2019届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三(上)期中数学(文科)试题(教师版)

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2019届黑龙江省哈尔滨市第六中学 高三（上）期中数学（文科）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．已知集合{}1,1M =-， 11
{|
24,}2
x N x x Z +=<<∈，则M N ⋂= A ．{}1,1- B ．{}1- C ．{}0 D ．{}1,0- 2．已知
其中 为虚数单位，则
A ．-1
B ．1
C ．2
D ．3
3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则 A ．4- B ．2- C ．-3 D ．-1
4．要得到函数()cos 21y x =+的图象，只要将函数cos2y x =的图象 A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移
12个单位 D ．向右平移1
2
个单位 5．已知
，则 的大小关系为
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知 ， 是椭圆上的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若 是正三角形，则这个椭圆的离心率是
A ．
B ．
C ．
D ．
7．执行程序框图，若输出的结果是
，则输入的a 为
A ．3
B ．6
C ．5
D ．4
8．若 在 和 处有极值，则a 、b 的值分别为
A ．
B ．
C ．
D ．
9．一个棱锥的三视图如图 尺寸的长度单位为 ，则该棱锥的全面积是 单位：
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在ABC ∆中， 是边AB 上的一点， 的面积为1，
则BD 的长为 A B ．4 C ．2 D ．1 11．已知
， ，则
等于
A ．
B ．
C ．
D ．
12．定义在R 上的函数()y
f x =12x x <都有()()12f x f x >是1
2
5x x +<的
此
卷
只
装
订
不
密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
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A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．设变量 满足约束条件
则 的最大值为__________ .
14．如果双曲线
的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心
率为_________
15．直线 与圆 交于 ， 两点，则 ________． 16．长方体 的各个顶点都在体积为
的球O 的球面上，其中 ，则四
棱锥 的体积的最大值为______．
三、解答题
17．已知正项数列 的前n 项和为 ，且 ， ，
成等差数列． 证明数列 是等比数列； 若 ，求数列
的前n 项和 ．
18． 中，角 的对边分别为 ，且 . （1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的最大值.
19．如图，在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥平面ABCD ， 2AB BC ==，
120ABC ∠=， G 为线段PC 上的点．
（1）证明： BD ⊥平面PAC ；
（2）若G 是PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值．
20．设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A B ，两
点，直线l 的倾斜角为60， 2AF FB =.
（1）求椭圆C 的离心率； （2）如果15
4
AB =
，求椭圆C 的方程. 21．已知函数
.
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
22．在直角坐标系中，圆 ：
经过伸缩变换
，后得到曲线 以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
求曲线 的直角坐标方程及直线l 的直角坐标方程；
在 上求一点M ，使点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离．
23．（题文）已知函数 ，且 的解集为 （Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ， 都是正实数，且
，求证：
.
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2019届黑龙江省哈尔滨市第六中学 高三（上）期中数学（文科）试题
数学 答 案
参考答案 1．B
【解析】本题考查函数单调性的应用，集合的运算. 函数2x
y =是增函数，则不等式
11
242
x +<<即112222x -+<<可化为112,x -<+<即21;x -<<所以{}{|21,}1,0;N x x x Z =-<<∈=-则{}1.M N ⋂=-故选B.
2．B 【解析】
试题分析：根据题意，由于
-
故可知 1，故答案为B.
考点：复数的计算主要是考查了复数的除法运算，属于基础题。

点评： 3．C
【解析】试题分析：因为()()m n m n +⊥-，所以
()()()][()222
2
2222112221230m n m n m n λλλ⎡⎤+⋅-=-=+++-+++=--=⎣⎦，即32
λ=-，故选B.
考点：1.空间向量的坐标运算；2.空间向量垂直的条件. 4．C
【解析】y ＝cos2x 向左平移12个单位得y ＝cos2(x ＋1
2
)＝cos(2x ＋1)，选C 项． 5．D
【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.
详解：由题意可知：
，即 ，
，即 ，
，即 ，综上可得： .本题选择D 选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
6．B 【解析】 【分析】
由△ABF 2是正三角形可知
，即
，由此推导出这个椭圆的离心率．
【详解】
， 是椭圆上的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若 是正三角形，可得
，即
，，即 ，
，
即： ， 解得
． 故选：B ． 【点睛】
本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题要注意公式的合理选取． 7．D 【解析】 【分析】
由题意按照循环计算前几次结果，判断最后循环时的n 值，求出判断框的条件，即可得到输入的数值．
【详解】
第1次循环， ，
，
第2次循环， ，
， 第3次循环， ，
，
第4次循环， ，
， 因为输出的结果为
，所以判断框的条件为 ， 所以输入的a 为：4．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于中档题．
8．D
【解析】
【分析】
函数的极值点处的导数值为0，列出方程，求出a，b的值．
【详解】
，
由已知得：，
，，
故选：D．
【点睛】
本题考查了导数的应用，考查函数极值的意义，是基本知识的考查．
9．A
【解析】
由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥，由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为
，故此三棱锥的全面积为
故选A
10．C
选C
11．C
【解析】
原式，解得
，而，故选C.
12．C
【解析】
且()
f x关于所以
12
x x
<时，
()()
12
f x f x
>
反之也成立：
12
x x
<时，
C.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p q”为真，则p是q的充分条件．
2．等价法：利用p q与非q非p，q p与非p非q，p q与非q非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
13．2
【解析】
试题分析：依题意，画出可行域（如图示），
则对于目标函数，
当直线经过（，）时，
取到最大值，
考点：简单的线性规划
14．
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【解析】
试题分析：双曲线的一条渐近线为，与抛物线方程联立，得：-，所以-，即，所以。

考点：双曲线的离心率；抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系。

点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法：①直接利用公式；②利用变形公式：
（椭圆）和（双曲线）③根据条件列出
关于a、b、c的关系式，两边同除以a,利用方程的思想，解出。

15．
【解析】分析：首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后
应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.
详解：根据题意，圆的方程可化为，
所以圆的圆心为，且半径是2，
根据点到直线的距离公式可以求得，
结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.
点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三
角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.
16．
【解析】
试题分析：设球的半径为，则，
从而长方体的对角线，设，因为
则
故当且仅当时，四棱锥O-ABCD的体积的最大值为
考点：基本不等式，椎体的体积
【思路点睛】本题主要考查长方体的外接球的知识，长方体的体积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力；注意利用基本不等式求最值时，“正”、“定”、“等”的条件的应用．解题时设出长方体的长、宽，求出长方体的对角线的长的表达式，可得到，利用锥体体积公式得到关系式，然后求出最大值．
17．（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意得2a n=S n+，易求，当n≥ 时，S n=2a n﹣，S n﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n=2a n ﹣2a n﹣1（n≥ ），由递推式可得结论；
（2）由（1）可求=2n﹣2，从而可得b n，进而有=，利用裂项相消法可得T n；
【详解】
证明：由，，成等差数列，知，
当时，有，，
当时，，，
两式相减得，即，
由于为正项数列，，于是有，
数列从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2，
数列是以为首项，以2为公比的等比数列．
解：由知，
，
，
．
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．
18．(1) ;(2) .
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【解析】试题分析：（1）根据余弦定理可得：
；（2） 的面积
,再
根据均值不等式 （当且仅当 时取等号）即可求出 取得最大值为1，即可求出 的最大值.
试题解析：（1）∵
，
∴ ；
（2）由 ，得 ，
又∵ （当且仅当 时取等号）， ∴ （当且仅当 时取等号）， 即当且仅当 时， 取得最大值为1. ∴
， ∴ 的最大值为
.
19．（1）见解析；（2
【解析】试题分析：（1）推导出PA ⊥BD ，BD ⊥AC ，由此能证明BD ⊥平面PAC ． （2）由PA ⊥平面ABCD ，得GO ⊥面ABCD ，∠DGO 为DG 与平面PAC 所成的角，由此能求出DG 与平面APC 所成的角的正切值．
试题解析：
（1）证明：∵在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥平面ABCD ， ∴PA BD ⊥.∵2AB BC ==，
设AC 与BD 的交点为O ，则BD 是AC 的中垂线， 故O 为AC 的中点，且BD AC ⊥. 而PA AC A ⋂=，∴BD ⊥面PAC ；
（2）若G 是PC 的中点， O 为AC 的中点，则GO 平行且等于 故由PA ⊥面ABCD ，可得GO ⊥面ABCD ，
∴GO OD ⊥，故OD ⊥平面PAC ，故DGO ∠为DG 与平面PAC 所成的角．
ABC ∆中，由余弦定理可得，
2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠ 44222cos12012=+-⨯⨯⨯︒=，
∵直角三角形COD 中，
∴直角三角形GOD 中，
点睛：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．（1）2
3
；（2）22195x y +=. 【解析】试题分析：（1）利用直线的点斜式方程设出直线方程，代入椭圆方程，得出,A B 的纵坐标，再由2AF FB =，即可求解椭圆C 的离心率；（2）利用弦长公式和离心率的值，求出椭圆的长半轴、短半轴的值，从而写出椭圆的标准方程.
试题解析：设()11,A x y ， ()22,B x y ，由题意知10y <， 20y >. （1）直线l
的方程为)y x c =-
，其中c =
联立)
2
2
2
2
{ 1y x c x y a b =-+
=得(
)22224330a b y cy b ++-=，
解得()2122
23c a y a b +=
+，
()2222
23c a y a b -=
+.
因为2AF FB =，所以122y y -=.
即
(
)()2222
22
222?33c a c a a b a b +-=++，
得离心率23
c e a =
=. （2
）因为21AB y =-
15
4=.
由
2
3
c a =
得b a =.所以51544a =，得3a =，
b =椭圆C 的方程为22
195
x y += 考点：椭圆的标准方程及其几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中涉及到直线的
点斜式方程，直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，直线与圆锥曲线的弦长公式等知识
点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，转化与化归思想，解答准确的式子变形和求解是解答的一个难点，属于中档试题.
视频
21．(1) (2)
【解析】试题分析：(1）时求导，得到在切点处切线斜率，代入点斜式即可；
(2) 求导对分情况讨论，讨论函数的单调性，结合题目要求对任意
恒成立名即可得到实数的取值范围；
试题解析：(1）时，，切点为，
时，曲线在点处的切线方程为
（2）（i），，
当时，，，在上单调递增，，不合题意．
②当即时，在上恒成立，
在上单调递减，有，满足题意．
③若即时，由，可得，由，可得，
在上单调递增，在上单调递减，，
不合题意．
综上所述，实数的取值范围是
考点：利用导数研究函数的性质
22．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由后得到曲线C2，可得：，代入圆C1：x2+y2=1，化简可得曲线C2的直角坐标方程，将直线l的极坐标方程为cosθ s nθ 化为：ρcosθ ρs nθ 1 ，进而可得直线l的直角坐标方程.
（2）将直线x+2y﹣10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件，联立方程求出M点的坐标，进而可得答案.
【详解】
（1）因为后得到曲线，
，代入圆：得：，
故曲线的直角坐标方程为；
直线l的极坐标方程为．
即，即.
将直线平移与相切时，则第一象限内的切点M满足条件，设过M的直线为，
则由得：，
由得：，
故，或，舍去，
则，即M点的坐标为，
则点M到直线l的距离
【点睛】
本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．
23．(Ⅰ) (Ⅱ)见解析
【解析】
试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.
试题解析：
（I）依题意,即,
∴
（II）方法1:∵
∴
当且仅当,即时取等号
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方法2: ∵
∴由柯西不等式得
整理得
当且仅当,即时取等号. 数学资料库。