《数学建模》课件

第一章课程概述
§1.1 数学模型与数学建模
一．基本概念
数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。

其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。

特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。

对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。

而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。

为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：
二．（引例1）椅子的平稳放置问题
将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。

这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？
三．（引例2）商人过河
设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。

随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。

商人们怎样才能安全渡河呢？
椅子的平稳放置问题
将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。

这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。

一．模型假设：
1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；
2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。

即地面可视为数学上的连续曲面；
3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。

将椅子的四只脚逆时针方向依次编号A 、B 、C 、D ，选定某初始位置，如图，规定CA 所在直线为x 轴，CA 中点为原点O 。

且设：
4．挪动椅子时，保持四脚椅中心与O 正对，可以用CA 与x 轴正向夹角θ来表示椅子位置；以)(θf 、)(θg 分别表示(A,C)、(B,D)两组点离开地面的竖直距离。

二．模型建立与求解：
1）0)(),(≥θθg f ，且在]2,0[π上连续；
2）])2,0[(,0)()(π∈θ∀≡θ⋅θg f ；
3）由于四脚椅中心对称，所以)()2/(θπθg f =+、)()2/(θπθf g =+；
易知椅子放稳的条件为0)()(==θθg f ，因此可将椅子的平稳放置问题归结为，是否存在]2,0[0πθ∈，满足0)()(00==θθg f 。

进一步讨论，若0)0()0(==g f ，即椅子的最初放置是平稳的；否则，不妨设0)0()0(=>g f ，构造)()()(θθθg f h -=，它同样在]2,0[π上连续，则有0)0(>h ，而0)0()0()0()2/()2/()2/(<-=-=-=h f g g f h πππ。

所以，存在]2,0[0πθ∈，满足0)()()(000=-=θθθg f h ，结合0)()(00=⋅θθg f ，得0)()(00==θθg f ，即椅子在转动0θ后被稳定地放置在地面上。

思考题1. 四脚椅呈矩形时的放置情形。

思考题2. 一人一日早8:00开车由A 市出发，至下午5:00达B 市；第二天早8:00出发沿原路返回，下午5:00回A 市。

问沿途是否有一地，前后两天，该人达该地的时刻正好相同。

商人过河
设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。

随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。

商人们怎样才能安全渡河呢？
因这已经是一个相当清晰的理想化问题，所以直接讨论其模型描述以及模型求解。

这里将其描述为一个动态决策问题：
记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y , k=1,…,n 。

将二维向量),(k k k y x s = 定义为状态，安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S , }2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|),{(=======y x y x y x y x S 。

记第k 次渡船上的商人数为k u ，随从数为k v , k=1,…,n 。

将二维向量),(k k k v u d = 定义为决策。

考虑小船载人数的限制，),(k k k v u d = 应满足为非负整数，或k k k k v u v u ,21=+，而称},;2,1|),{(为非负整数v u v u v u D =+=为允许决策集合。

因为k 为奇数时，船从此岸驶向彼岸；k 为偶数时，船从彼岸驶回此岸，所以状态k s 随决策k d 的变化规律是k k k k d s s )1(1-+=+（状态转移规律）。

求决策n k D d k 1,=∈，使状态S s k ∈ 按照状态转移规律，由初始状态)3,3(1=s 经有限步n 到达状态)0,0(1=+n s 。

接下来讨论模型的求解，设12
1+n n j i s s s s s s 是某个可行的渡河方案所对应的状态序列，若存在某)1(,n j i j i ≤<≤，且同为奇数或同为偶数，满足j i s s =，则称121+n n j i s s s s s s 所对应的渡河方案是可约的。

这时1121++n n j i s s s s s s 也是某个可行的渡河方案所对应的状态序列。

显然，一个有效的渡河方案应当是不可约的。

设渡河已进行到第k 步，),(k k k y x s = 为当前的状态，记{}为奇数i k i s S i k ,1|)1(≤≤= ， {}为偶数i k i s S i k ,1|)2(≤≤= ，为保证构造的渡河方案不可约，则当前的决策),(k k k v u d =
除了应满足： 1） D d k ∈
，且当k 为奇数时，k k k k y v x u ≤≤,，当k 为偶数时，k k k k y v x u -≤-≤3,3；
还须满足：
2）当k 为奇数时，)2(k k S s ∉；当k 为偶数时，)1(k k S s ∉。

通过作图，可以得到两种不可约的渡河方案，如下图：
思考题：
（1）四名商人各带一名随从的情况（小船同前）。

（2）n名商人各带n名随从的情况（小船同前）。

§1.2 数学建模的基本方法步骤
尽管现实世界中的应用问题形形色色、丰富多彩，内在地决定了在对实际问题的解决过程中要根据具体情况选择不同的方法以及相适应的表现方式，但我们仍然就其一些基本方法步骤（可先参阅人口增长预测模型）归纳为如下框图：
模型准备：要了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集建模必需的各种信息、数据等；
模型假设：根据实际问题的特点和建模的目的，对问题进行合理的简化假设，是建模的关键一步，其基本内在的决定了后续工作的展开和整个建模过程之成败。

因为影响一个现实事件的因素通常是多方面的，我们只能选择其中主要影响因素以及它们中的重要矛盾予以考虑，但这种简化一定要合理，过分的简化会导致模型距离实际太远而变得失去建模意义；
模型构成：在前面工作的基础上，将问题涉及的各个量符号化，以及各变量之间的内在联系形式化，利用适当的数学工具，将所关心的实际对象抽象为某个
数学结构。

可以是一个方程组的求解问题，也可以是一个最优化问题，也可以是其它。

从简单的角度讲，这一环节要求用尽可能简洁清晰的符号、语言和结构将经过简化的问题进行整理性的描述，只要作到准确和贴切即可。

当然考虑数学和应用数学学科的发展已有大量和丰富的概念与方法积淀，因此所建立模型在表述上应尽可能符合一些已经成熟的规范，从而也为建模者提出更高的要求；
模型求解：根据所建模型的特点，采用适当的计算工具、计算方法，比方几何作图、数值计算等，最终给出模型的解。

考虑我们需要建模处理的通常解决的是一大类型的问题，而数值计算通常是针对一个特定问题的具体结果，因此像解析法、归纳与演绎等逻辑方法的恰当运用会得到更为一般和有意义的结果；
模型分析：对模型解答进行数学上的分析，比方要根据问题的性质分析变量间的依赖关系，根据所得结果给出数学上的预报，在解的局部对模型中各参数和变量的微小扰动进行灵敏度、稳定性分析，在数值计算时还应对可能出现的误差进行分析等等。

模型检验：把数学分析的结果解释为实际问题的解或方案，并用实际的现象、数据加以验证，检验模型的合理性和适用性。

如果模型的结果距离实际太远，应当从改进模型的假设入手，可能是因为将一些重要的因素被忽略了，也可能将某些变量之间的关系作了过分简化的假设。

如此，进入重新一轮的建模分析，直到检验结果获得某重程度的满意，并最终将结果付诸实践，即模型的应用。

人口增长的建模
人类文明发展到今天，人们越来越意识到地球资源的有限性，我们感受到“地球在变小”，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为当前世界上被最普遍关注的问题之一，当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义。

本节介绍几个经典的人口模型，也以此试图说明数学建模的一般步骤。

以P(t)表示时刻t 某地区（或国家）的人口数。

模型一：人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus ，1766--1834）
一．模型假设
1．时刻t 人口增长的速率（即单位时间人口的增长量）与当时人口数成正比，即人口的相对增长率为常数，记之为r 。

2．设人口数P(t)足够大，可以连续变量处理，且P(t)关于t 连续可微。

二．模型建立及求解：
据模型假设，不难得到如下初值问题：
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=0)0(P P P r dt dP
解之得 rt e P t P ⋅=0)(。

三．模型检验
1．19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合。

19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战。

2．+∞=∞→rt t e P 0lim 。

有限地球，不合常理。

模型二：阻滞增长模型（Logistic ）
一个模型的缺陷，通常可以在模型假设当中找到其症结所在——或者说，模型假设在数学建模过程中起着至关重要的作用，它决定了一个模型究竟可以走多远。

在指数增长模型中，我们只考虑了人口数本身一个因素影响人口的增长速率，事实上影响人口增长的另外一个因素就是资源，定性的分析，人口数与资源量对人口增长的贡献均应当是正向的。

一．模型假设
1．地球上的资源有限，不妨设为1；而一个人的正常生存需要占用*/1P （这里
事实上也内在地假定了地球的极限承载人口为*P ）；
2．在时刻t ，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设它与当时
的剩余资源量*-=P P s /1成正比；比例系数*r 表示人口的固有增长率；
3．设人口数P(t)足够大，可以连续变量处理，且P(t)关于t 连续可微。

二．模型建立及求解
同样不难得到其数学模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=⋅⋅=**0)0(/1P P P
P s s P r dt dP ，化简得如下初值问题： ⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅⋅=**0)0()/1(P P P P P r dt dP
解之得 t
r e P P P t P ⋅-⋅-+=
*0)1*(1*
)(。

三．模型检验：
从上图可以看出，当人口数的初始值*>P P 0时，人口曲线（粉色）单调递
减，而当人口数的初始值*<P P 0时，人口曲线（绿色）单调递增，但当∞→t ，
它们皆趋于*P 。

阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测，而指数增长模型在做人口的短期预测因为其形式的相对简单性也常被采用。

不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同的特点，即均为单调曲线。

但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结果：在直到2030年这一段时期内，我国的人口一直将保持增加的势头，到2030年前后我国人口将达到最大峰值16亿，之后，将进入缓慢减少的过程——这是一条非单调的曲线，即说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种。

还有比指数增长模型、阻滞增长模型更好的人口预测方法吗？
事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素有关，特别在做中短期预测时，我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素本身以及由此而引起的人口年龄结构的变动就会变的相当重要，进而需要必须予以考虑。

§1.2 数学建模的基本方法步骤
尽管现实世界中的应用问题形形色色、丰富多彩，内在地决定了在对实际问题的解决过程中要根据具体情况选择不同的方法以及相适应的表现方式，但我们仍然就其一些基本方法步骤（可先参阅人口增长预测模型）归纳为如下框图：
模型准备：要了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集建模必需的各种
信息、数据等；
模型假设：根据实际问题的特点和建模的目的，对问题进行合理的简化假设，是建模的关键一步，其基本内在的决定了后续工作的展开和整个建模过程之成败。

因为影响一个现实事件的因素通常是多方面的，我们只能选择其中主要影响因素以及它们中的重要矛盾予以考虑，但这种简化一定要合理，过分的简化会导致模型距离实际太远而变得失去建模意义；
模型构成：在前面工作的基础上，将问题涉及的各个量符号化，以及各变量之间的内在联系形式化，利用适当的数学工具，将所关心的实际对象抽象为某个数学结构。

可以是一个方程组的求解问题，也可以是一个最优化问题，也可以是其它。

从简单的角度讲，这一环节要求用尽可能简洁清晰的符号、语言和结构将经过简化的问题进行整理性的描述，只要作到准确和贴切即可。

当然考虑数学和应用数学学科的发展已有大量和丰富的概念与方法积淀，因此所建立模型在表述上应尽可能符合一些已经成熟的规范，从而也为建模者提出更高的要求；
模型求解：根据所建模型的特点，采用适当的计算工具、计算方法，比方几何作图、数值计算等，最终给出模型的解。

考虑我们需要建模处理的通常解决的是一大类型的问题，而数值计算通常是针对一个特定问题的具体结果，因此像解析法、归纳与演绎等逻辑方法的恰当运用会得到更为一般和有意义的结果；
模型分析：对模型解答进行数学上的分析，比方要根据问题的性质分析变量间的依赖关系，根据所得结果给出数学上的预报，在解的局部对模型中各参数和变量的微小扰动进行灵敏度、稳定性分析，在数值计算时还应对可能出现的误差进行分析等等。

模型检验：把数学分析的结果解释为实际问题的解或方案，并用实际的现象、数据加以验证，检验模型的合理性和适用性。

如果模型的结果距离实际太远，应当从改进模型的假设入手，可能是因为将一些重要的因素被忽略了，也可能将某些变量之间的关系作了过分简化的假设。

如此，进入重新一轮的建模分析，直到检验结果获得某重程度的满意，并最终将结果付诸实践，即模型的应用。

§1.3 认识Mathematica
高性能计算机与优良数学软件的研发普及，使得数学学科地位的重要性地位得到不断地加强和巩固。

它使得数学方法能被广泛有效地应用于科学研究、工业设计、社会管理等各个领域成为可能，甚至使得数学的学科面貌从学习的角度也发生了非常巨大的变化，数学学习不再局限于一张纸一支笔的咫尺天地当中。

特别，像Mathematica、Matlab、Sas、Lingo系列（高版本）数学软件的推出，为数学的学习以及尝试将数学方法应用于解决实际问题提供了捷径。

1．Mathematica（简记为Math）是一种数学分析型的软件，功能丰富强大，界面友好，其编程具有很好的“对话”式特点，易学易用，当你输入一个有效的表达式或计算程序时，连击“Shift”与“Enter”键，Math将完成计算；
建议初学者首先以基本的算术表达式或简单的函数值计算作为练习来初步了解Math软件，循序渐近，逐步深入。

循序渐近
2．Math3.0以上的版本，在其主菜单“File”子菜单中的“Palettes”选项，学习者可以从中选择其中适当的子选项，软件将弹出相应的“按纽”平板（输入平台），上面有许多特殊的字符或符号、数学表达式模板、常用的内部函数等，只需用鼠标点击相应的“按纽”，在输入窗口中即产生您所要的数学字符或表达式格式。

在输入格式的空位中填入正确的数据或符号，即可直观的完成一个复杂数学表达式的输入。

这样，使得Math程序的编写和我们平时完成数学作业报告时所采用的形式达到最大限度的
一致——这也是Math软件的又一个优点。

PALETTES （？调色板, 颜料），内中有许多按钮使得程序的编写更接近书写习
惯
看，你可以很直观地输入一个矩阵，其它也一样
3．充分的利用Math的“Help”菜单，将最大限度地排除您在学习该软件时可能遇到的障碍，检索一个函数（命令）是便捷的，文件中附带的相关例子，使您能够很容易地读懂它们的用法。

充分利用“HELP”
4．Math可以作符号计算，用户可以借助Math得到许多问题的解析（符号）解；且只要用户愿意，Math可以得到任意精度的数值解。

5．“表”是Math软件处理的最基本的数据对象。

6．Math语句的语法单一，取消了函数、命令等概念的差别——这同样是Math的一个优点；Math中定义了大量的内部函数或命令，这样使得Math 进行科学计算的编程效率极具优势。

7．您还可以自己定义函数。

8．Math（简单）编程。

9．Math函数作图可能会吸引您。

10．特别提示：
1）“Shift”+“Enter”；
2）Math中区分字母的大小写，软件内部定义的函数命令，其首字母均大写；3）几对括号的用法：“（）”、“[]”、“[[]]”、“{}”；
4）几个等号：“=”、“：=”、“==”；
5）“，”与“；”；
6）
几个常数： 7）
取近似函数N[Pi]、N[Pi ，100]； 8）
数据引用：%、%%、%%%、%10、Out[10]、Out[-10]；给变量（参数）、表达式的数据命名是一个好的编程习惯。

9） 对方程（组）解的引用：
10） 随机函数Random[]、Random[Real ，xm]、Random[Real ，{xm ，xM}]、
Random[Integer ，iM]；
下面的例子可以作为学习用Math 语言定义一般（复杂）函数的例子，学生在练习过程中除了学习Math 编程外，还可以对近似计算的概念和特点形成初步认识：
例、设某函数为一分段常值函数，试根据其特点，构造适当的算法，在指定精度要求下，搜索其间断点。

不妨取
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<≤<≤<≤<≤<∞--=x x x x x x f 002.1
3002.10001.1 2 0001.11 110 00 1)( 精度要求分别取0.1、0.01、0.001、0.0001、0.00000001，在区间[]4,1-内搜索函数)(x f 的间断点。

第二章 初等数学方法建模
数学建模的核心是力求对实际应用问题的解决，而不在于所采用方法的深奥程度。

事实上，在对一个问题能够做到完好解决的前提下，朴素性简洁性恰好是构成一个完美的数学模型或数学建模过程的一个重要侧面。

本章介绍的几个例子即能够用相对初等的方法得以很好地解决，这里强调选用怎样的工具通常是由问题本身内在决定的，切忌为了炫耀方法而使问题的解决变的烦琐——这正如在良医的眼里，各种药材的价值在其用并在行医中总能做到对症，而不在其名贵程度。

§2.1 公平的席位分配
问题：首先看一个小例子，讨论一个学校中学生代表席位在不同院系之间的公平分配问题。

问题产生的原因在于人数是一个整型量，因此在通常情况下不能严格保证各个院系（团体）最终分得的代表席位数与其人数取相同的比例。

也即说对
一个席位分配方案不能要求其在任何情况下均能作到绝对公平，但却可要求其分配结果的整体不公平程度尽可能降低。

在下表中反映的是当总席位数分别为20、21时，参照惯例在人数分别为()34,63,103的三个不同系的分配结果。

“惯例”在这里是指首先计算各系按照比例所应该分得的席位，然后取其整数部分作为各系第一阶段分到的席位，而在
第二阶段将剩余的席位按照各系比例分配数的小数部分的大小取较大的几个
后，丙系分到的席位数反降为3席。

这一“矛盾性结果”同样不符合我们对一个好的席位分配算法的预期：假定各系人数已确定，考虑总席位数增加时，一个席位分配算法的结果至少须保证对每一系所最终分得的席位数不减。

要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配方法。

一、A 、B 两方席位的公平分配：
双方人数分别记为21,P P ，占有席位记为21,n n ，分别代表的人数应为2211,n P n P 。

若221
1n P n P =，则公平。

通常，人数、席位都为整数，若221
1n P n P ≠，则不公平。

2211,n P n P 数值较大的一方吃亏。

1．建立数量指标：
标准I ·绝对不公平指标：不妨假设221
1n P n P >， 2211n P n P -
（1）)100,120(),(21=P P ，)10,10(),(21=n n ，则210122211=-=-n P n P ；
（2）)1000,1020(),(21=P P ，)10,10(),(21=n n ，则21001022211=-=-n P n P 。

常识：（2）的公平程度比（1）大为改善了。

标准II ·相对标准：
若221
1n P n P >，则
222211
21),(n P n P n P n n r A -=；称之为相对于B 对A 的相对
不公平值。

若1122n P n P >，则111
12221),(n P n P n P n n r B -=；称之为相对于A 对B 的相对
不公平值。

制定席位分配方案的原则是使它们尽可能小。

2．确定分配方案：
设),(21P P 固定，),(21n n 已分好，总席位增加“1”。

不失一般性设22
1
1n P n P >，即对A 不公平，这时只会有如下两种情形： （1）若2211)
1(n P n P >+，则增加席位给A ； （2）若2211)
1(n P n P <+，则增加席位给A 将变为对B 不公平，计算1)1(),1(211221-+=+n P n P n n r B ； 这时显然有
)1(2211
+>n P n P ，则增加席位给B 将对A 更为不公平，计算1)1()1,(122121-+=+n P n P n n r A ；
公平分配席位的原则是使得相对不公平值尽可能地小，所以若)1,(),1(2121+<+n n r n n r A B ，则增加席位给A ；反之增加席位给B 。

二． Q-值法与m 方的席位分配：
在A 、B 两方公平分配席位的情况的讨论中，我们可以将按照相对不公平指
标来确定新增1席的归宿，等价于对
)1(1121+⋅=n n P Q A 与)1(2222+⋅=n n P Q B 的比较，则二数中大的所对应的一方的席位加1。

不难将之推广到m 方的席位分配的问题，归结为如下的Q-值法：
设有m 个团体，)..1(m i P i =表示第i 个团体的人数，∑==m
i i P P 1为总人数，
)..1(m i n i =表示第i 个团体分得的席位数，N 为总席位数。

第一步：令[])/(:P P N n i i ⋅=，计算
)1(:2+=i i i i n n P Q ，这里m i ..1=； 第二步：令
∑==m i i n n 1:，若N n =，停，)..1(m i n i =即为第i 个团体最终分得
的席位数； 第三步：选最小的*i ，使得}..1|{*m i Q Max Q i i ==，1:**+=i i n n ，
)1(:****2+=i i i i n n P Q ，转第二步。

作为Q-值法的应用，本文给出的学生代表席位的分配问题的结果为，)3,6,11(对应总席位数为20，)4,6,11(对应总席位数为21。

三． 进一步讨论
事实上要我们说Q-值法与参照“惯例”的算法孰优孰劣是不适当的，它们遵循了两种不同的“公平”标准：Q-值法关心一个团体的席位在增加与不增加一个席位对这个团体中个体的心理感受，而参照“惯例”的算法却从把一个团体视为一个整体来考察的。

而Q-值法的导出，是以其它团体的席位分配为参照来衡量一个团体席位分配中的相对不公平程度，事实上当总人数P 与总席位数N 一定时，以N P /这一客观标准作参照应当更为合理，而由此导出的算法我们发现恰好是按照绝对不公平指标)..1(/m i n P H i i i ==来决定新增加席位的归宿，将Q-值法中的i Q 都换为i H ，得到的算法这里称之H-值法。

就文中算例，)4,6,10(对应总席位数为20，)4,7,10(对应总席位数为21。

我们也构造了一个对席位分配方案不公平程度的评价指标函数
}..1|/{m i n P Max i i =，我们发现H-值法的结果优于Q-值法。

定理：设有m 个团体，)..1(m i P i =表示第i 个团体的人数，∑==m i i
P P 1为总
人数， N 为总席位数，
)..1(*m i n i =表示由H-值法给出第i 个团体分得的席位数，则
)..1(*m i n n i i ==必是最优化问题⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=}|{1N n n n P Max Min m i i i i i 为非负整数，且的最优解。

在文中建立不公平程度数量指标的讨论中，曾举例说明绝对不公平指标是有缺陷的，为了克服其缺陷而建立了相对不公平指标，并最终导出Q-值法；可是我们最终的给出H-值法的结果优于Q-值法的结论，当然从简单性方面来考察H-值法同样优于Q-值法。

而H-值法事实上即是绝对不公平指标，试着找到本文的论证缺陷之所在。

四．评注：
学习者除了在寻找适当的数学方法解决席位的公平分配这一问题本身建模。