概述2三铰拱支座反力和内力的计算...

在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态(M=0)的轴线称为
合理轴线。
对拱结构而言，任意截面上弯矩为： M=M0-Hy
令M=0，则
y=y(x)=M0(x)/H （合理拱轴线方程）
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵坐标值与对应简
支梁的弯矩成比例。
例1 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载,求其合理轴线。
24 3
0.5 26.57 0.447 0.894 20
32
0
-6.7
3 6 3.75 0.25 14.04 0.243 0.970 24
1 1.5
-0.49 -6.06
48 4
0
0
0
1
24
-1 0
-1 -6
5 10 3.75 -0.25 -14.04 -0.243 0.970 22
-1 -0.5 0.49 -6.06
截面单杆：任意隔离体中，除某一杆件外，截面上其它所有 杆件的内力均相交于同一点（或互相平行），则此杆件称为该 截面的截面单杆。
截面单杆的内力可直接根据隔离体的一个平衡方程求出。
Pa
P
Pa Na
h
A
A
6a
P
P
P
ΣMA=0, Na×h +P×3a-P×2a= 0 → Na = - Pa/h 19
P
a/2
a
a
a
a
0.25P
0.75P
P
b
Na
0.75P
Na cos45-0.75Psin45=0
Na =0.75P
P Nb
2m
a 3m
A
Na
A
B
4m
4m
4m
P/3
2P/3
P/3
ΣX=0, → Nb= 0
ΣMA=0, Na×12 +P×8-Nb×5= 0
20
→ Na = - 2P/3
4 空间桁架的内力计算
2m
x VA
P1
VA0
Q
y
Q0 Mo
ΣMD=0
M=VAx – P1(x-a1) – Hy=M0-Hy
N+Hcosφ+ (VA – P1)sinφ=0 N= – (VA – P1) sinφ – Hcosφ N= – Q0 sinφ – Hcosφ
Q+Hsinφ – (VA – P1)cosφ=0 Q=(VA-P1) cosφ – Hsinφ Q= Q0 cosφ – Hsinφ
H
Hγ
{ } ex =shx+chx e−x =chx−shx
∴
y
=
qc
γ
⎛ ⎜⎜⎝ ch
γ
H
x
⎞ −1⎟⎟⎠
悬链线
10
§3-4 静定桁架的计算
1 概述 2 结点法求桁架的内力 3 截面法求桁架的内力 4 空间桁架的计算
1 概述
桁架是由杆件组成的格构体系,所有的杆件都是直线,所有 结点都为铰结点,所有荷载都作用在结点上,杆件仅承受轴向力, 截面上只有均匀分布的正应力,是一种理想的结构形式。
5
表3-1 三铰拱内力计算
点X Y (m) (m)
00 0
tanφ Φ
(度)
1
45
sinφ cosφ M0
Q0
M
Q
N
(kN·m) (kN) (kN·m) (kN) (kN)
0.707 0.707 0
70
0.71 -9.19
1 2 1.75 0.75 36.87 0.6 0.8 12
5 1.5
0.4 -7.8
6
作内力图
1.5
1.5 2
2
M 图 (kN.m)
1.79
0.71
0.70
-1 Q 图 (kN) -1.79
-6.00 -5.81 -7.60
-9.19
-7.78
N 图 (kN)
1kN/m
4kN
7kN
5kN
20
24
20
对应简支梁的弯矩M0
Hy (y:拱轴线纵坐标)
M=M0 – Hy
7
3 拱的合理轴线
14
2.5m
E
10kN
C 15kN
D
A B
2.5m
2.5m
NCE 10
αC
α
α
NCD
NAC 0
NBC NBD B NAB
(NAC - NCE - NCD)cosα=0 (NAC + NCD - NCE)sinα+10=0
NBC= 0 NBD=NAB= -30kN
NCE +NCD =15 5 NCE =20 5=44.72kN NCE −NCD =25 5 NCD =−5 5=−11.18kN
N3
N2
N1sinα= 0 → N1=0
16
N2+N1cosα-N3= 0 → N2=N3
3 截面法求桁架内力
截面法: 每次取两个及两个以上的结点为脱 离体，对脱离体静力平衡方程，进行求解。
例：求图示桁架杆件EC、BC、BD的轴力。
E
F
4m 4m
C
30kN
A
D
B
4m
4m
17
E
F
21.2 C
30kN
y A
q Cf
[解] M ( x) = ql x−1qx2 = qx(l −x)
22 2
B x
H= MC = ql2
l/2
l/2
f 8f
q
拱的合理拱轴线为：
A ql x
2
M0图
B
`
ql 2
y( x)
=
M0 H
=
q x(l
2
−x)
/
ql2 8f
=
4f l2
x(l
−x)
8
例2 设三铰拱承受均匀分布法向压力,试证明其合理轴线是园弧曲线。
§3-6 三铰拱
1 概述 2 三铰拱支座反力和内力的计算 3 三铰拱的合理拱轴线
1 概述 P1
y
HA
A
C x
P2
B
f HB
作业:3-21、3-24
曲线形状：抛物线、 园、悬链线等 A、B：底铰 C：顶铰 l:跨度 f: 矢高
l/2
l/2
VA
l
VB 三铰拱受力特点：
（1）受压力较大，弯
矩小，截面材料强度能
HH H
即
y′′ − γ y = qc
HH
qc+γ.f
q = qc + γ ⋅ y
qc
y x
f y*
y
特征方程为：
λ 2 − γ = 0, λ = ± γ
H
H
x = 0, y = 0 ∴A = − qc
γ
x = 0, y′ = 0 ∴B = 0
y( x) = A⋅ch γ x+B⋅sh γ x−qc
M=M0 – Hy =7×4-0.5×1×42 - 6×3 = 2kN·m
Q= Q0 cosφ – Hsinφ
=(-1,-5) ×0.894-6×0.447=(1.79,-1.79) (左,右 )
N= – Q0 sinφ – Hcosφ
=-(-1,-5) ×0.447-6×0.894= (-5.81,-7.6) (左,右 )
2.5 α
cosα = 2
5
C 15kN
5
sin α = 1
5
D
α A 计算顺序：A → B → C → E
B
2.5m
2.5m
NACsinα= 15
NAC 15kN
NAB+NACcosα= 0
αA NAB
NAC =15/sinα=15 5=33.54kN
NAB
=−NAC cosα =−15
5i
2 =−30kN 5
Q+dQ
q
qr qs
N+dN
Q 曲梁的微分关系为：
dN ds
=
Q R
− qs
dM = Q ds
N R为微段的曲率半径
dQ ds
=−N R
− qr
ds
R M
M+dM dφ
均匀分布法向压力，qs=0，qr=q=常数。 合理拱轴线，M=0，Q=dM/ds=0（第2式）→ Q=0 dN/ds=Q/R=0（第1式） → N为常数。
0
AD-15来自B04m
4m
4m
15
45
4m 4m
E
F
NEC
α
C
30kN
A
NBC α α=45°
B
NBD 45
ΣMB=0, NECsinα×8 - 30×4= 0 → NEC = 21.2 kN ΣY=0, NBCcosα-NECcosα + 45-30= 0 → NBC = 0 kN 或:ΣMA=0, 30×12-45×8-NBCcosα×8=0 →NBC=0 kN ΣMC=0, 30×8-45×4+NBD×4= 0 → NBD = - 15 kN 18
桁架的分类 按平面与空间分类： 平面桁架与空间桁架。
作业:3-17(a),3-18(a)、(e)、(f)
11
作为屋架的桁架的分类：平行弦桁架、三角形桁架、梯形 桁架、折线形桁架。
上弦杆
竖杆 斜杆
腹杆
下弦杆
平行弦桁架
三角形桁架
折线形桁架
梯形桁架
12
按几何组成分类： 简单桁架：依次增加铰接三角形构成的桁架。 联合桁架：由几个简单桁架构成的桁架。 复杂桁架：不属于以上两类桁架的桁架。
VA
l
VB 对于左半拱取ΣMC=0
A
P1 C
P2 B VAl/2-P1(l/2-a1)-Hf=0
H=[VAl/2-P1(l/2-a1)] / f=MC0/f
对应的简支梁
VA0 与三铰拱同跨 VB0
VA =VA0
度同荷载
VB =VB0
2
H =MC0 / f
截面内力的计算
P1 x-a1 M N
φ
H φ
N/R+q=0 （第3式） → R=-N/q。
R=-N/q ：N为常数，q为常数，所以曲率半径R也是常数，即
拱轴为园弧。
9
例3 设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱
的合理轴线，设填土的容重为γ，拱所受的分布荷载为 q = qC + γ ⋅ y
解: y=M0(x)/H
y′′ = M 0′′ = q = qc + γ y
M=M0 – Hy =7×4-0.5×1×42 - 6×3
沿x方向平均分为8等分,
= 2kN·m
对于截面2,x=4,
Q= Q0 cosφ – Hsinφ
y
=
4f l2
x(l −x)
=
41×624×4(16−4)
=3m
tgϕ
=
dy dx
=
4f l2
(l
−2x)
=
41×624(16−2×4)
=0.5
=(7-4) ×0.894-6×0.447=0kN
6 12 3
-0.5 -26.57 -0.447 0.894 20
7 14 1.75 -0.75 -36.87 -0.6 0.8 10
-1 2 -5 -5 -0.5
1.79 -5.81 -1.79 -7.6 -0.4 -7.8
8 16 0
-1 -45 -0.707 0.707 0
-5 0
0.7 -7.78
§3-5 组合结构
作业:3-19(a)
A 6kN
1kN/m
0.5 α
6
F
C
G
α
β
B 0.5m
0.7m
3
3m D 3m
3m E 2m
β
6kN 0.7
sinα=0.0830 cosα=0.9965
sinβ=0.2272 cosβ=0.9738
1kN/m
NEG NEB
C
15
β
NDE
E
6kN
ΣMC=0
NDE×1.2 -6×6+6×3= 0 NDE =15kN
2m
4m 2 α
B 3m
Cα
α
A
β
4 4
3β
sin α = 1
5
cosα = 2
5
sinβ=3/5 cosβ=4/5
3kN D
NADsinβ+3=0 →NAD=-3/sinβ= - 5kN
NAC
NAB
α α
β NAD
A 3kN
NACsinα- NABsinα=0 → NAC=NAB
2NABcosα+NADcosβ=0 →NAB= - 0.5NADcosβ/cosα=2.24kN 21
VA =VA0
M=M0 – Hy
VB =VB0
Q= Q0 cosφ – Hsinφ
H =MC0 / f
N= – Q0 sinφ – Hcosφ
3
例 三铰拱及其所受荷载
q=1kN.m
P=4kN
如图所示，拱的轴线为抛
物线：y
=
4f l2
⋅ x(l − x)
y
34
5
2 1
ϕ2
y2
0
6
D7 8
f=4m
计算支座反力并绘制 内力图。
15
2.5m
E
10kN
44.72
C 15kN
-20
D
-11.18 0
33.54
-30 B -30
A
2.5m
2.5m
E α
NEC
NED NECsinα+NED=0 NED= - NECsinα= -20kN
零杆的判断
桁架中轴力为零的杆件叫做零杆。
N1
N1
α
N2
α
N1sinα= 0 → N1=0 N2+N1cosα= 0 → N2=0
得到均匀发挥。
（2）竖向荷载作用下1 支座有水平推力。
2 三铰拱的支座反力和内力的计算
支座反力的计算
a1 P1 a2
b2 b1
y
P2 C
H
A
x
B
l/2
l/2
ΣMB=0
VAl-P1b1-P2b2=0 VA=(P1b1+P2b2)/l=VA0
f
H
ΣMA=0
VBl-P1a1-P2a2=0
VB=(P1a1+P2a2)/l=VB0
A H=6kN
x
8m
B 4m 4m
H=6kN
（1）计算支座反力 VA=7kN
l=16m
VB =5kN
VA=(4×4+8×12)/16=7kN VB=(8×4+4×12)/16=5kN H=MC0/f=(5×8-4×4)/4=6kN
（2）内力计算
ϕ =33.565 ,sinϕ =0.447,cosϕ =0.894
N= – Q0 sinφ – Hcosφ
=-(7-4) ×0.447-6×0.894
= -6.7 kN
4