福鼎市民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

福鼎市民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 2． （﹣6≤a ≤3）的最大值为（ ）
A ．9
B ．
C ．3
D ．
3． 执行如图所示的程序框图，则输出结果S=（ ）
A ．15
B ．25
C ．50
D ．100
4． 已知函数f （x ）=a x ﹣1+log a x 在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a ，则实数a 为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．4
5． 已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）
A ．5A ∈
B ．1.5A ∉
C ．1A -∉
D ．0A ∈ 6． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ） A ．
14 B ．18 C ．23 D ．112
7． 三个数60.5，0.56，log 0.56的大小顺序为（ ） A ．log 0.56＜0.56＜60.5 B ．log 0.56＜60.5＜0.56 C ．0.56＜60.5＜log 0.56 D ．0.56＜log 0.56＜60.5
8． 函数的零点所在区间为（ ）
A ．（3，4）
B ．（2，3）
C ．（1，2）
D ．（0，1）
9． 函数f （x ）=lnx ﹣+1的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知函数f （x ）=是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．﹣3≤a ＜0
B ．﹣3≤a ≤﹣2
C ．a ≤﹣2
D ．a ＜0
11．对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（ ）
A ．92%
B ．24%
C ．56%
D ．5.6%
12．已知点P （x ，y ）的坐标满足条件，（k 为常数），若z=3x+y 的最大值为8，则k 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．﹣6
D ．6
二、填空题
13．设()x
x
f x e =
，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机事件“0k <”的概率为_________.
14．在空间直角坐标系中，设)1,3(，
m A ，)1,1,1(-B ，且22||=AB ，则=m . 15．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．
16．自圆C ：22
(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ ） A ．
1310 B ．3 C ．4 D ．2110
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解
能力、数形结合的思想．
17．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为
3
π
，则|2|+=a b ． 18．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．
三、解答题
19．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足S n =2a n ﹣n 2+3n+2（n ∈N *） （Ⅰ）求证：数列{a n +2n}是等比数列；
（Ⅱ）设b n =a n sin π，求数列{b n }的前n 项和；
（Ⅲ）设C n =﹣，数列{C n }的前n 项和为P n ，求证：P n ＜．
20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =a n ﹣，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y+2=0上．
（1）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ； （2）设c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．
21．【南师附中2017届高三模拟二】已知函数()()3
23
131,02
f x x a x ax a =+
--+>． （1）试讨论()()0f x x ≥的单调性；
（2）证明：对于正数a ，存在正数p ，使得当[]
0,x p ∈时，有()11f x -≤≤； （3）设（1）中的p 的最大值为()g a ，求()g a 得最大值．
22．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=，DC=2AB=2BC=2
，以直线AD 为旋转轴旋转一周的都如图
所示的几何体
（Ⅰ）求几何体的表面积
（Ⅱ）判断在圆A 上是否存在点M ，使二面角M ﹣BC ﹣D 的大小为45°，且∠CAM 为锐角若存在，请求出CM 的弦长，若不存在，请说明理由．
23．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知函数()2
ln f x ax x =+，
()21145ln 639f x x x x =
++，()221
22
f x x ax =+，a R ∈ （1）求证：函数()f x 在点()(),e f e 处的切线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）若()()2f x f x <在区间()1,+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）当2
3
a =
时，求证：在区间()0,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个．（记
ln5 1.61,6 1.79ln ==）
24．已知向量=（x ，
y ），=（1，0），且（+
）•（﹣
）=0．
（1）求点Q （x ，y ）的轨迹C 的方程；
（2）设曲线C 与直线y=kx+m 相交于不同的两点M 、N ，又点A （0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m 的取值范围．
福鼎市民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C；
∴A⊆B∩C={0，2}
∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素，
故最多有4个子集．
故选：B．
2．【答案】B
【解析】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f
（a）的最大值为，
故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，
故选B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
3．【答案】C
【解析】解：根据程序框图，S=（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣97+99）=50，输出的S为50．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．
4．【答案】A
【解析】解：分两类讨论，过程如下：
①当a＞1时，函数y=a x﹣1和y=log a x在[1，2]上都是增函数，
∴f（x）=a x﹣1+log a x在[1，2]上递增，
∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+log a2+1=a，
∴log a2=﹣1，得a=，舍去；
②当0＜a＜1时，函数y=a x﹣1和y=log a x在[1，2]上都是减函数，
∴f（x）=a x﹣1+log a x在[1，2]上递减，
∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+log a2+1=a，
∴log a 2=﹣1，得a=，符合题意； 故选A ．
5． 【答案】A
【解析】
试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而1.5,1,.5,1N N A A ∉-∉∴∉-∉，即B 、C 正确，又因为0N ∈且
05<，所以0A ∈，即D 正确，故选A. 1
考点：集合与元素的关系. 6． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202
303
-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型． 7． 【答案】A
【解析】解：∵60.5＞60=1， 0＜0.56＜0.50=1， log 0.56＜log 0.51=0． ∴log 0.56＜0.56＜60.5． 故选：A
【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．
8． 【答案】B
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞），易知函数在（0，+∞）上单调递增，
∵f （2）=log 32﹣1＜0，f （3）=log 33﹣＞0， ∴函数f （x ）的零点一定在区间（2，3），
故选：B ．
【点评】本题考查函数的单调性，考查零点存在定理，属于基础题．
9． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）=lnx ﹣+1，
∴f ′（x ）=﹣
=
，
∴f （x ）在（0，4）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减；
且f（4）=ln4﹣2+1=ln4﹣1＞0；
故选A．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用．
10．【答案】B
【解析】解：∵函数是R上的增函数
设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）
由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a≤﹣2
故选B
11．【答案】C
【解析】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为
0.032×10+0.024×10=0.56
故这次测验的优秀率（不小于80分）为56%
故选C
【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是．
12．【答案】B
【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，
由，解得y=0，x=，
（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，
【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．
二、填空题
13．【答案】
35
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
001()x x k f x e
-'==
，由0()0f x '<得，01x >，∴随机事件“0k <”的概率为2
3． 14．【答案】1 【解析】
试题分析：()()()()22131112
22=-+--+-=
m AB ，解得：1=m ，故填：1.
考点：空间向量的坐标运算
15．【答案】 ．
【解析】解：由题意可得，2a ，2b ，2c 成等差数列
∴2b=a+c
∴4b 2=a 2+2ac+c 2
①
∵b 2=a 2﹣c 2
②
①②联立可得，5c 2+2ac ﹣3a 2=0
∵
∴5e 2
+2e ﹣3=0
∴
故答案为：
【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题
16．【答案】D 【
解
析
】
17．【答案】2
【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a 与b 的夹角为23
π
，1⋅=-a b ，
∴|2|+=
a b 2=．
18．【答案】 12 ．
【解析】解：设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有（15﹣x ）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x ）人， 由此可得（15﹣x ）+（10﹣x ）+x+8=30，解得x=3， 所以15﹣x=12， 即所求人数为12人， 故答案为：12．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（I ）证明：由S n =2a n ﹣n 2+3n+2（n ∈N *
），
∴当n ≥2时，，
a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2a n ﹣1﹣2n+4，
变形为a n +2n=2[a n ﹣1+2（n ﹣1）]，当n=1时，a 1=S 1=2a 1﹣1+3+2，解得a 1=﹣4，∴a 1+2=﹣2，∴数列{a n +2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；
（II ）解：由（I ）可得a n =﹣2×2n ﹣1﹣2n=﹣2n
﹣2n ．
∴b n =a n sin
π=﹣（2n +2n ）
，∵ =
=（﹣1）n ，
∴b n=（﹣1）n+1（2n+2n）．
设数列{b n}的前n项和为T n．
当n=2k（k∈N*）时，T2k=（2﹣22+23﹣24+…+22k﹣1﹣22k）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k）
=﹣2k=﹣n．
当n=2k﹣1时，T2k﹣1=﹣2k﹣（﹣22k﹣4k）=+n+1+2n+1=+n+1．
（III）证明：C n=﹣=，当n≥2时，c n．
∴数列{C n}的前n项和为P n＜==，
当n=1时，c1=成立．
综上可得：∀n∈N*，．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵S n=a n﹣，
∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣﹣，
即a n=3a n﹣1，．
∵a1=S1=﹣，∴a1=3．
∴数列{a n}是等比数列，∴a n=3n．
∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，
∴b n+1﹣b n=2，
即数列{b n}是等差数列，又b1=1，∴b n=2n﹣1．
（2）∵c n=a n•b n=（2n﹣1）•3n，
∵T n=1×3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，
∴3T n=1×32+3×33+5×34+…+（2n﹣3）3n+（2n﹣1）3n+1，
两式相减得：﹣2T n=3+2×（32+33+34+…+3n）﹣（2n﹣1）3n+1，
=﹣6﹣2（n﹣1）3n+1，
∴T n=3+（n﹣1）3n+1．
21．【答案】（1）证明过程如解析；（2）对于正数a ，存在正数p ，使得当[]0,x p ∈时，有()11f x -≤≤；
（3）()g a 【解析】【试题分析】（1）先对函数()()323131,02
f x x a x ax a =+--+>进行求导，再对导函数的值的 符号进行分析，进而做出判断；（2）先求出函数值
()01,f =()3213122f a a a =--+=
()()211212a a -+-，进而分()1f a ≥-和()1f a <-两种情形进行 分析讨论，推断出存在()0,p a ∈使得()10f p +=，从而证得当[]
0,x p ∈时，有()11f x -≤≤成立；（3） 借助（2）的结论()f x ：在[)0,+∞上有最小值为()f a ，然后分011a a ≤，两种情形探求()g a 的解析表达式和最大值。

证明：（1）由于()()23313f x x a x a =+--'()()31x x a =+-，且0a >， 故()f x 在[]0,a 上单调递减，在[
),a +∞上单调递增．
（3）由（2）知()f x 在[)0,+∞上的最小值为()f a ．
当01a <≤时，()1f a ≥-，则()g a 是方程()1f p =满足p a >的实根， 即()223160p a p a +--=满足p a >的实根，
所以()()314a g a -=．
又()g a 在(]0,1上单调递增，故()()max 1g a g ==
当1a >时，()1f a <-，由于()()()901,11112
f f a ==
--<-， 故][0,0,1p ⎡⎤⊂⎣⎦．此时，()1g a ≤．
综上所述，()g a
22．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥， 上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=×4π×2
×2=8π，
或S=×4π×2+×（4π×2
﹣2π×）+×2π×=8π；
（2）作ME ⊥AC ，EF ⊥BC ，连结FM ，易证FM ⊥BC ，
∴∠MFE 为二面角M ﹣BC ﹣D 的平面角，
设∠CAM=θ，∴
EM=2sin θ，EF=
，
∵tan ∠MFE=1，∴
，∴tan =，∴，
∴CM=2．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
23．【答案】（1）切线恒过定点1,22e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．（2） a 的范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （3） 在区间()1,+∞上，满足
()()()12f x g x f x <<恒成立函数()g x 有无穷多个
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求得切线方程为11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故过定点1,22e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；
试题解析： （1）因为()12f x ax x '=+，所以()f x 在点()(),e f e 处的切线的斜率为12k ae e
=+， 所以()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为()2121y ae x e ae e ⎛⎫=+-++ ⎪⎝
⎭， 整理得11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以切线恒过定点1,22e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． （2）令()()()2p x f x f x =-=212ln 02a x ax x ⎛⎫--+< ⎪⎝
⎭，对()1,x ∈+∞恒成立， 因为()()1212p x a x a x =--+'()22121a x ax x --+=()()()1211*x a x x
⎡⎤---⎣⎦= 令()0p x '=，得极值点11x =，2121
x a =-， ①当112a <<时，有211x x >=，即112
a <<时，在()2,x +∞上有()0p x '>， 此时()p x 在区间()2,x +∞上是增函数，并且在该区间上有()()()2,p x p x ∈+∞，不合题意； ②当1a ≥时，有211x x <=，同理可知，()p x 在区间()1,+∞上，有()()()
1,p x p ∈+∞，也不合题意； ③当12
a ≤时，有210a -≤，此时在区间()1,+∞上恒有()0p x '<， 从而()p x 在区间()1,+∞上是减函数； 要使()0p x <在此区间上恒成立，只须满足()111022p a a =--
≤⇒≥-， 所以1122
a -≤≤． 综上可知a 的范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
． （利用参数分离得正确答案扣2分）
（3）当23a =时，()21145ln 639f x x x x =++，()221423
f x x x =+
记()()22115ln 39
y f x f x x x =-=
-，()1,x ∈+∞． 因为22565399x x y x x
='-=-，
令0y '=，得x =
所以()()21y f x f x =-在⎛ ⎝为减函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上为增函数，
所以当x =时，min 59180y = 设()()()15901180
R x f x λλ=+<<，则()()()12f x R x f x <<， 所以在区间()1,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立函数()g x 有无穷多个 24．【答案】
【解析】解：（1）由题意向量=（x ，
y ），=（1，0），且（+）•（﹣）=0，
∴
，
化简得，
∴Q 点的轨迹C 的方程为
．… （2）由得（3k 2+1）x 2+6mkx+3（m 2﹣1）=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m 2＜3k 2+1．①…
（i ）当k ≠0时，设弦MN 的中点为P （x P ，y P ），x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则
，
从而，，… 又|AM|=|AN|，∴AP ⊥MN ．
则，即2m=3k 2+1，②
将②代入①得2m ＞m 2，解得0＜m ＜2，由②得，解得，
故所求的m 的取值范围是（，2）．…
（ii ）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP ⊥MN ，m 2＜3k 2+1，
解得﹣1＜m＜1．…
综上，当k≠0时，m的取值范围是（，2），
当k=0时，m的取值范围是（﹣1，1）．…
【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．。