OA →·OC →＝4x ＝14425
.
9．若平面向量a ＝(log 2x ，－1)，b ＝(log 2x,2＋log 2x )，则满足a ·b <0的实数x 的取值集合为________．
答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
12<x <4 解析：由题意可得(log 2x )2－log 2x －2<0⇒(log 2x ＋1)(log 2x －2)<0，所以－1<log 2x <2，所以12
<x <4. 三、解答题
10．已知O 为坐标原点，OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，则在线段OC 上是否存在点M ，使得MA
→⊥MB →？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，
∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．
∵MA →⊥MB →，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115
. ∴OM →＝(2,1)或OM →＝⎝⎛⎭⎫225，115.
∴存在M (2,1)或M ⎝⎛⎭⎫225，115满足题意．
11．已知平面向量a ＝(sin α，1)，b ＝(1，cos α)，－π2<α<π2
. (1)若a ⊥b ，求α；
(2)求|a ＋b |的最大值．
解：(1)由已知，得a ·b ＝0，
即sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1.
∵－π2<α<π2，∴α＝－π4
. (2)由已知得|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝sin 2α＋1＋cos 2α＋1＋2(sin α＋cos α)＝3＋22sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π4. ∵－π2<α<π2
， ∴－π4<α＋π4<3π4，∴－22
<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，即1<|a ＋b |2≤3＋22，∴1<|a ＋b |≤1＋2， 即|a ＋b |的最大值为1＋ 2.
12．若a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0，2)
C ．[1,2]
D ．[2，2]
答案：D
解析：|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2
＝2＋2cos θ＝2(1＋cos θ)
∵θ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π2，∴cos θ∈[0,1]． ∴2≤2(1＋cos θ)≤4.
∴2≤|a ＋b |≤2. 13．已知a ＝(3，－1)，b ＝(12，32
)，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t
的最小值．
解：由题知，|a |＝2，|b |＝1，
a ·
b ＝3×12－1×32
＝0，∴a ⊥b . 由x ⊥y 得，[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，
即－k a 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －t 2k ＋3k )a ·b ＝0， ∴－k |a |2＋(t 3－3t )b 2＝0.
∵|a |＝2，|b |＝1，∴k ＝t 3－3t 4
. ∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74
. 即当t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74
.。