山西省运城市康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题

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【数学】山西省康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试(理) (1)

山西省康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．i 是虚数单位，33ii+＝（） A.13412i - B.13412i + C.1326i + D.1326i - 2. 设()ln ,f x x x =若0()2f x '=，则0x ＝（） A. 2eB. eC.ln 22D. ln 23. 用反证法证明命题：“若,,,,1,1a b c d R a b c d ∈+=+=，且1ac bd +>，则,,,a b c d 中至少有一个负数”的假设为（） A. ,,,a b c d 中至少有一个正数 B. ,,,a b c d 全都为正数 C. ,,,a b c d 全都为非负数D. ,,,a b c d 中至多有一个负数4. 已知a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，则a ＝（） A. －9B. －2C. 4D. 25. 函数xxy e =在[0，2]上的最大值是（） A.1eB.22e C. 0 D.12e6. 观察243()2,()4,(cos )sin x x x x x x '''===-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -＝（）A. ()f xB. －()f xC. ()g xD. －()g x7. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁4名大学生安排到该市三所不同的学校任教，每校至少安排一人，其中甲、乙不能安排在同一学校，则不同的安排方法种数为（） A. 18B. 24C. 30D. 368. 直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（） A.43B. 2C.83D.16239. 若函数2()(0)x f x a x a =>+在[1,)+∞上的最大值为33，则a ＝（）A.31-B.34C.43D.31+10. 若数列{}n a 是等差数列，12...nn a a a b n+++=，则数列{}n b 也为等差数列，类比这一性质可知，若{}n c 是正项等比数列，且{}n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为（） A. 12...nn c c c d n+++=B. 12....nn c c c d n= C. 12...n n nnn c c c d n+++=D. 12....n n d c c c =11.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数中第2014个数是（） A. 3965B. 3966C. 3968D. 398912.若函数211()ln ()2f x x x m x m=+-+在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，则m 的取值范围（） A. 1(0,][4,)4+∞ B. 1(0,][2,)2+∞ C. 1(0,)(2,)2+∞D. 1(0,)(4,)4+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 复数(12)(3)z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 .14. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为 .15. 设点P 、Q 分别是曲线xy xe -=和直线3y x =+上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为 .16. 有*(2,)n n n N ≥∈粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为n S .例如对4粒有如下两种分解：(4)→(1,3) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时4S ＝1×3+1×2+1×1=6; (4)→(2,2) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时4S ＝2×2+1×1+1×1=6.于是发现4S 为定值，请你研究n S 的规律，归纳n S ＝ .nn三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围．（2）若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．18.（本小题满分12分）已知曲线C ：，点，求过P 的切线与C 围成的图形的面积.19.（本小题满分12分）已知330,0,2a b a b >>+=.证明：（1）()()554a b a b ++≥；（2）2a b +≤.123223+--=x x x y )0,21(P l已知函数22()ln ,()f x x m x h x x x a =-=-+，（1）当0a =时，()()f x h x ≥在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；（2）当m ＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．21.（本小题满分12分）是否存在常数,,a b c ，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++n a b c ，，已知函数())(,R x xe x f x∈=-（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >；（3）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +>.参考答案1-12、BBCDA DCCAD AB 13、5 14、112 15、223 16、2)1(-n n17.解：(1)设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i.因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，................4分还可得z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. ...................7分(2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i ＋a 2＋b 2＝－b a ＋1i.因为a ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，b ≠0，所以ω为纯虚数． ...........10分 18.解：设切点，则切线：过P （）∴即∴ 即 A （0，1）故即∴ B （）∴),(000y x P 266020--='x x y l ))(266(]1232[00200203x x x x x x x y ---=+---0,21]21[]266[]1232[002002030x x x x x x -⋅--=+---0)364(0200=+-x x x 1,000==y x )0(21:--=-x y l 切012=-+y x ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+--=22321123223y x x y x x x y 2,23-3227)23(3223=-⎰=dx x x S19.证明.++=+++556556(1)()()a b a b a ab a b b=+-++3323344()2()a b a b ab a b=+-2224()ab a b≥ 4. .......6分（2）因为+=+++33223()33a b a a b ab b=++23()ab a b+≤++23()2(a b)4a b ...........12分20.解 (1)由f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，得m ≤xln x 在(1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，故g ′(e)＝0，当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0； x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )>0.故g (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e. .......6分(2)由已知可知k (x )＝x －2ln x －a ，函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点，φ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，故φ′(2)＝0，所以当x ∈[1,2)时，φ′(x )<0，所以φ(x )单调递减，当x ∈(2,3]时，φ′(x )>0，所以φ(x )单调递增．所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]． .......12分21.解：假设存在，使得所给等式成立．令代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．（1）当时，由以上可知等式成立；（2）假设当时，等式成立，即，则当时，．由（1）（2）知，等式对于一切正整数都成立． 22.（Ⅰ）解：/f ()(1)x x x e -=- 令/f (x)=0,解得x=1当x 变化时，/f (x)，f(x)的变化情况如下表a b c ，，123n =，，0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，14140a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，，22222242111(1)2(2)()44n n n n n n n -+-++-=+n 1n =n k =22222242111(1)2(2)()44k k k k k k k -+-++-=-1n k =+222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k +-++-+++-+++-+2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)k k k k k k k k k =-+-++-+++++++424211(1)11(21)(1)(1)44244k k k k k k k +=-++=+-+·nX(,1-∞) 1 (1,+∞) /f (x)+ 0 - f(x)极大值所以f(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数。

2017-2018学年山西省运城市康杰中学高二(下)期中数学试卷(理科)-教师用卷

2017-2018学年山西省运城市康杰中学高二（下）期中数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i是虚数单位，A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，故选：B．通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数的代数运算，结合得结论．本题考查复数的分式形式的化简问题，主要是乘除运算，是基础题．2.设，若，则等于A. B. e C. D.【答案】B【解析】解：，，由，得，即，则，故选：B．求函数的导数，解导数方程即可．本题主要考查导数的计算，比较基础．3.用反证法证明命题：“a，b，c，，，，且，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为A. a，b，c，d中至少有一个正数B. a，b，c，d全为正数C. a，b，c，d全是非负数D. a，b，c，d中至多有两个正数【答案】C【解析】解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全是非负数”，故选：C．用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．4.已知a为函数的极小值点，则A. B. C. 4 D. 2【答案】D【解析】解：；时，，时，，时，；是的极小值点；又a为的极小值点；．故选：D．可求导数得到，可通过判断导数符号从而得出的极小值点，从而得出a的值．考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．5.函数在上的最大值是A. B. C. 0【答案】A【解析】解：，，令，解得：，令，解得：，函数在递增，在递减，，最大值故选：A．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．本题考查了求函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．6.观察，，，由归纳推理可得：若定义在R上的函数满足，记为的导函数，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由给出的例子可以归纳推理得出：若函数是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R上的函数满足，即函数是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有，故选：D．首先由给出的例子归纳推理得出偶函数的导函数是奇函数，然后由的奇偶性即可得出答案．本题考查函数奇偶性及类比归纳推理能力．7.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为A. 18B. 24C. 30D. 36【答案】C【解析】解：先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全拍列共有种，再排除甲乙被分在同一所学校的情况共有种，所以不同的安排方法种数是故选：C．间接法：先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数共有种，去掉甲乙被分在同一所学校的情况共有种即可．本题考查排列组合及简单的计数问题，属中档题．8.直线l过抛物线C：的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点坐标为，直线l过抛物线C：的焦点且与y轴垂直，直线l的方程为，由，可得交点的横坐标分别为，2．直线l与抛物线围成的封闭图形面积为．故选：C．先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．9.若函数在上的最大值为，则a的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：的导数为，当时，时，，单调减，当时，，单调增，当时，取得最大值，解得，不合题意；当时，在递减，最大，且为，不成立；当时，在递减，最大，即，解得，故选：D．对函数进行求导，讨论a研究函数在上的单调性，而求出最大值，即可得到a的值．本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，注意运用分类讨论的思想方法，属于研究最值问题的中档题．10.若数列是等差数列，则数列也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为A. B.C. D.【答案】D【解析】解：数列是等差数列，数列也为等差数列正项数列是等比数列，设首项为，公比为q故选：D．利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论．本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．11.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，，则在这个子数中第2014个数是A. 3965B. 3966C. 3968D. 3989【答案】A【解析】解：记该数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，为，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25，可知：第一组的最后一个数依次为：1，4，9，16，25，归纳得到，每一组的最后一个数依次为：，，，，，，即第n个组最后一个数为．由于，所以位于第63组，倒数第三个，因为第63组最后一个数为，由组内的差为2，得：．故选：A．本题是归纳推理，要从中找出数字递增的规律，第n组有连续个奇数和偶数构造，其中奇偶性根n的奇偶性相同，然后利用该规律解题．本题考查的是归纳推理，难点是发现规律每个组的最后一个数是完全平方数，难度较大本题还可以分组，利用组内的差为2，组间的差为1，根据所求的数的位置，统计两种差的次数，类比等差数列，求出该数的值．12.若函数在区间内有且仅有一个极值点，则m的取值范围A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数在区间内有且仅有一个极值点，设，则，，，由题意可得：，解得或，综上，m的取值范围为．故选：B．设，则，，由题意可得：，由此能求出m的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的极值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数，其中i为虚数单位，则z的实部是________．【答案】5【解析】解：，则z的实部是5，故答案为：5．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为______．【答案】女生2人，男生1人【解析】解：女生抽取的人数为，男生抽取的人数为，则不同的抽取方法是女生2人，男生1人，故答案为：女生2人，男生1人由分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础．15.设点P、Q分别是曲线和直线上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为______．【答案】【解析】解：点P是曲线上的任意一点，和直线上的动点Q，求P，Q两点间的距离的最小值，如图，就是求出曲线上与直线平行的切线与直线之间的距离．由令，解得，当，时，点，P，Q两点间的距离的最小值即为点到直线的距离．故答案为：．对曲线进行求导，求出点P的坐标，分析知道，过点P直线与直线平行且与曲线相切于点P，从而求出P点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，此题是一道中档题．16.有n粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求这出两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求这出两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为例如对于4粒球有如下两种分解：1，，1，1，，此时；1，，1，1，，此时．于是发现为定值，请你研究的规律，归纳______．【答案】【解析】解：，此时；1，，此时；1，，1，1，，此时；1，，1，1，，1，1，1，，此时；归纳猜想：．故答案为：．从开始研究，到，，，，找出的共性，得到和的一般性规律，从而解决本题．本题考查的是归纳推理，要求学生理解本题的新定义的规律，从出发现规律，得到本题的解另外，本题还可以尝试从的角度去寻找解题规律．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设是虚数，是实数，且．求的值以及的实部的取值范围．若，求证：为纯虚数．【答案】解：设且，则．是实数，，，于是有，即，还可得由，得，解得，即的实部的取值范围．证明：，，为纯虚数．【解析】设且，则根据是实数，，可得，即可得出还可得由，即可得出的实部的取值范围．由，代入化简即可证明．本题考查了复数的运算法则、复数相等、点纯虚数的定义、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知曲线C：，点，求过P的切线l与C围成的图形的面积．【答案】解：根据题意，设切点，切线与曲线C的另一个交点为B，曲线C：，其导数，则有，则切线l的方程为：，又由切线经过点，则有，解可得，则，则切点的坐标为，则切线的方程为，即，，解可得，则B的坐标为；则．【解析】根据题意，设切点，切线与曲线C的另一个交点为B，求出曲线C的导数，计算的值，即可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可以用m表示切线的方程，将P的坐标代入计算可得m的值以及切点A的坐标，即可得切线的方程，联立切线与曲线的方程，计算可得另一交点B的坐标，由定积分的几何意义可得，计算即可得答案．本题考查利用导数计算切线的方程以及定积分的应用，关键是求出切线的方程．19.已知，，证明：；．【答案】证明：由柯西不等式得：，当且仅当，即时取等号；，，，，，由均值不等式可得：，，，，当且仅当时等号成立．【解析】由柯西不等式即可证明，由转化为，再由均值不等式可得：，即可得到，问题得以证明．本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．20.设函数，当，在上恒成立，求实数m的取值范围；当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．【答案】解：当时，，则，即，化简得，，，恒成立，该不等式等价于的最小值，令，，由0'/>，得，由，得，在、上递增，在上递减，，即有；，．当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．当时，函数取得最小值，．函数在区间上恰有两个不同的零点，即有在和内，各有一个零点，，即有，解得．实数a的取值范围是．【解析】当时，由，得，分离出参数m后构造函数转化为求函数最值，利用导数可求得函数最小值即可得到m的取值范围；求出的解析式，由可知当时，函数取得最小值函数在区间上恰有两个不同的零点，必需，解得即可．本题考查函数恒成立问题、应用导数求函数的最值问题，考查转化思想，对恒成立问题往往转化为函数最值或分离出参数后求函数最值解决，同时考查零点存在定理的运用，属于中档题．21.是否存在常数a，b，c，使得等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．【答案】解：假设存在a，b，c，使得所给等式成立．令，2，3代入等式得，解得以下用数学归纳法证明等式对一切正整数n都成立．当时，由以上可知等式成立；假设当时，等式成立，即，则当时，．由知，等式结一切正整数n都成立．【解析】假设存在a，b，c，使得所给等式成立通过，2，3，列出方程组，求出abc即可然后用数学归纳法证明等式对一切正整数n都成立．本题是探索性命题，它通过观察归纳、猜想、证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．22.已知函数Ⅰ求函数的单调区间和极值；Ⅱ已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明：当时，；Ⅲ如果，且，证明．【答案】解：Ⅰ解：令，解得当x变化时，，的变化情况如下表所以在内是增函数，在内是减函数．函数在处取得极大值且．Ⅱ证明：由题意可知，得令，即于是当时，，从而，又，所以，从而函数在是增函数．又，所以时，有，即．Ⅲ证明：若，由及，则与矛盾．若，由及，得与矛盾．根据得，不妨设，．由Ⅱ可知，，则，所以，从而因为，所以，又由Ⅰ可知函数在区间内是增函数，所以，即．【解析】先求导求出导数为零的值，通过列表判定导数符号，确定出单调性和极值．先利用对称性求出的解析式，比较两个函数的大小可将它们作差，研究新函数的最小值，使最小值大于零，不等式即可证得．通过题意分析先讨论，可设，，利用第二问的结论可得，根据对称性将换成，再利用单调性根据函数值的大小得到自变量的大小关系．本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力．第11页，共11页。

山西省运城市康杰中学2017-2018学年高考模拟(四)数学(理)试题 Word版含答案

康杰中学2017-2018学年数学（理）模拟试题（四）【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数5122iz i -=+的实部为 A. -1B. 0C. 1D. 22. 设集合{}2log ,04A y y x x ==<≤，集合{}1xB x e =>，则AB 等于A. (],2-∞B. (0,)+∞C. (,0)-∞D. R3. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是 A. 492B. 382C. 185D. 1234. 给出下列四个结论： ①命题“10,2x x x ∀>+≥.”的否定是“00010,2x x x ∃>+<.”； ②“若3πθ=，则sin θ=”的否命题是“若,3πθ≠则sin θ≠”；③若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，则命题,p q 中一真一假； ④若1:1;:ln 0p q x x≤≥，则p 是q 的充分不必要条件. 其中正确结论的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A.12 B.13C. 14D. 15试题类型：A6. 已知实数,x y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x ay =-只在点（4，3）处取得最大值，则a的取值范围是 A. (,1)-∞- B. (2,)-+∞C. (,1)-∞D. 1()2+∞，7. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为 A.83B.43C. 3D. 38. 已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||c a b --＝2，则｜c ｜的取值范围为A. [11，B. [22C.D. [3+－9. 将函数2sin (0)y x ωω=>的图象向左平移(0)2ϕπϕω<≤个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数()y g x =的图象，且()y g x =的图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若()1g x >-对任意(,)123x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是 A. [,]122ππB. [,]63ππC. [,]123ππD. [,]62ππ10. 设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F . 若点P 在双曲线上，且12F PF ∆为锐角三角形，则12PF PF ｜｜+｜｜的取值范围是A.B.C. )+∞D. (8,)+∞11. 点P为棱长是1111ABCD A B C D －的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的正视图侧视图俯视图中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为A.πB. 2πC. 4π12. 设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()(4),(4)0,(2)1f x f x f f ''=-==，则使得()20x f x e -<成立的x 的取值范围是A. (2,)-+∞B. (0,)+∞C. (1,)+∞D. (4,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

山西省康杰中学2017-2018学年高三下学期第四次联考数学试卷(理科)(a卷) Word版含解析

2017-2018学年山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学高三（下）第四次联考数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}2．已知a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，则的值为（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i3．下列函数中既是奇函数，又是在（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=lg2x4．下列的说法错误的是（）A．对于p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p，q都是假D．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．106．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（）A．16种B．18种C．22种D．37种7．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣218．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．96 B．108 C．180 D．1989．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．6610．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“g（x）≥”发生的概率为（）A．B．C．D．11．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若对∀x∈R，均有f（x）=f（2﹣x），则f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣2 D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）•（+）=．15．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=，若B=60°，则sinC=．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜1．18．根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的（）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E（X）和方差D（X）．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF2F1=∠MF2A．（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；（ⅱ）求斜率k的取值范围．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，f'（x）＜1恒成立，其中f'（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；（Ⅱ）若GC=1，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R），g（x）=x++4（x＜0）（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；（2）对∀x1∈R，∀x2∈（﹣∞，0）有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学高三（下）第四次联考数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}【考点】其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【分析】利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩C R B．【解答】解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选C．2．已知a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，则的值为（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数是纯虚数，求出a，然后利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，可得a=3，则====1﹣2i．故选：D．3．下列函数中既是奇函数，又是在（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=lg2x【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案．【解答】解：y=x+是奇函数，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴在（0，+∞）上不单调，故排除A；y=的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，故y=不具备奇偶性，故排除B；y=﹣x3是奇函数，但在（0，+∞）上单调递减，故排除C；y=lg2x的定义域为R，且lg2﹣x==﹣lg2x，∴函数为奇函数，又t=2x递增，y=lgt递增，∴y=lg2x在（0，+∞）上递增，故选D．4．下列的说法错误的是（）A．对于p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p，q都是假D．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”【考点】的真假判断与应用．【分析】利用的否定判断A的正误；充要条件判断B的正误；复合的真假判断C的正误；四种的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，满足的否定关系，正确；对于B，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，满足“x=1”⇒“x2﹣3x+2=0”，反之，不成立，所以B正确；对于C，若p∧q为假，则p，q至少一个是假，所以C不正确；对于D，“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，满足逆否的形式，正确．故选：C．由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10【考点】回归分析的初步应用．【分析】利用样本点的中心在线性归回方程对应的直线上，即可得出结论．【解答】解：由表中数据得，，由在直线，得，即线性回归方程为．所以当x=12时，，即他的识图能力为9.5．故选：B．6．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（）A．16种B．18种C．22种D．37种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】从6个盒子中选出3个来装东西，有C63=20种方法，甲乙未被选中的情况有C43=4种方法，利用间接法可得结论．【解答】解：从6个盒子中选出3个来装东西，有C63=20种方法，甲乙未被选中的情况有C43=4种方法，∴甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有20﹣4=16种方法，故选A．7．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣21【考点】二项式系数的性质．【分析】给二项式中的x赋值﹣1，求出展开式的各项系数和，列出方程，求出n；将n的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣3，求出r的值，将r的值代入通项，求出展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数之和2n，∴2n=128，解得n=7．∴展开式的通项为，令，解得r=6．所以展开式中的系数是3C76=21．故选C8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．96 B．108 C．180 D．198【考点】由三视图求面积、体积．【分析】用正方体的体积减去四棱锥的体积即可．【解答】解：几何体为正方体减去一个正四棱锥，正方体的棱长为6，正四棱锥的底面边长为6，高为3．∴几何体的体积V=63﹣=180．故选C．9．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．10．已知函数f （x ）=sin ωx +cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移个单位，得到函数g （x ）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“g （x ）≥”发生的概率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型；函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g （x ）的解析式，确定满足g （x ）≥1的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论【解答】解：∵f （x ）=sin ωx +cos ωx=2sin （ωx +），由题意知=，则T=π，∴ω=2，∴f （x ）=2sin （2x +），把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移个单位，得g （x ）=f （x +）=2sin [2（x +）+]=2sin（2x +）=2cos2x ．∵2cos2x ≥，x ∈[0，π]，可得：cos2x ，解得：2x ∈[0，]，所以x ∈[0，]，∴事件“g （x ）≥”发生的概率为=；故选：C ．11．已知抛物线y 2=8x 的焦点F 到双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）渐近线的距离为，点P 是抛物线y 2=8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的标准方程．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a ，再利用抛物线的定义，结合P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF 1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴∴a=2b，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1∴双曲线的方程为﹣x2=1．故选C．12．已知函数f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若对∀x∈R，均有f（x）=f（2﹣x），则f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣2 D．0【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由f（0）=f（2），f（﹣1）=f（3）可求得a，b，从而确定函数f（x），从而求导确定函数的极值，从而求最小值．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（0）=f（2），f（﹣1）=f（3），即0=6（4+2a+b），0=12（9+3a+b），解得，a=﹣5，b=6；故f（x）=（x2+x）（x2﹣5x+6），令f′（x）=（2x+1）（x2﹣5x+6）+（x2+x）（2x﹣5）=（x﹣1）（2x2﹣4x﹣3）=0，解得，x=1或x=1+或x=1﹣；由函数的对称性知，当x=1+或x=1﹣时，函数f（x）都可以取到最小值f（1+）=﹣，故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得A（3，3），z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z，z最大时，y值最小，即：当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故答案为：3．14．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）•（+）=﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2， +=2．求得∠AOD=∠AOE=，再根据OD=OE=，利用两个向量的数量积的定义求得（+）•（+）的值．【解答】解：取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2， +=2．而由等边三角形的性质可得，OA=2OD，OD⊥AB，∴∠AOD=，同理可得，∠AOE=．再根据OD=OE=•=，可得（+）•（+）=2••2=4=4×××cos=﹣，故答案为：﹣．15．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=﹣1．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由图可知f（x）=0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可．【解答】解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，∴f（x）=﹣x2（x﹣a），有∫a0（x3﹣ax2）dx=（）|a0=0﹣+==，∴a=±1．函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=﹣1．故答案为：﹣1．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=，若B=60°，则sinC=．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理，得b=，与已知等式比较可得sinA=，而B=60°得sinB＞sinA，所以角A是锐角，由同角三角函数的平方关系算出cosA=，最后根据sinC=sin（A+B），结合两角和的正弦公式即可算出sinC的值．【解答】解：∵由正弦定理，得∴b==7asinB，解之得sinA=∵B=60°，sinA=＜sinB=，得A为锐角可得cosA==（舍负）∴sinC=sin（A+B）=sin（A+60°）=×+×=故答案为：，三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜1．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）分类讨论，再检验写出通项公式即可；（2）化简b n===﹣，从而利用裂项求和法求解．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，a1=1也满足a n=2n﹣1，故a n=2n﹣1；（2）证明：∵b n===﹣，∴T n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣＜1．18．根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E（X）和方差D（X）．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）利用频率分配表，直接求解众数和中位数．（2）利用中位数与频率求出该居民区PM2.5年平均浓度，判断即可．（3）随机变量ξ的可能取值为0，1，2．求出概率，得到分布列，然后求解期望与方差即可．【解答】解：（1）众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米．…（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…（3）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则．随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B所以，所以变量ξ的分布列为0 1 2（天），或（天）…Dξ=0.1819．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性质，根据AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）取BC的中点O，连接PO，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面ADP 与平面BCP的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PBC．（Ⅱ）解：如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以PO⊥BC．因为PB=PC，所以PO⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设BC=2．由AB=PB=PC=BC=2CD得，，所以，设平面PAD的法向量为=（x，y，z）．所以．令x=﹣1，则，所以=（﹣1，2，）．取平面BCP的一个法向量，所以cos＜，＞=，所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF2F1=∠MF2A．（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；（ⅱ）求斜率k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（I）由题意知及c2=a2﹣b2可得a，b之间的关系，由圆与直线相切的性质可求b，进而可求a，从而可求椭圆的方程（II）由题意可设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．，联立直线与椭圆方程，根据方程有根的条件可得△＞0，从而可得关于m，k的不等式，然后根据方程的根与系数关系可求则x1+x2，x1x2，由∠NF2F1=∠MF2A．可得，根据直线的斜率公式代入可求m，k的关系，然后代入已知不等式即可求解k的范围【解答】解：（I）由题意知=，所以==．即a2=2b2．又因为b==1，所以a2=2，b2=1．故椭圆C的方程为（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.．由△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，得m2＜2k2+1．则有，．因为∠NF2F1=∠MF2A，且∠MF2A≠90°，所以，即．化简得：2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0．将，代入上式得m=﹣2k（满足△＞0）．直线l的方程为y=kx﹣2k，即直线过定点（2，0）将m=﹣2k代入m2＜2k2+1．得4k2＜2k2+1．且k≠0直线l的斜率k的取值范围是．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，f'（x）＜1恒成立，其中f'（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数，讨论a≤0，a＞0，求出函数的单调区间；（2）运用参数分离可得k＜+x，令g（x）=+x（x＞0），求出导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到k的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（2）由于a=1，，∵x ＞0，∴e x ﹣1＞0．∴，令，∴k ＜g （x ）min ，令h （x ）=e x ﹣x ﹣2，h ′（x ）=e x ﹣1＞0， ∴h （x ）在（0，+∞）单调递增，且h （1）＜0，h （2）＞0，∴h （x ）在（0，+∞）上存在唯一零点，设此零点为x 0，则x 0∈（1，2）当x 0∈（0，x 0）时，g ′（x ）＜0，当x 0∈（x 0，+∞）时，∴∴，由，∴g （x 0）=x 0+1∈（2，3），又∵k ＜g （x 0）， ∴k 的最大值为2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，且D ，C ，E ，G 四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG ；（Ⅱ）若GC=1，求AB ．【考点】相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（Ⅰ）由题意可得，G 为△ABC 的重心，根据D 、C 、E 、G 四点共圆，可得∠ADE=∠ACG ，DE ∥AB ，故有∠BAD=∠ADE ，从而得到∠BAD=∠ACG ．（Ⅱ）延长CG 交AB 于F ，则F 为AB 的中点，且CG=2GF ．证得△AFG ∽△CFA ，可得=，即 FA 2=FG •FC ，根据条件化为即AB=GC ，从而得出结论．【解答】证明：（Ⅰ）∵△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ， ∴G 为△ABC 的重心．连结DE ，因为D 、C 、E 、G 四点共圆，则∠ADE=∠ACG ．又因为AD、BE为△ABC的两条中线，所以点D、E分别是BC、AC的中点，故DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，从而∠BAD=∠ACG．解：（Ⅱ）∵G为△ABC的重心，延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且CG=2GF．在△AFC与△GFA中，因为∠FAG=∠FCA，∠AFG=∠CFA，所以△AFG∽△CFA，∴=，即FA2=FG•FC．因为FA=AB，FG=GC，FC=GC，∴•AB2=CG2，即AB=GC，又∵GC=1，所以AB=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B （x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t 为参数），即（t为参数），代入并化简，得．．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，所以．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，故．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R），g（x）=x++4（x＜0）（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；（2）对∀x1∈R，∀x2∈（﹣∞，0）有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）min≥g（x）max，根据绝对值不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解（1）因为a=3，所以有|x﹣1|+|x﹣3|≥4，当x≤1时，有4﹣2x≥4，所以x≤0，当1＜x＜3时，有2≥4，当x≥3时，有2x﹣4≥4，所以x≥4，综上所述，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．（2）由题意可得f（x）min≥g（x）max，又f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，g（x）≤2，当且仅当x=﹣1时取等号，所以有|a﹣1|≥2即a的取值范围时a≥3或a≤﹣1．2016年11月2日。

2017-2018年山西省运城市高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2017-2018学年山西省运城市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数等于（）A．1+2i B．1﹣2i C．1+3i D．﹣1﹣3i 2．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确3．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2D．44．（5分）“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率为（）A．0B．﹣1C．1D．6．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）7．（5分）对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？（）A．正三角形的顶点B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点D．无法确定8．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．9．（5分）函数y=﹣x3+2ax+a在（﹣1，0）内有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（0，）B．（0，3）C．（﹣∞，3）D．（0，+∞）10．（5分）若函数f（x）=lnx+ax2﹣2在区间（，2）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣，+∞）C．（﹣2，﹣）D．（﹣2，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）（xlnx2）＞2f（x），则（）A．6f（e）＞2f（e3）＞3f（e2）B．6f（e）＜3f（e2）＜2f（e3）C．6f（e）＞3f（e2）＞2f（e3）D．6f（e）＜2f（e3）＜3f（e2）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1），在验证n=1时，左端计算所得的项为．14．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．15．（5分）曲线y=lnx上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．16．（5分）设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）设复数z和它的共轭复数满足：，求复数z；（2）设复数z满足：|z+2|+|z﹣2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程．18．（12分）设函数f（x）=ln（2x+3）+x2（1）讨论f（x）的单调性；（2）求f（x）在区间[﹣1，0]上的最大值和最小值．19．（12分）观察下列方程，并回答问题：①x2﹣1=0；②x2+x﹣2=0；③x2+2x﹣3=0；④x2+3x﹣4=0；…．（1）请你根据这列方程的特点写出第n个方程；（2）直接写出第2009个方程的根；（3）说出这列方程的根的一个共同特点．20．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）（1）当a=3时，求函数f（x）在上的最大值和最小值；（2）函数f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．21．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a ∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．22．（12分）设函数f（x）=﹣ax．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年山西省运城市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数等于（）A．1+2i B．1﹣2i C．1+3i D．﹣1﹣3i【解答】解：∵z===，∴z的共轭复数，故选：A．2．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选：A．3．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2D．4【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．4．（5分）“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a2﹣1+2（a+1）i为纯虚数，则a2﹣1=0，a+1≠0，∴a=1，反之也成立．∴“a=1”是“复数z=（a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的充要条件，故选：A．5．（5分）函数f（x）=e x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率为（）A．0B．﹣1C．1D．【解答】解：∵f′（x）=e x cosx﹣e x sinx，∴f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1，∴函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为1．故选：C．6．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选：C．7．（5分）对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？（）A．正三角形的顶点B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点D．无法确定【解答】解：由平面中关于正三角形的内切圆的性质：“正三角形的内切圆切于三边的中点”，根据平面上关于正三角形的内切圆的性质类比为空间中关于内切球的性质，我们可以推断在空间几何中有：“正四面体的内切球切于四面体各正三角形的位置是各正三角形的中心”故选：B．8．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选：D．9．（5分）函数y=﹣x3+2ax+a在（﹣1，0）内有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（0，）B．（0，3）C．（﹣∞，3）D．（0，+∞）【解答】解：对于函数y=﹣x3+2ax+a求导可得y′=﹣3x2+2a，∵函数y=﹣x3+2ax+a在（﹣1，0）内有极小值，∴y′=﹣3x2+2a=0，则有一根在（﹣1，0）内，a＞0时，两根为±，若有一根在（﹣1，0）内，则﹣1＜﹣＜0即0＜a＜．a=0时，两根相等，均为0，f（x）在（﹣1，0）内无极小值．a＜0时，无实根，f（x）在（﹣1，0）内无极小值，综合可得，0＜a＜，故选：A．10．（5分）若函数f（x）=lnx+ax2﹣2在区间（，2）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣，+∞）C．（﹣2，﹣）D．（﹣2，+∞）【解答】解：f′（x）=+2ax，若f（x）在区间（，2）内存在单调递增区间，则f′（x）＞0在x∈（，2）有解，故a＞，而g（x）=﹣在（，2）递增，g（x）＞g（）=﹣2，故a＞﹣2，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：；即：，可得a＜﹣2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：B．12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）（xlnx2）＞2f（x），则（）A．6f（e）＞2f（e3）＞3f（e2）B．6f（e）＜3f（e2）＜2f（e3）C．6f（e）＞3f（e2）＞2f（e3）D．6f（e）＜2f（e3）＜3f（e2）【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=＞0，故g（x）在（0，+∞）递增，故g（e）＜g（e2）＜g（e3），故6f（e）＜3f（e2）＜2f（e3），故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1），在验证n=1时，左端计算所得的项为1+a+a2．【解答】解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故答案为：1+a+a214．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．15．（5分）曲线y=lnx上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．【解答】解：因为直线2x﹣y+3=0的斜率为2，所以令y′==2，解得：x=，把x=代入曲线方程得：y=﹣ln2，即曲线上过（，﹣ln2）的切线斜率为2，则（，﹣ln2）到直线2x﹣y+3=0的距离d==，即曲线y=lnx上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是．故答案为：16．（5分）设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）=﹣1．【解答】解：∵f（x）=sinx+2xf'（），∴f'（x）=cosx+2f'（），令x=，可得：f'（）=cos+2f'（），解得f'（）=﹣，则f'（）=+2×=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）设复数z和它的共轭复数满足：，求复数z；（2）设复数z满足：|z+2|+|z﹣2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程．【解答】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），则，由可得：，所以，∴；（2）设复数z=x+yi（x，y∈R），由|z+2|+|z﹣2|=8得：，其轨迹是椭圆，此时2a=8，a=4，2c=4，c=2，b2=12，所求的轨迹方程为：．18．（12分）设函数f（x）=ln（2x+3）+x2（1）讨论f（x）的单调性；（2）求f（x）在区间[﹣1，0]上的最大值和最小值．【解答】解：f（x）的定义域为，（1）求导函数可得：当时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，从而f（x）在和单调递增，在单调递减；（2）由（1）知，f（x）在区间[﹣1，0]的最小值为又f（﹣1）=1，f（0）=ln3＞1，∴最大值为f（0）=ln3．19．（12分）观察下列方程，并回答问题：①x2﹣1=0；②x2+x﹣2=0；③x2+2x﹣3=0；④x2+3x﹣4=0；…．（1）请你根据这列方程的特点写出第n个方程；（2）直接写出第2009个方程的根；（3）说出这列方程的根的一个共同特点．【解答】解：（1）由已知中的方程：①x2﹣1=0；②x2+x﹣2=0；③x2+2x﹣3=0；④x2+3x﹣4=0；…．归纳可得，第n个方程为：x2+（n﹣1）x﹣n=0，（2）第2009个方程为：x2+2008x﹣2009=0，此方程可化为：（x+2009）（x﹣1）=0，故第2009个方程的根为：1，﹣2009，（3）这列方程的根共有两个，一个是1，一个是﹣n．20．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）（1）当a=3时，求函数f（x）在上的最大值和最小值；（2）函数f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x﹣lnx的导数为，函数f（x）在区间仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在的最大值是f（1）=2，又，故，故函数f（x）在上的最小值为f（2）=2﹣ln2；（2）f（x）的导数为f′（x）=﹣2x+a﹣=﹣，若f（x）既有极大值又有极小值，则必须f′（x）=0有两个不同正根x1，x2，即2x2﹣ax+1=0有两个不同正根，故a应满足．可得函数f（x）既有极大值又有极小值，实数a的取值范围是．21．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a ∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x＞0时，f′（x）=x2+a，因为曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行，所以f′（）=+a=﹣，解得a=﹣1，所以f（x）=x3﹣x，设x＜0则f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x，又f（0）=0，所以f（x）=x3﹣x．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（﹣3）=﹣6，f（﹣1）=，f（1）=﹣，f（）=0，所以函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，等价于函数f（x）在[﹣3，]上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f（x）在区间[﹣3，]上大致图象可知，实数m的取值范围是（﹣，0）．22．（12分）设函数f（x）=﹣ax．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），∵f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴f′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立，﹣a≤﹣=（﹣）2﹣，令g（x）=（﹣）2﹣，故当=，即x=e2时，g（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，即a≥∴a的最小值为．（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（Ⅰ）知，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a，f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”，①当﹣a≤﹣，即a时，由（Ⅰ），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=﹣ae2+≤，∴﹣a≤﹣，∴a≥﹣．②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[，1]，∵f′（x）=﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=﹣ax0+，要使f（x）min≤，∴﹣a≤﹣＜﹣=﹣，与﹣＜﹣a＜0矛盾，∴﹣＜﹣a＜0不合题意．综上，实数a的取值范围为[﹣，+∞）．。

山西省康杰中学高二数学下学期期中试题文

康杰中学2017—2018学年度第二学期期中考试高二数学（文）试题2018.4一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知i 为虚数单位，复数iz +-=12，则复数z 的虚部为 A. 1B. 1-C. i -D. i2. 某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅.”结论显然是错的，是因为A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误 3. 两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是A. 48，49B. 62，63C. 75，76D. 84，85 4. 用反证法证明某命题时，对结论“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”正确的反设为 A ．,,a b c 中至少有两个偶数或都是奇数 B ．,,a b c 都是奇数 C ．,,a b c 中至少有两个偶数 D ．,,a b c 都是偶数 5.已知y x ,的取值如下表：y 与x 线性相关，且线性回归直线方程为a x y +=∧95.0，则a =A. 35.3B. 6.2C. 9.2D. 95.16. 如图是选修1)，如果要加入知识点“分析A ．“①”处B ．“②”处C ．“③”处D ．“④”处7. 通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：经计算2K 的观测值8.7≈k . 参照附表，得到的正确结论是A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 8. 下列参数方程中与方程x y =2表示同一曲线的是A. ⎩⎨⎧==2t y t x (t 为参数) B. ⎩⎨⎧==θθsin sin 2y x (θ为参数)C. ⎩⎨⎧==||t y t x (t 为参数)D. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθθtan 2cos 12cos 1y x (θ为参数)9. 给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集） ①“若R b a ∈,，则0a b a b -=⇒=”类比推出“若C b a ∈,, 则0a b a b -=⇒=”； ②“若R b a ∈,，则b a b a >⇒>-0”类比推出“若C b a ∈,，则b a b a >⇒>-0”；附表：③“若R d c b a ∈,,,，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”； ④“若R c b a ∈,,，则()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯”类比推出“若,,是非零向量，则)()(⋅=⋅”. 其中类比结论正确的个数是 A. 1 B. 2 C . 3 D. 410. 已知R b a ∈,，ia bii +-=-21322019，若复数z 满足5|)(|=+-bi a z ，则||z 的最大值为A. 5B. 52 C . 53 D. 5411. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设c b a >>，且0=++c b a ，求证：a acb 32<-”“索”的“因”应是A. 0>-b aB. 0>-c aC. 0))((>--c a b aD. 0))((<--c a b a12.已知函数|12||32|)(+--=x x x f , ()g x =，若对),(+∞-∞∈∀t ,]7,1[∈∃s ，使)0)(()(>≤+a s g a t f 成立，则实数的a 取值范围是A. ]2,0(B. ]3,2(C. ]6,3[D. ),4[+∞二､填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分．将答案填在题中横线上．） 13. 已知i 为虚数单位，复数21,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，且i z 321-=，则=2z .14. 若b a y x >>,，则在①y b x a ->-， ②y b x a +>+，③by ax >， ④a y b x 22->-，⑤xby a >这五个不等式中，恒成立的不等式的序号是 .15. 定义某种运算S a b =⊗，运算原理如流程图所示，则式子1)51(100lg ln )45tan2(-⊗+⊗e π的值为 . 16. 已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x (θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是θρsin 2=.若点21,M M 的极坐标分别为)2,1(π和)0,2(，直线21M M 与曲线2C 相交于Q P ,两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，则22||1||1OB OA +的值为三、解答题：（本题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分）为了解心脑血管疾病是否与年龄有关，现随机抽取了50人进行调查，得到下列的列联表：试问能否在犯错的概率不超过5%的前提下，认为患心脑血管疾病与年龄有关？附表：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++18.（本题满分12分）随着经济的发展，某城市市民的收入逐年增长，该城市某银行连续五年的储蓄存款（年底余额）如下表：（I ）求出y 关于x 的线性回归方程；（II ）用所求的线性方程预测到2020年底，该银行的储蓄存款额为多少？参考公式：其中1122211()()ˆ,()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑ˆˆay bx =- 19.（本题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线21:4cos 30C ρρθ-+=，曲线2:cos()4C ρπθ=+.（I ）求曲线1C 及2C 的直角坐标方程；（II ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上的点的距离最大值.20.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线2C的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （I ）求曲线1C 和2C 的普通方程；（II ）设(0,1)P ，若曲线1C 和2C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅及AB 的值. 21.（本题满分12分）已知()224f x x x =-++. （I ）求不等式()7f x <的解集；（II ）若关于x 的不等式2()3f x m m ≤-有解，求实数m 的取值范围. 22.（本题满分12分）已知,,a b c 均为正实数. （I ）求证：32a b c b c a c a b ++≥+++；（II1≥.康杰中学2017—2018学年度第二学期期中考试高二数学（文）答案一、选择题：二、填空题：13. i 32-- 14. ②④ 15. 12` 16. 4三、解答题：17. 解：2250(221288) 5.556 3.84130203020K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为患心脑血管疾病与年龄有关……………10分 18. 解：（I ）令2012,6t x z y =-=-得到下表由题意知：1234535t ++++==12352.25z +++==51102132435545i ii t z==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑522222211234555ii t==++++=∑4553 2.2ˆ 1.25559b-⨯⨯==-⨯ ˆˆ 2.2 1.23 1.4az bt =-=-⨯=- ∴ˆ 1.2 1.4zt =- 即ˆ6 1.2(2012) 1.4yx -=-- ∴ˆ 1.22409.8yx =-…………………………….8分（II ）当2020x =时，ˆ 1.220202409.814.2y=⨯-= ∴ 到2020年年底，该银行的储蓄存款额可达14.2千亿元……………………………12分 19. 解：（I ）由24cos 30ρρθ-+=得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=由cos()4ρπθ=+得：(cos sin 22ρθθ⋅-⋅=∴80x y --=∴ 1C 的直角坐标方程为22(2)1x y -+=2C 的直角坐标方程为80x y --=………………………………………….6分（II ）∵点(2,0)到直线80x y --=的距离d ==∴点P 到2C上点的距离最大值为1…………………………….12分 20. 解：（I）由cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 得2213y x +=由21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得1x y += 即10x y +-= ∴曲线1C 的普通方程为2213y x += 曲线2C 的普通方程为10x y +-=………………………………………..6分（II）将21x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2213y x +=得：22111(1)1232t t ++=即2220t +-=设A B 、对应参数分别为12,t t ，则121PA PB t t ⋅==12AB t t =-====∴1PA PB ⋅=，AB =……………………………………………12分21. 解：（I ）()7f x <等价于22(24)7x x x ≤-⎧⎨--+<⎩ ①或222247x x x -<<⎧⎨-++<⎩②或22247x x x ≥⎧⎨-++<⎩③由①得32x -<≤-由②得21x -<<由③得523x ≤<，无解 ∴不等式()7f x <的解集为{}31x x -<<……………………………………6分（II ）32,2()6,2232,2x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，()f x 的图象如图：其中(2,4)M -，(2,8)N ∴()f x 的最小值为4，由题意知234m m -≥ 即2340m m --≥∴4m ≥或1m ≤-………………………………..12分 22. 证明：（I ）22()()a b a b ac bcb c a c b c a c ++++=++++ 2()()()()()()ab ac bc a b c b a c a bb c a c b c a c a c b c+++++≥==+++++++∴a b a bb c a c a c b c+>+++++ 同理b c b c a c a b a b a c +≥+++++② c a a c a b b c a b b c+≥+++++③ 由①+②+③得：2()3a b c a c b c a b b c a c a b a c b c a b+++++≥++=++++++ ∴32a b c b c a c a b ++≥+++……………………………………………………6分（II+222abcb c a c a b b c a c a b ≥+++++++++++223()1332a b c b c a c a b =++≥⋅=+++1≥……………………………..12分。

山西省运城市康杰中学2018届高考数学模拟试题(二)理

康杰中学2017—2018高考数学（理）模拟题（二）【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1. 设集合{}12A =，，则满足{}1234A B ⋃=，，，的集合B 的个数是 A. 2B. 3C. 4D. 52. 若复数2()1a ia R i-∈+为纯虚数，则|3|ai -＝B. 13C. 103.已知(0,),cos()6a a ππ∈+=，则tan 2α＝B.D. 4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 的值是 A. -1 B. 2C.12D. 15. 设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0F A F B F C ++=，则||||||FA FB FC ++=A. 6B. 9C. 3D. 46. 函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如图所示，为了得到函数cos()6y x πω=+的图象，只需将()y f x =的图象A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位7. 不等式组1022020x y x y ax y a -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，表示的平面区域的面积为152，则a ＝A.47B. 1C. 2D. 38. 如图1，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，将△ADE, △CDF, △BEF折起，使A ，C ，B 三点重合于G ，所得三棱锥G －DEF 的俯视图如图2，则该三棱锥正视图的面积为 A.12B.3C.3D.29. 设0sin a xdx π=⎰，则二项式6(展开式的常数项是（） A. 160B. 20C. -20D. -16010. 0x 是函数()2sin ln ((0,))f x x x x ππ=-∈的零点，120x x π<<<，则①0(1,)x e ∈②0(,)x e π∈ ③12()()0f x f x -< ④12()()0f x f x ->，其中正确的命题为 A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④11．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为 x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标为A ．(－4，0)B ．(－3，-1)C ．(－5，0)D ．(－4，-2)12.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对R x ∈∀，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少三个零点，则a 的取值范围是 A．B． C． D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 若向量,a b 满足1,2,(),a b a a b a b ==⊥+｜｜｜｜且则与的夹角为 .14. 1000名学生成绩近似服从正态分布N(100,100)，则成绩在120分以上的考生人数约为.[注：正态总体2(,)N μσ在区间(,),μσμσ-+(2,2),μσμσ-+(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别为0.683, 0.954, 0.997]15.三棱锥A —BCD 的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，则三棱锥的内切球半径 . 16. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边a ,b ,c 成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则cosA+cosC= .三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比0q >，2318a a a =，且46,36,2a a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2n nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. （本小题满分12分）如图，在几何体ABCDEF 中，平面⊥ADE 平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，且︒=∠60DAB ,AB EF EF AB ED EA //,2===，M 为BC 中点．（1）求证：//FM 平面BDE ；（2）求二面角C BF D --的平面角的正弦值． 19. （本小题满分12分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元； ②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元； ③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数） 20. （本小题满分12分）如图，一张坐标纸上已作出圆E ：8)1(22=++y x 及点)0,1(P ，折叠此纸片，使P 与圆周上某点'P 重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线'EP 的交点为M ，令点M 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）若直线m kx y l +=:与轨迹C 交于两个不同的点B A ,,且直线l 与以EP 为直径的圆相切，若]43,32[∈⋅，求ABO ∆的面积的取值范围． 21.（本小题满分12分）已知函数12()ln .x xe f x e x x-=+（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程; （2）证明：()1f x >.（二）选考题：共10分。

山西省运城市康杰中学2018届高考模拟(二)数学(理)试题(精编含解析)

②充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. 15.15.三棱锥 A—BCD 的两条棱 AB=CD=6，其余各棱长均为 5，则三棱锥的内切球半径_____.
【答案】【解析】【分析】利用三棱锥的结合特征结合体积相等求解三棱锥的内切球半径即可. 【详解】如图所示，设 E,F 分别为棱 AB,CD 的中点，连结 CF,DF,AE,BE，易知球心 O 在 EF 上，设球心 O 到各面的距离为 R.
6.6.函数
的图象如图所示，为了得到函数
的图象，只需将
的图象
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位【答案】C
D. 向右平移个单位
【解析】
【分析】
首先求得函数的解析式，然后确定函数图形的平移变换的性质即可.
【详解】由题意可得
，
当时，
，
解得：
，令可得 .
函数的解析式为
A. (－4，0) B. (－3，-1) C. (－5，0) D. (－4，-2)
【答案】A 【解析】
【分析】
设点的坐标为 C(m，n)，由重心公式得到关于 m,n 的方程，然后利用外心与点 B 的距离与外心与点 C 的距
离相等得到关于 m,n 的方程，两方程联立即可确定顶点 C 的坐标.
【详解】设 C(m，n)，由重心公式，可得△ABC 的重心为
12.12.定义域为的偶函数满足对任意，有
，且当
时，
是( )
，若函数
( 且 )在
上至少有三个零点，则的取值范围
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
解析：由题意可取偶函数. 由于函数

山西省康杰中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题理

康杰中学2017—2018学年度第二学期期中考试高二数学（理）试题2018.4 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．i）A.14 B.14+ C.12+ D.12- 2. 设()ln ,f x x x =若0()2f x '=，则0x ＝（） A. 2eB. eC.ln 22D. ln 23. 用反证法证明命题：“若,,,,1,1a b c d R a b c d ∈+=+=，且1ac bd +>，则,,,a b c d 中至少有一个负数”的假设为（） A. ,,,a b c d 中至少有一个正数 B. ,,,a b c d 全都为正数 C. ,,,a b c d 全都为非负数D. ,,,a b c d 中至多有一个负数4. 已知a 为函数3()12f x x x =-的极小值点，则a ＝（） A. －9B. －2C. 4D. 25. 函数x xy e=在[0，2]上的最大值是（） A.1eB.22eC. 06. 观察243()2,()4,(cos )sin x x x x x x '''===-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -＝（）A. ()f xB. －()f xC. ()g xD. －()g x7. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁4名大学生安排到该市三所不同的学校任教，每校至少安排一人，其中甲、乙不能安排在同一学校，则不同的安排方法种数为（） A. 18B. 24C. 30D. 368. 直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（）A.43B. 2C.83D.39. 若函数2()(0)xf x a x a=>+在[1,)+∞上的最大值为3，则a ＝（）1B.34C.43110. 若数列{}n a 是等差数列，12...nn a a a b n+++=，则数列{}n b 也为等差数列，类比这一性质可知，若{}n c 是正项等比数列，且{}n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为（） A. 12...nn c c c d n+++=B. 12....nn c c c d n=C. n d =D. n d =11.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数中第2014个数是（） A. 3965B. 3966C. 3968D. 398912.若函数211()ln ()2f x x x m x m=+-+在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，则m 的取值范围（） A. 1(0,][4,)4+∞B. 1(0,][2,)2+∞ C. 1(0,)(2,)2+∞D. 1(0,)(4,)4+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 复数(12)(3)z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 .14. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为 .15. 设点P 、Q 分别是曲线xy xe -=和直线3y x =+上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为 .16. 有*(2,)n n n N ≥∈粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为n S .例如对4粒有如下两种分解：(4)→(1,3) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时4S ＝1×3+1×2+1×1=6; (4)→(2,2) →(1,1,2)→(1,1,1,1)，此时4S ＝2×2+1×1+1×1=6.于是发现4S 为定值，请你研究n S 的规律，归纳n S ＝ .（2）若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．18.（本小题满分12分）已知曲线C ：123223+--=x x x y ，点)0,21(P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.19.（本小题满分12分）已知330,0,2a b a b >>+=.证明：（1）()()554a b a b++≥；（2）2a b +≤. 20.（本小题满分12分）已知函数22()ln ,()f x x m x h x x x a =-=-+，（1）当0a =时，()()f x h x ≥在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；（2）当m ＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．21.（本小题满分12分）是否存在常数,,a b c ，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++对一切正整数n 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）已知函数())(,R x xe x f x∈=-（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >；（3）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +>.17.解：(1)设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋b ＝1－a －b －2b 1＋a 2＋b 因为a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，b ≠0，所以ω为纯虚数． ...........10分 18.解：设切点),(000y x P ，则266020--='x x y 切线l ：))(266(]1232[00200203x x x x x x x y ---=+---过P （0,21）∴ ]21[]266[]1232[002002030x x x x x x -⋅--=+---即0)364(0200=+-x x x∴ 1,000==y x 即 A （0，1）故)0(21:--=-x y l 切即 012=-+y x∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+--=22321123223y x x y x x x y B （2,23-）∴3227)23(3223=-⎰=dx x x S19.证明.++=+++556556(1)()()a b a b a ab a b b=+-++3323344()2()a b a b ab a b=+-2224()ab a b≥4. .......6分（2）因为+=+++33223()33a b a a b ab b=++23()ab a b+≤++23()2(a b)4a b...........12分20.【解】 (1)由f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x －1ln x2，故g ′(e)＝0，当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0；x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )>0.故g (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e. .......6分(2)由已知可知k (x )＝x －2ln x －a ，函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点，φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，故φ′(2)＝0，所以当x ∈[1,2)时，φ′(x )<0，所以φ(x )单调递减，当x ∈(2,3]时，φ′(x )>0，所以φ(x )单调递增．所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]． .......12分 21.解：假设存在a b c ，，，使得所给等式成立．令123n =，，代入等式得0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，解得14140a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，，以下用数学归纳法证明等式22222242111(1)2(2)()44n n n n n n n -+-++-=+对一切正整数n都成立．（1）当1n =时，由以上可知等式成立；（2）假设当n k =时，等式成立，即22222242111(1)2(2)()44k k k k k k k -+-++-=-，则当1n k =+时，222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k +-++-+++-+++-+2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)k k k k k k k k k =-+-++-+++++++424211(1)11(21)(1)(1)44244k k k k k k k +=-++=+-+·．由（1）（2）知，等式对于一切正整数n 都成立．22.（Ⅰ）解：/f ()(1)x x x e -=-令/f (x)=0,解得x=1当x 变化时，/f (x)，f(x)的变化情况如下表所以f(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数。

【山西省运城康杰中学年】2017学年高考全真模拟(理科)数学年试题

0
C83 C132
1 55
,
P
1
C81C42 C132
12 , P
55
2
C82C41 C132

28 55
, P
3
C83 C132
14 , 55
所以, E 0 1 1 12 2 28 3 14 2 ． 55 55 55 55

4
．
sin cos
（2）设 P,Q, R 的极坐标分别为 1, ,, ,2, ,
因为
1 =
sin
4 cos
,
2

2
,
又因为 OP 2 OR OQ ,即 12 = 2 ,
∴

=
12 2
=
sin
16 cos
2

1 2
,
∴ = 8 ． 1 sin 2
和性别有关系
- 1 - / 16
19．（1）证明：∵ ABCD 是菱形, ∴ AD DC,OD AC , △ADC中,AD DC 12,ADC 120 , ∴ OD 6 ,
又 M 是 BC 中点,∴ OM 1 AB 6, MD 6 2 , 2
∵ OD2 OM 2 MD2 ∴ DO OM , ∵ OM , AC 面 ABC , OM AC O , ∴ OD 面 ABC , 又∵ OD 平面 ODM ,∴平面 ODM 平面 ABC ．（2）解：由题意, OD OC,OB OC , 又由（1）知 OB OD ,建立如图所示空间直角坐标系,
则 x1x2 y1y2 x1x2 kx1 2kx2 2
= 1 k 2 x1x2 2k x1 x2 4

山西省运城市康杰中学2018届高考模拟(四)数学(理)试题(精编含解析)

康杰中学2018年数学（理）模拟试题（四）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数的实部为A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】==，∴复数的实部为0．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．2. 设集合，集合，则等于A. B. C. D. R【答案】D【解析】【分析】先求出集合A和集合B，由此能求出．【详解】∵集合A={y|y=log2x，0＜x≤4}={y|y≤2}，集合B={x|e x＞1}={x|x＞0}，∴= R．故选：D．【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．3. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是A. 492B. 382C. 185D. 123【答案】D【解析】由题意满四进一，可得该图示是四进位制，化为十进位制为：.故选：D4. 给出下列四个结论：①命题“.”的否定是“.”；②“若，则.”的否命题是“若则.”；③若是真命题，是假命题，则命题中一真一假；④若，则是的充分不必要条件.其中正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】对于①命题“”的否定是“”，正确；对于②“若，则”的否命题是“若，则”，正确；对于③是真命题说明命题至少有一个是真命题，是假命题说明命题至少有一个是假命题，∴命题中一真一假，正确；对于③由，解得：；由解得：，∴是的必要不充分条件，命题错误；故选：C5. 已知，则A. B. C. D.【答案】C【解析】根据诱导公式得到，结合两式得到.故答案为：C。

山西省康杰中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

康杰中学2017-2018学年度第二学期期中考试高二数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数12z i =+，那么1z等于（）A.+B.C.1255i + D.1255i - 2. 下面说法正确的有（）①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知函数()y f x =的图像如图所示，设函数()y f x =从-1到1的平均变化率为1v ，从1到2的平均变化率为2v ，则1v 与2v 的大小关系为（）A. 12v v >B. 12v v =C. 12v v <D. 不确定4. 已知*111()()122f n n N n n n =++⋅⋅⋅+∈++,则(1)f n +=（） A. 1111221n n n ++⋅⋅⋅++++ B. 1111222n n n ++⋅⋅⋅++++ C. 1112321n n n ++⋅⋅⋅++++ D.1112322n n n ++⋅⋅⋅++++ 5. 已知函数()()cos sin 4f x f x x π'=+，则()4f π的值为（）A.1B. 1C.D.6. 函数2()2(,)f x x x m x m R =++∈的最小值为-1，则21()f x dx ⎰等于（）A.2B.163C. 6D. 77. 满足等式220z i z i --+=的复数z 对应的点所表示的图形是（）A. 圆B. 椭圆C. 直线D.线段8. 已知0,0a b >>且2a b +>, 则11,b aa b++（） A. 两个都大于2 B. 两个都小于2 C. 至少有一个小于2D. 至多有一个小于29.已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A. 1B.C. 2D. 310. 设a R ∈，若函数3,()ax y e x x R =+∈有大于零的极值点，则（） A. 3a >-B. 3a <-C. 13a >-D. 13a <-11. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1(2)n n≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111111111,,,1222363412=+=+=+⋅⋅⋅，则第10行第3个数（从左往右数）为（） 11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15....A. 1360B.1490C.1504D.184012. ()f x 是定义在R 上可导函数，且()()f x f x '>，则对任意正实数a ，下列成立的是（）A. (0)()af f a e <B. (0)()af f a e >C. ()(0)af a e f <D. ()(0)af a e f >二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 已知复数1z ai =+（,a R i ∈是虚数单位），3455z i z =-+，则a ＝ .14.10)x dx =⎰.15. 在ABC ∆中，AB AC ⊥，AD BC ⊥于D ，则222111AD AB AC=+，类比上述结论，在四面体ABCD 中，若,,AB AC AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则21AE＝ .16. 若函数321()(3)32a f x x x a xb =-+-+有六个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17. （本小题满分10分）已知a >0, 12a a+-.18. （本小题满分12分）求抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积.19. （本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值. （1）求,a b 的值及函数()f x 的单调区间;（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.20. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 都有：2(1)n n n S a S -=.（1）求123,,;S S S（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明.21. （本小题满分12分）已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性.22. （本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点(,())e f e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3. （1）求实数a 的值；（2）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求整数k 的最大值.：王晋宏审题人：侯彦宁高二数学（理）答案一、1.D 2.C 3.C 4.D 5.B 6.B 7.C 8.C 9.C 10.B 11.A 12.D 二、13. -2 14.24π- 15.222111AB AC AD ++ 16.（2，3）三、17. 12a a ≥+-12a a≥++2分）因为0a > ，故只要证2212)(a a≥++，即22221114)2)2,a a a a a a++≥+++++…………（6分）从而只要证：1),a a≥+只要证2222114()2(2)a a a a +≥++，即2212a a +≥，而上述不等式显然成立.…………（10分） 18.由方程组224y xy x⎧=⎨=-⎩，解得抛物线与直线的交点为（2，2）及（8，－4）取x 为积分变量，由图可得12S A A =+210(A dx =⎰13222200216|33x dx x ===…………（5分）38282222138[4((4)|233A x dx x x x =--=-+=⎰……（10分）所以16381833S =+= ……（12分） 19.解（1）32()f x x ax bx c =+++ 2()32f x x a x b '=++ 由2()03f '-=，且(1)0f '=，得1,22a b =-=-……（2分） 2()32(32)(1)f x x x x x '=--=+-，()f x 单调区间如下：所以函数()f x 递增区间为(,)3-∞-和(1,)+∞，递减区间为(,1)3-……（6分）（2）321()2,[1,2],2f x x x x c x =--+∈-当23x =-时，22()27f x c =+为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2()([1,2])f x c x <∈-恒成立，只须2(2)2c f c >=+ 得1c <-或2c >…………（12分） 20. 解（1）由2211(1)S S -= ，得112S =；由21212(1)()S S S S -=-，得223S =；由23323(1)()S S S S -=-，得334S =；………………（4分）（2）猜想：1n nS n =+.证明：①当1n =时，显然成立；②假设当n k =（1k ≥，且*k N ∈）时，1k kS k =+成立. ………………（6分）则当1n k =+时，由2111(1)k k k S a S +++-=，得11112221k k k S k S k k ++===-+-+. 从而1n k =+时，猜想也成立.综合①②得结论成立. …………………………（12分）21.（4分）（5分）22.解：（1）因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++.……（1分）因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点(,())e f e 处的切线斜率为3，所以()3f e '=，即ln 13a e ++=，所以1a =.…………（4分）（2）由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()1f x k x <-等对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立.令()g x ＝ln 1x x x x +-，则()g x '＝2ln 2(1)x x x --- 令()ln 2(1)h x x x x =-->，11()10x h x x x-'=-=>. 所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递增.…………（7分）因为(3)1ln30,(4)22ln 20h h =-<=->，所以函数()h x ＝0在(1,)+∞上存在唯一实根0x ，且满足0(3,4)x ∈. 当01x x <<时，()0h x <，即()g x '<0；当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>.…………（9分）所以函数()g x ＝ln 1x x xx +-在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增.00min 00(1ln )[()]()1x x g x g x x +==-＝0000(12)(3,4)1x x x x +-=∈-所以min 0[()](3,4)k g x x <=∈，故整数k 的最大值是3. ……（12分）。

2017-2018学年山西省运城市高二(下)期中数学试卷(理科)-教师用卷

2017-2018学年山西省运城市高二（下）期中数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数z=3−i1+i(i为虚数单位)的共轭复数等于()A. 1+2iB. 1−2iC. 1+3iD. −1−3i【答案】A【解析】解：∵z=3−i1+i =(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−4i2=1−2i，∴z的共轭复数z=1+2i，故选：A．根据复数的运算法则将复数进行化简，然后根据共轭复数的概念，即可得到结论．本题主要考查复数的基本运算以及共轭复数的概念，比较基础．2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f′(0)=0，所以，x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中()A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】解：∵大前提是：“对于可导函数f(x)，如果，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f(x)的极值点，∴大前提错误，故选：A．在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f(x)，如果，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不难得到结论．本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．3.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A. 2B. 4C. 2D. 4【答案】D【解析】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫ 02(4x−x3)dx，而∫ 02(4x−x3)dx=(2x2−14x4)| 02=8−4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．4.“a=1”是“复数z=(a2−1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数”的()A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵a2−1+2(a+1)i为纯虚数，则a2−1=0，a+1≠0，∴a=1，反之也成立．∴“a=1”是“复数z=(a2−1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数”的充要条件，故选：A．利用纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.函数f(x)=e x cos x在点(0,f(0))处的切线斜率为()A. 0B. −1C. 1D. 22【答案】C【解析】解：∵f′(x)=e x cos x−e x sin x，∴f′(0)=e0(cos0−sin0)=1，∴函数图象在点(0,f(0))处的切线的斜率为1．故选：C．先求函数f(x)=e x cos x的导数，因为函数图象在点(0,f(0))处的切线的斜率为函数在x=0处的导数，就可求出切线的斜率．本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属于综合题．6.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是()A. (13,+∞) B. (−∞,13] C. [13,+∞) D. (−∞,13)【答案】C【解析】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4−12m≤0，∴m≥13．故选：C．对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系.即当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．7.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？()A. 正三角形的顶点B. 正三角形的中心C. 正三角形各边的中点D. 无法确定【答案】B【解析】解：由平面中关于正三角形的内切圆的性质：“正三角形的内切圆切于三边的中点”，根据平面上关于正三角形的内切圆的性质类比为空间中关于内切球的性质，我们可以推断在空间几何中有：“正四面体的内切球切于四面体各正三角形的位置是各正三角形的中心”故选：B．由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质.故我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形的内切圆切于三边的中点”，推断出一个空间几何中一个关于内切球的性质．本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．8.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f(x)和y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选：D．本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f(x)和y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．考查函数的单调性问题．9.函数y=−x3+2ax+a在(−1,0)内有极小值，则实数a的取值范围为()) B. (0,3) C. (−∞,3) D. (0,+∞)A. (0,32【答案】A【解析】解：对于函数y=−x3+2ax+a求导可得y′=−3x2+2a，∵函数y=−x3+2ax+a在(−1,0)内有极小值，∴y′=−3x2+2a=0，则有一根在(−1,0)内，a>0时，两根为±6a，3<0若有一根在(−1,0)内，则−1<−6a3即0<a<3．2a=0时，两根相等，均为0，f(x)在(−1,0)内无极小值．a<0时，无实根，f(x)在(−1,0)内无极小值，综合可得，0<a<3，2故选：A．由函数y=−x3+2ax+a在(−1,0)内有极小值，求导可得，导函数在(−1,0)内至少有一个实数根，分a>0、a=0、a<0三种情况，求得实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．10.若函数f(x)=ln x+ax2−2在区间(12,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−2]B. (−18,+∞) C. (−2,−18) D. (−2,+∞)【答案】D【解析】解：f′(x)=1x+2ax，若f(x)在区间(12,2)内存在单调递增区间，则f′(x)>0在x∈(12,2)有解，故a>(−12x)min，而g(x)=−12x 在(12,2)递增，g(x)>g(12)=−2，故a>−2，故选：D．求出函数的导数，问题转化为a>(−12x2)min，而g(x)=−12x2在(12,2)递增，求出g(x)的最小值，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道基础题．11.已知函数f(x)=ax3−3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是()A. (2,+∞)B. (−∞,−2)C. (1,+∞)D. (−∞,−1)【答案】B【解析】解：(i)当a=0时，f(x)=−3x2+1，令f(x)=0，解得x=±33，函数f(x)有两个零点，舍去．(ii)当a≠0时，f′(x)=3ax2−6x=3ax(x−2a)，令f′(x)=0，解得x=0或2a．①当a<0时，2a <0，当x<2a或x>0时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减；当2a<x<0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．∴2a是函数f(x)的极小值点，0是函数f(x)的极大值点．∵函数f(x)=ax3−3x2+1存在唯一的零点x0，且x0>0，则：2a<0f(2a)>0；即：a<04a<1，可得a<−2．②当a>0时，2a >0，当x>2a或x<0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；当0<x<2a时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．∴2a是函数f(x)的极小值点，0是函数f(x)的极大值点．不满足函数f(x)=ax3−3x2+1存在唯一的零点x0，且x0>0，综上可得：实数a的取值范围是(−∞,−2)．故选：B．(i)当a=0时，f(x)=−3x2+1，令f(x)=0，解得x=±33，两个解，舍去．(ii)当a≠0时，f′(x)=3ax2−6x=3ax(x−2a )，令f′(x)=0，解得x=0或2a.对a分类讨论：①当a<0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a>0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为，且2f(x)'/>，则()A. 6f(e)>2f(e3)>3f(e2)B. 6f(e)<3f(e2)<2f(e3)C. 6f(e)>3f(e2)>2f(e3)D. 6f(e)<2f(e3)<3f(e2)【答案】B【解析】解：令g(x)=f(x)ln x2，则g′(x)=f′(x)⋅(x ln x2)−2f(x)x(ln x2)2>0，故g(x)在(0,+∞)递增，故g(e)<g(e2)<g(e3)，故6f(e)<3f(e2)<2f(e3)，故选：B．令g(x)=f(x)ln x，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数值的大小比较，构造新函数g(x)是解题的关键，本题是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.用数学归纳法证明1+a+a2+⋯+a n+1=1−a n+21−a(a≠1)，在验证n=1时，左端计算所得的项为______．【答案】1+a+a2【解析】解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+⋯+a n+1=1−a n+21−a(a≠1)”在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故答案为：1+a+a2首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a2+⋯+a n+1=1−a n+21−a(a≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项.把n=1代入等式左边即可得到答案．此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题．14.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，则曲线y=f(x)在点(1,−3)处的切线方程是________．【答案】2x+y+1=0【解析】解：f(x)为偶函数，可得f(−x)=f(x)，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，即有x>0时，f(x)=ln x−3x，f′(x)=1x−3，可得f(1)=ln1−3=−3，f′(1)=1−3=−2，则曲线y=f(x)在点(1,−3)处的切线方程为y−(−3)=−2(x−1)，即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．由偶函数的定义，可得f(−x)=f(x)，即有x>0时，f(x)=ln x−3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．15.曲线y=ln x上的点到直线2x−y+3=0的最短距离是______．【答案】5【解析】解：因为直线2x−y+3=0的斜率为2，所以令y′=1x =2，解得：x=12，把x=12代入曲线方程得：y=−ln2，即曲线上过(12,−ln2)的切线斜率为2，则(12,−ln2)到直线2x−y+3=0的距离d=22=5，即曲线y=ln x上的点到直线2x−y+3=0的最短距离是5．故答案为：5直线2x−y+3=0在曲线y=ln x上方，把直线平行下移到与曲线相切，切点到直线2x−y+3=0的距离即为所求的最短距离.由直线2x−y+3=0的斜率，令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标，把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可．在曲线上找出斜率和已知直线斜率相等的点的坐标是解本题的关键.同时要求学生掌握求导法则及点到直线的距离公式的运用．16.设，是f(x)的导函数，则【答案】−1【解析】解：，，令x=π3，可得：，解得，则．故答案为：−1．，可得，令x=π3，可得：，进而得出本题考查了等导数的运算法则、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)设复数z和它的共轭复数z满足：4z+2z=33+i，求复数z；(2)设复数z满足：|z+2|+|z−2|=8，求复数z对应的点的轨迹方程．【答案】解：(1)设z=x+yi(x,y∈R)，则4z+2z=6x+2yi，由4z+2z=33+i可得：6x+2yi=33+i，所以x=32,y=12，∴z=32+12i；(2)设复数z=x+yi(x,y∈R)，由|z+2|+|z−2|=8得：(x+2)2+y2+(x−2)2+y2=8(8>4)，其轨迹是椭圆，此时2a=8，a=4，2c=4，c=2，b2=12，所求的轨迹方程为：x216+y212=1．【解析】(1)设复数z，通过4z+2z=33+i，结合复数相等的充要条件列出方程，即可求复数z；(2)设复数z，通过|z+2|+|z−2|=8，列出方程，利用椭圆的定义，转化求解复数z 对应的点的轨迹方程．本题考查复数的相等，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．18.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[−1,0]上的最大值和最小值．【答案】解：f(x)的定义域为(−32,+∞)，(1)求导函数可得：f′(x)=22x+3+2x=2(2x+1)(x+1)2x+3当−32<x<−1时，0'/>，当−1<x<−12时，，当x>−12时，0'/>，从而f(x)在(−32,−1)和(−12,+∞)单调递增，在(−1,−12)单调递减；(2)由(1)知，f(x)在区间[−1,0]的最小值为f(−12)=ln2+14又f(−1)=1，f(0)=ln3>1，∴最大值为f(0)=ln3．【解析】(1)确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，即可得到函数的单调区间；(2)由(1)知f(x)在区间[−1,0]的最小值为f(−12)，比较端点的函数值，可得函数的最大值．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．19.观察下列方程，并回答问题：①x2−1=0；②x2+x−2=0；③x2+2x−3=0；④x2+3x−4=0；…．(1)请你根据这列方程的特点写出第n个方程；(2)直接写出第2009个方程的根；(3)说出这列方程的根的一个共同特点．【答案】解：(1)由已知中的方程：①x2−1=0；②x2+x−2=0；③x2+2x−3=0；④x2+3x−4=0；…．归纳可得，第n个方程为：x2+(n−1)x−n=0，(2)第2009个方程为：x2+2008x−2009=0，此方程可化为：(x+2009)(x−1)=0，故第2009个方程的根为：1，−2009，(3)这列方程的根共有两个，一个是1，一个是−n．【解析】(1)由已知中的方程：①x2−1=0；②x2+x−2=0；③x2+2x−3=0；④x2+3x−4=0；….分析出方程左边多项式项及系数的变化规律，可得答案；(2)将所得的第2009个方程左边进行因式分析，可得第2009个方程的根；(3)根据已知中的方程：①x2−1=0；②x2+x−2=0；③x2+2x−3=0；④x2+3x−4=0；…根的特点，可得答案归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．20.已知函数f(x)=−x2+ax−ln x(a∈R)(1)当a=3时，求函数f(x)在[12,2]上的最大值和最小值；(2)函数f(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)当a=3时，f(x)=−x2+3x−ln x的导数为f′(x)=−2x+3−1x =−2x2−3x+1x=−(2x−1)(x−1)x，函数f(x)在区间(12,2)仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在[12,2]的最大值是f(1)=2，又f(2)−f(12)=(2−ln2)−(54+ln2)=34−2ln2<0，故f(2)<f(12)，故函数f(x)在[12,2]上的最小值为f(2)=2−ln2；(2)f(x)的导数为f′(x)=−2x+a−1x =−2x2−ax+1x，若f(x)既有极大值又有极小值，则必须f′(x)=0有两个不同正根x1，x2，即2x2−ax+1=0有两个不同正根，故a应满足△>0a2>0⇒a>0a2−8>0⇒a>22．可得函数f(x)既有极大值又有极小值，实数a的取值范围是a>22．【解析】(1)求得a=3的f(x)的解析式和导数，以及极值点，极值和端点处函数值，比较可得f(x)的最值；(2)由题意可得f′(x)=0有两个不同正根x1，x2，即2x2−ax+1=0有两个不同正根，运用判别式大于0和两根之和大于0，两根之积大于0，可得a的范围．本题考查导数的运用：求极值和最值，考查二次方程实根的分布，以及化简整理的运算能力，属于中档题．21.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=13x3+ax(a∈R)，且曲线f(x)在x=12处的切线与直线y=−34x−1平行．(Ⅰ)求a的值及函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若函数y=f(x)−m在区间[−3,3]上有三个零点，求实数m的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)当x>0时，f′(x)=x2+a，因为曲线f(x)在x=12处的切线与直线y=−34x−1平行，所以f′(12)=14+a=−34，解得a=−1，所以f(x)=13x3−x，设x<0则f(x)=−f(−x)=13x3−x，又f(0)=0，所以f(x)=13x3−x．(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(−3)=−6，f(−1)=23，f(1)=−23，f(3)=0，所以函数y=f(x)−m在区间[−3,3]上有三个零点，等价于函数f(x)在[−3,3]上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f(x)在区间[−3,上大致图象可知，实数m的取值范围是(−23,0)．【解析】(Ⅰ)首先求得导函数，然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得a 的值，由此求得函数f(x)的解析式；(Ⅱ)将问题转化为函数f(x)的图象与y=m有三个公共点，由此结合图象求得m的取值范围．本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查数形结合的数学思想，属于中档题．22.设函数f(x)=xln x−ax．(1)若函数f(x)在(1,+∞)上为减函数，求实数a的最小值；(2)若存在x1，x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由已知得f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，∵f(x)在(1,+∞)上为减函数，∴f′(x)=−a+ln x−1(ln x)≤0在(1,+∞)上恒成立，−a≤1(ln x)2−1ln x=(1ln x−12)2−14，令g(x)=(1ln x −12)2−14，故当1ln x =12，即x=e2时，g(x)的最小值为−14，∴−a≤−14，即a≥14∴a的最小值为14．(Ⅱ)命题“若存在x1，x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立”，等价于“当x∈[e,e2]时，有f(x)mi n≤f′(x)max+a”，由(Ⅰ)知，当x∈[e,e2]时，ln x∈[1,2]，1ln x ∈[12,1]，f′(x)=−a+ln x−1(ln x)2=−(1ln x−12)2+14−a，f′(x)max+a=14，问题等价于：“当x∈[e,e2]时，有f(x)min≤14”，①当−a≤−14，即a≥14时，由(Ⅰ)，f(x)在[e,e2]上为减函数，则f(x)min=f(e2)=−ae2+e22≤14，∴−a≤14e2−12，∴a≥12−14e．②当−14<−a<0，即0<a<14时，∵x∈[e,e2]，∴ln x∈[12,1]，∵f′(x)=−a+ln x−1(ln x)，由复合函数的单调性知f′(x)在[e,e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈(e,e2)，使f′(x0)=0且满足：f(x)min=f(x0)=−ax0+x0ln x0，要使f(x)min≤14，∴−a≤14x−1ln x0<14−12=−14，与−14<−a<0矛盾，∴−14<−a<0不合题意．综上，实数a的取值范围为[12−14e,+∞)．【解析】(1)由已知得f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，f′(x)=−a+ln x−1(ln x)2在(1,+∞)上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值；(2)命题“若存在x1，x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立”，等价于“当x∈[e,e2]时，有f(x)min≤f′(x)max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．本题主要考查函数、导数等基本知识.考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．第11页，共11页。

山西省运城市康杰中学高考数学模拟试题(二)理

山西省运城市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(精编含解析)

山西省运城市2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）调研测试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∴z的共轭复数，故选：A考点：复数代数形式的乘除运算．2. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点；因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点，以上推理中（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】试题分析：因导数函数的零点不一定都是极值点,故大前提错位,应选A．考点：三段论及运用．3. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线与曲线的交点坐标为和，故直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积．故选．4. 是复数为纯虚数的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：由题意得到关于实数a的方程组，求解方程组即可求得最终结果.详解：若复数为纯虚数，则：，据此可得：.则是复数为纯虚数的充要条件.本题选择A选项.点睛：复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.5. 函数在处切线斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先求得函数的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可.则，即函数在处切线斜率为.本题选择C选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选：C．7. 对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？A. 正三角形的顶点B. 正三角形的中心C. 正三角形各边的中点D. 无法确定【答案】B【解析】分析：由题意结合几何体的空间关系进行类比推理即可求得最终结果.详解：绘制正三棱锥的内切球效果如图所示，很明显切点在面内而不在边上，则选项AC错误，由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的正三角形的中心.本题选择B选项.点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．8. 设是函数的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合所给的选项逐一考查所给的图象关系是否满足单调性即可求得最终结果.详解：选项A中，若，则，满足题中的图象关系；选项B中，若为图象恒在轴上方部分的图象，则单调递增，满足题中的图象关系；选项C中，若为图象恒在轴上方部分的图象，则单调递增，满足题中的图象关系；选项D中，若为图象恒在轴上方部分的图象，则单调递增，不满足题中的图象关系；若为图象恒在轴下方部分的图象，则单调递减，也不满足题中的图象关系；综上可得：图象关系不可能是D选项.本题选择D选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数图象之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9. 函数在内有极小值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先求得导函数，然后结合导函数研究函数的极值，分类讨论即可求得最终结果.详解：由函数的解析式可得y′=−3x2+2a，∵函数y=−x3+2ax+a在(−1,0)内有极小值，∴令y′=−3x2+2a=0，则有一根在(−1,0)内，分类讨论：a>0时，两根为，满足题意时，小根在(−1,0)内，则，即0<a<.a=0时，两根相等，均为0，f(x)在(−1,0)内无极小值.a<0时，无实根，f(x)在(−1,0)内无极小值，综合可得，实数的取值范围为.本题选择A选项.点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．10. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若函数在区间内存在单调递增区间,则在区间有解，故的最小值，又在上是单调递增函数，所以,所以实数的取值范围是，故选D.11. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当a=0时,f(x)==0,解得,函数f(x)有两个零点，不符合题意，应舍去；当a>0时,令，,解得x=0或>0，列表如下：∵x→−∞,f(x)→−∞,而f(0)=1>0，∴存在x<0,使得f(x)=0,不符合条件：f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0，应舍去。

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山西省运城市康杰中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．i=（）A ．14 B ．14+ C ．12+ D ．12- 2．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（） A ．2eB ．eC ．1ln 22D ．2ln 23．给出一个命题p ：若,,,,1,1a b c d a b c d ∈+=+=R ，且1ac bd +>，则a ，b ，c ，d 中至少有一个小于零，在用反证法证明p 时，应该假设（） A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数 B ．a ，b ，c ，d 全为正数C ．a ，b ，c ，d 全都大于或等于0D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数4．已知a 为函数()312f x x x =-的极小值点，则a ＝（） A ．－9 B ．－2C ．4D ．25．函数x xy e=在[0，2]上的最大值是（） A ．1e B ．22e C ．0 D6．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -7．某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为( )． A ．18 B ．24 C ．30 D ．368．直线l 过抛物线C: x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（）A ．43B ．2C ．83D ．16√239．若函数2()(0)x f x a x a =>+在[1,)+∞上的最大值为3，则a ＝（）A 1B ．34C ．43D 110．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．n d =D ．n d =11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数中第2014个数是（） A ．3965B ．3966C ．3968D ．398912．若函数()()211ln ,02f x x x m x m m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭＞在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，则m 的取值范围（）A ．][10,4,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．][10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．()10,4,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题13．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 14．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为_____．15．设点P 、Q 分别是曲线(x y xe e -=是自然对数的底数）和直线3yx 上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为16．有*(2,)n n n N ≥∈粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为n S .例如对4粒有如下两种分解：(4)→(1,3) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时4S ＝1×3+1×2+1×1=6; (4)→(2,2) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时4S ＝2×2+1×1+1×1=6.于是发现4S 为定值，请你研究n S 的规律，归纳n S ＝__________.三、解答题17．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤．（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围．（2）若1111z z ω-=+，求证：ω为纯虚数． 18．已知曲线C ：322321y x x x =--+，点1(,0)2P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.19．已知0a >，0b >，332a b +=，证明： (1)()()554a b a b++≥；(2)2a b +≤.20．设函数2()ln f x x m x =-，2()g x x x a =-+.（1）当0a =时，()()f x g x ≥在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（2）当2m =时，若函数()()()h x f x g x =-在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.21．是否存在常数,,a b c ，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++对一切正整数n 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由． 22．已知函数()()x f x xe x R -=∈ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>参考答案1．B 【解析】试题分析：；应选B.考点：复数的运算. 2．B 【解析】()()00ln 1,ln 12f x x f x x ''=+=+=,解得0x e =,故选B.3．C 【分析】由“a b c d ,,,中至少一个小于零”的否定为“a b c d ,,,全都大于等于0”即可求解. 【详解】因为“a ，b ，c ，d 中至少有一个小于零”的否定为“a b c d ,,,全都大于等于0”, 所以由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a b c d ,,,全都大于等于0”, 故选：C . 【点睛】本题主要考查了反证法，反证法的证明步骤，属于容易题. 4．D 【解析】∵()312f x x x =-，∴()23123(2)(2)f x x x x -'=-=+，∴当2x <-或2x >时，()0,()f x f x '>单调递增；当22x -<<时，()0,()fx f x '<单调递减．∴当2x =时，()f x 有极小值，即函数的极小值点为2．选D ． 5．A 【解析】∵()xx f x e =， ∴1()x xf x e-'=，∴当1x <时，()0,()f x f x >'单调递增；当1x >时，()0,()f x f x <'单调递减．∴max 1()(1)f x f e ==．选A ．6．D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ． 7．C【解析】四名学生中有两名分在一所学校的种数是24C ，顺序有33A 种，而甲、乙被分在同一所学校的有33A 种，故不同的安排方法种数是24C 33A －33A ＝30.8．C 【解析】试题分析：抛物线C 的焦点为(0,1)，直线l:y =1与抛物线的交点为(±2,1)，因此S =∫(1−x 24)dx 2−2=(x −112x 3)|2−2=83．考点：积分的几何意义． 9．A 【解析】由题意得()2222()20)()x a x f x x x a +-'==>+，∴当0x <<时，()0,()f x f x >'单调递增；当x >()0,()f x f x <'单调递减．①1>，即1a >时，max ()f x f ===．=，解得34a =，不合题意．1，即1a ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故max 1()(1)1f x f a ==+．令11a =+，解得31a ，符合题意．综上31a ．点睛：（1）求函数最值时，要注意函数单调性的运用．对于函数不单调的问题，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过对极值和区间端点值的比较才能下结论．（2）当含有参数的问题涉及函数的最值或单调性的逆向应用等问题时，求解时注意分类讨论思想的运用，对于参数的讨论要做到不重不漏． 10．D 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论．【详解】解：数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，则()112121111n n nn n c c c c c q c q c q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ．【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可． 11．A 【解析】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了123n ++++(1)2n n +=个数，且第n 次取的最后一个数为2n ．当63n =时，63(631)20162⨯+=，故第63次取时共取了2016个数，都为奇数，并且最后一个数为2633969=，即第2016个数为3969，所以第2014个数为3965．选A ．点睛：解答本题时要用归纳推理的方法从中找出数字递增的规律，第n 组有连续个奇数或偶数构成，其中每组中数的奇偶性与组数n 的奇偶性相同，然后确定出第n 次取后得到的数的总数及每组数的最后一个数的规律性，然后通过尝试的方法并利用所得规律解题． 12．B 【解析】由211()ln ()2f x x x m x m =+-+，得11()()f x x m x m=+-+'（02x <<）， ∴ ()f x '在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，由于51(2)()2f m m-'=+， ∴要使函数()f x 在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，需满足51(2)()02f m m=-+≤'，即22520m m -+≥，解得12m ≤或2m ≥，又0m >， ∴102m <≤或2m ≥．选B ． 13．5 【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5 【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b a bi -14．112 【解析】由分层抽样可得，应从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以不同的抽取方法共有2184112C C =种．答案：11215．2【详解】试题分析：()'1xx x y exe x e ---=-=-，令()11x x e --=，即1x e x =-，10x e x +-=，令()1xh x e x =+-，显然()h x 是增函数，且()00h =，即方程10x e x +-=只有一解0x =，曲线xy xe -=在0x =处的切线方程为y x =，两平行线0x y -=和30x y -+=间的距离为d ==. 考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离. 16．(1)2n n - 【解析】由题意得()()21,1→，此时2111S =⨯=；()()()31,21,1,1→→，此时31211213S =⨯+⨯=+=；()()()()41,31,1,21,1,1,1→→→，此时4131213216S =⨯+⨯+⨯=++=； ()()()()()51,41,1,31,1,1,21,1,1,1,1→→→→，此时51413121432110S =⨯+⨯+⨯+⨯=+++=；……由此可猜想：(1)(1)(2)3212n n n S n n -=-+-++++=．答案：(1)2n n - 点睛：破解归纳推理的思维步骤(1)发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； (2)归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)； (3)检验，得结论，对所得的一般性命题进行检验． 17．（1）；（2）略【详解】分析：（1）设z 1=a+bi ，（a ，b ∈R ，且b ≠0），则2111z z z =+=（a+22aa b+）+（b ﹣22b a b +），由z 1是实数，得a 2+b 2=1，由此求出z 1的实部的取值范围为[﹣12，12]．（2）ω=1111z z -+=11a bi a bi --++=222212(1)a b bi a b ---++=1b i a +，由此能证明ω=1111z z -+是纯虚数．详解：(1)解:设()1,,0z a bi a b R b =+∈≠.则222221a b z a bi a b i a bi a b a b ⎛⎫=++=++- ⎪+++⎝⎭, 因为2z R ∈.所以220bb a b-=+，又0b ≠，所以221a b +=.所以11z =. 所以2222212a b z a bi a b i a a bi a b a b ⎛⎫=++=++-= ⎪+++⎝⎭, 又21z ≤,即21a ≤.解得11-a 22≤≤. 所以1z 的实部的取值范围的取值范围为11-22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.(2)证明:()2212211112=1111z a bi a b bi b i z a bi a a bω------===-++++++, 因为0b ≠.所以-01ba≠+, 所以ω为纯虚数.点睛：复数z a bi =+实部为a ，虚部为b ，共轭复数OP 实部为()1OP t OA tOB =-+，虚部为()1OP t OA tOB =-+，在复平面内对应的点关于是轴对称，复数的运算，难点是乘除法法则，设()12,,,,z a bi z c di a b c dR =+=+，则()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+． 18．2732. 【解析】试题分析：先根据导数的几何意义求得曲线在点P 处的切线，然后画出草图，结合图形得到被积函数和积分区间，最后由定积分求得图形的面积．试题解析：∵322321y x x x =--+， ∴2662y x x =--'．设切点为00(,)A x y ，则0200|662x x y x x =-'=-，∴所求切线方程为20000(662)()y y x x x x -=---，即，∵切线过点P （），∴ ，整理得，解得，∴01y =， ∴点(0,1)A ．故切线方程为12(0)y x -=--，即．由，解得．∴点B 的坐标为（）．画出图形如图所示．∴切线l 与C 围成的图形的面积333223232432000127[(12)(2321)](23)()|232S x x x x dx x x dx x x =----+=-+=-+=⎰⎰．点睛：利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分得出答案． 19．(1) 见解析(2) 见解析【分析】（1）由柯西不等式即可证明，（2）由a 3+b 3＝2转化为()()323a b a b +-=+ab ，再由均值不等式可得：()()323a b a b +-=+ab ≤2()2a b +，即可得到14（a +b ）3≤2，问题得以证明．【详解】证明：（1）由柯西不等式得：553324a b a b a b ++≥+（）（）（）＝，当且仅当ab 5＝ba 5，即a ＝b ＝1时取等号；（2）∵a 3+b 3＝2，∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝2， ∴（a +b ）[（a +b ）2﹣3ab ]＝2， ∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）＝2，∴()()323a b a b +-=+ab ，由均值不等式可得：()()323a b a b +-=+ab ≤2()2a b + ∴（a +b ）3﹣2()334a b +≤，∴14（a +b ）3≤2， ∴a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．【点睛】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题． 20．（1）m e ≤；（2）(22ln 2,32ln3--] 【解析】试题分析：（1）由0a = ，由f x h x ≥（）（）在（1+∞，）上恒成立，得到mlnx x -≥- ，即x m lnx ≤在（1，+∞）上恒成立，构造函数() xh x lnx＝，求出函数的最小值，即可得到实数m 的取值范围；（2）当2m = 时，易得函数g x f x h x =-（）（）（）的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为2x lnx a -=，在[1]3，上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于a 的不等式组，解不等式组即可得到答案．试题解析：（1）当0a =时，由()()0f x g x -≥得ln m x x ≤， ∵1x >，∴ln 0x >，∴有ln xm x≤在()1,+∞上恒成立，令()()2ln 1,ln ln x x h x h x x x-='=，由()0h x '=得x e =，当()(),0,0,00x e h x x e h ''>><<<，∴()h x 在()0,e 上为减函数，在(),e +∞上为增函数，∴()()min h x h e e ==，∴实数m 的取值范围为m e ≤；（2）当2m =时，函数()()()2ln h x f x g x x x a ===--，()h x 在[]1,3上恰有两个不同的零点，即2ln x x a -=在[]1,3上恰有两个不同的零点，令()2ln x x x φ=-，则()221x x x xφ'-=-=，当12x <<，()0x φ'<；当23x <<，()0x φ'>，∴()x φ在()1,2上单减，在()2,3上单增，()()min 222ln2x φφ==-，又()()11,332ln3φφ==-，()()13φφ>如图所示，所以实数a 的取值范围为(22ln2,32ln3--]【点睛】本题以函数为载体，考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．其中（1）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，（2）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于a 的不等式组． 21．见解析. 【解析】假设存在a b c ，，，使得所给等式成立．令123n =，，代入等式得0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，解得14140a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，，以下用数学归纳法证明等式()()()2222224211112244n n n n n n n -+-++-=+对一切正整数n 都成立．①当1n =时，由以上可知等式成立； ②假设当(1,*)n k kk N =≥∈时等式成立，即()()()2222224211112244k k k k k k k -+-++-=-，当1n k =+时，()][()][()()()()222222221112121111k k k k k k k k ⎡⎤⎤⎡+-++-+++-+++-+⎦⎣⎣⎦()()()()()()22222211222122121k k k k k k k k k =-+-++-+++++++()()4211121?442k k k k k +=-++ ()()42111144k k =+-+．即1n k =+时等式成立．由①②知等式对于一切正整数n 都成立．点睛：（1）用数学归纳法证题的步骤：①明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时命题的真假(必不可少)．②“假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题正确”，然后证明当n ＝k ＋1时命题成立，最后得出结论．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．（2）数学归纳法证明的关键点：注意“n ＝k ＋1”时与“n ＝k ”时命题形式的差别，弄清等式（或不等式）左端应增加的项，明确左端变形的目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．22．（Ⅰ）f(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【详解】（Ⅰ）解：f’()(1)xx x e -=-令f’(x)=0,解得x=1当x 变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表所以f(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2x e - 令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)x x F x xe x e --=+- 于是22'()(1)(1)x x F x x ee --=--当x>1时，2x-2>0,从而2x-2e 10,0,F x e -->>又所以’(x)>0,从而函数F （x ）在[1,+∞)是增函数．又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). （Ⅲ）证明：（1）若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。